# Zkouška Fiala 12. 12. 2025

Maximální počet bodů: 48\
Čas: 90 minut (30 na rozstřel, 60 na zbytek, na zbytku můžete pracovat i během rozstřelu)\
Hodnocení:
1. 40-48b
2. 32-39b
3. 24-31b
4. 0-23b

Rozstřel je na 14 bodů, je z něj potřeba alespoň 10. Za 4 správné odpovědi v jedné úloze 2 body, za 3 správně a 1 nevím 1 bod. Z formulace věty v písemce samotné je potřeba alespoň 2 body ze 4.


## Skupina A

Rozstrel

1. Keď $x, y, z$ sú riešenia rovnice $Ax=b$, tak potom:
- $x-y+z$ je riešením rovnice $Ax=b$
- $x-y$ je riešením rovnice $Ax=0$
- $x+y$ je riešením rovnice $Ax=b$
- $x-y-z$ je riešením rovnice $Ax=-b$

2. Regulárne matice rovnakého rádu sú uzavreté na:
- transpozíciu
- súčet
- súčin
- inverziu

3. Hodnosť každej štvorcovej matice $A$ je rovná:
- $\text{dim}\ S_A$
- $\text{dim}\ R_A$
- $\text{dim}(\text{ker}\ A)$
- $\text{dim}(\text{ker}\ A^T)$

4. Vektor súradníc vektoru $u_3-u_2$ vo vektorovom priestore $\mathbb{Z}_5^4$ s usporiadanou bázou $(u_1, u_2, u_3, u_4)$ je:
- $(3,2,0,1)^T$
- $(0,1,1,0)^T$
- $(0,4,1,0)^T$
- $(1,3,2,2)^T$

5. Pre každú štvorcovú maticu $A$ nad telesom $\mathbb{Z}_2^5$ plati:
- $A+A+A+A+A=A$
- $-A=A$
- $A^2$ existuje
- inverzná matica k $A$ existuje

6. Množina permutácií $5$ prvkov s operáciou skladania tvorí:
- teleso
- Abelovskú grupu
- nekomutatívnu grupu
- vektorový priestor nad $\mathbb{Z}_5$

7. Pre lineárne zobrazenie $f$ s maticou zobrazenia $2I$ z $\mathbb{R}^2$ do $\mathbb{R}^2$ plati:
- $f$ je na
- $f$ je prosté
- ide o osovú súmernost okolo osi $x=y$
- idk

Druhá časť skúšky

1. Sformulujte vetu popisujúcu, kedy $\mathbb{Z}_p$ je teleso, a dokážte ju.

2. Prehľadovo spíšte všetko, čo viete o vektorových priestoroch určených maticou.

3. Uvažujme lineárne zobrazenie $f$ z množiny polynómov stupňa nanajvýš $3$ s koeficientmi zo $\mathbb{Z}_5$ do $\mathbb{Z}_5^2$. Boli dané obrazy štyroch polynómov, nájdite maticu lineárneho zobrazenia $[f]_{B,E_3}$, kde $B$ je baza $(x^3,x^2,x,1)$ a $E_3$ je kanonicka baza $\mathbb{Z}_5^2$. Rozhodnite, či je zobrazenie $f$ na (surjektívne).

4. Uvažujme graf na $10$ vrcholoch taký, že podgraf indukovaný vrcholmi $1$ až $5$ je kompletný graf $K_5$, podgraf indukovaný vrcholmi $6$ až $10$ je kompletný graf $K_5$, medzi vrcholmi $5$ a $6$ vedie hrana a žiadne ďalšie hrany než tieto tam už nie sú. Určte počet párnych (sudých) podgrafov tohto grafu takých, že obsahujú aspoň jednu z hrán $(1,2)$ a $(8,9)$.


## Skupina B

Rozstřel

1) Mám soustavu $Ax=b$ elementární ekvivalentní řádkové úpravy na $A|b$:

- Nemění počet nenulových řádků v matici soustavy
- Nemění vektor pravých stran
- Nemění počet proměnných
- Nemění množinu řešení soustavy

2) Na regulárních maticích A, B stejného řádu platí

- $(A+B)^{-1} = (B)^{-1} + (A)^{-1}$
- $(AB)^{-1} = (B)^{-1} *(A)^{-1}$
- $(2A)^{-1} = 2 (A)^{-1}$
- $((A)^{-1})^T = ((A)^{T})^{-1}$

3) Mám množinu $A={a}$ a operaci $\square$ definovanou jako $a\square a=a$. A spolu s operací $\square$:

- Netvoří grupu, protože chybí inverzní prvek
- Tvoří grupu
- Tvoří Abelovskou grupu
- Netvoří grupu, protože □ není binární operace

4) V $\mathbb{Z}_5$ platí:

- $(-1)^{51} = 4$
- $4^{54} = 4$
- $2^{52} = 2$
- $3^{53} = 3$

5) Dimenze prostoru řešení soustavy $Ax=b$ je rovna 

- $Dim$ řádkového prostoru $A$
- $Dim$ sloupcového prostoru $A$
- $Rank(A)$
- $Dim(ker(A))$

6) Souřadnice vektoru $(2,4,6)$ vůči uspořádané bázi $((0, 1, 0), (1, 0, 0) (0, 0, 2))$ jsou:

- $(1, 2, 3)$
- $(4, 2, 3)$
- $(4, 2, 12)$
- $(2, 4, 12)$

7) $g$ je lin zobrazení z $V\to U$, $f$ je lin zobrazeni z $U\to V$. $f\circ g= id$, $g\circ f= id$. Které následující výroky platí:

- $g\circ f\circ g = g$
- $g$ je isomorfismus
- $g$ je identita
- $g$ je prosté

Písemka

1) Vyslovte a dokažte větu o ekvivalentních definicích lineárního obalu.
2) Přehledově sepište, co víte o regulárních a singulárních maticích.
3) Najděte permutaci $x \in S_9$ splňující rovnost: $p^{50} \circ x^{(-1)} = q^{33}$  pro $p=(5, 9, 4, 8 ,3, 7, 2, 6, 1)$ $q=(3, 2, 1, 9, 8, 7, 6, 5, 4)$
4) Určete dimenzi jádra lin. zobrazení $f$ ze $\mathbb{Z}^{5}_5$ do $\mathbb{Z}^{4}_5$ určeného konkrétní maticí lin. zobrazení (tu si fakt nepamatuju). Poté pro vektor $u = (\text{konkrétní vektor v \space} \mathbb{Z}^{5}_4)$ určete souřadnici $f(u)$ vůči bázi $B$ (konkrétní 4 prvková báze vektorů v $\mathbb{Z}^{4}_5$