# Zkouška 11. 1. 2022 Balko

<{ForumPost(poster="Anonymous", timestamp=2022-01-11 15:25:27)}>
**Zadání A**  
  
1. Definujte pojem vektorový prostor. (2b)  
Zformulujte a dokažte větu o dimenzi jádra a hodnosti matice. (8b)  
  
2. Nechť V je množina reálných symetrických čtvercových matic řádu tři s nulami na hlavní diagonále.  
(a) Ukažte, že V tvoří podprostor $\mathbb{R}^{3x3}$. (3b)  
(b) Určete dimenzi prostoru V a sestavte nějakou jeho bázi. (3b)  
  
3. Najděte nenulovou matici $A\in\mathbb{R}^{3x3}$ takovou, aby splňovala zároveň obě podmínky: (6b)  
$Ker(A) = span\{(1, -1, -1)^T, (1, 1, -3)^T\},$  
$Ker(A^T) = span\{(1, 2, 4)^T, (0, 1, 1)^T\}$. 
  
4. Rozhodněte a zdůvodněte, která z následujících tvrzení jsou pravdivá:  
(a) V každém tělese charakteristiky 2 platí rovnost $(a+b)b = (b+b)a$. (2b)  
(b) Buďte $A, B\in\mathbb{R}^{n\times n}$ matice stejné hodnosti. Pak $A$ lze elementárními řádkovými úpravami převést na $B$. (2b)  
(c) V prostoru $\mathbb{R}^3$ existuje čtveřice nenulových vektorů $\{u, v, w, z\}$ taková, že $\{u, v, w\}$ je báze, ale každá jiná trojice prvků této čtveřice bází není. (2b)  
(d) Počet lineárních zobrazení mezi prostory $\mathbb{Z}_3^4\to\mathbb{Z}_3^2$ je $3^8$. (2b)
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Anonymous", timestamp=2022-01-12 13:37:35)}>
Oprava:  

 > Návštěvník wrote: [↑](/var/www/html/forum.matfyz.info/viewtopic.php?p=42106#p42106)
 > (a) V každém tělese charakteristiky 2 platí rovnost (a+b)b = (b+b)a. (2b)

Úlohu jsem špatně opsala, správně by mělo být (a+a)b = (b+b)a.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="liu", timestamp=2022-01-16 00:01:04)}>
AHOJ ,tam jsou jen varianta a a b nebo tam mají vice
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="patino", timestamp=2022-01-19 16:38:10)}>
Ahoj, chcel by som sa opýtať, koľko času ste mali k dispozícií na vypracovanie tohto testu.  
Ďakujem za odpoveď a aj poskytnutie otázok.
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="ERRORCEK", timestamp=2022-01-19 21:39:39)}>

 > [liu](/var/www/html/forum.matfyz.info/memberlist.php?mode=viewprofile&u=1) wrote: [↑](/var/www/html/forum.matfyz.info/viewtopic.php?p=42121#p42121)
 > AHOJ ,tam jsou jen varianta a a b nebo tam mají vice

Varianty sú pokiaľ viem len dve **A** a **B**  

 > patino wrote: [↑](/var/www/html/forum.matfyz.info/viewtopic.php?p=42126#p42126)
 > Ahoj, chcel by som sa opýtať, koľko času ste mali k dispozícií na vypracovanie tohto testu.  
 > Ďakujem za odpoveď a aj poskytnutie otázok.

**2 hodiny**, ak potrebuješ minútku, dve, na dopísanie vety, tak nie je problém (aj tak kým ostatný odovzdajú)
<{/ForumPost}>