# Zkouška 26.1. <{ForumPost(poster="stnicolaus", timestamp=2006-01-28 20:10:39)}> 4 příklady na 1,5 hodiny. známkování relativně mírné 1) a) Definujte těleso b) Určete zda množina reálných čísel s následujícímí operacemi je těleso sčítání: a (+) b = a + b + 1/2 násobení : a (*) b = a + b + 2ab 2) Určete bázi a dimenze vektorového prostoru všech symetrických matic 3 x 3 bonus: případně to samé pro obecný případ n x n 3) Definujte matici lineárního zobrazení Formulujte a dokažte větu o vztahu skládání lineárních zobrazení a násobení matic jejich zobrazení 4) tvrzení - rozhodnout ano x ne - i s vysvětlením a) Pokud je řádkový prostor matice A roven sloupcovému prostoru matice A, tak platí AT(transponovaná) = A b) pokud je vektorový prostor dimenze n a mám n vektorů z tohoto prostoru pak tvoří bázi c) a d) už si bohužel nepamatuji <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="mach", timestamp=2006-02-05 03:09:55)}> > stnicolaus wrote:2) Určete bázi a dimenze vektorového prostoru všech symetrických matic 3 x 3 > bonus: případně to samé pro obecný případ n x n Melo to vyjit neco jako?: 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 atp. Tj. vzdycky dve jednicky, ktere jsou umistene symetricky vzhledem k hlavni diagonale? Takze dimenze by byla 6? Pripada mi to nejaky divny. <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Jakobicek", timestamp=2006-02-05 13:04:33)}> dimenze pro 3*3 je 6 100 010 001 000 000 000 000 100 000 010 001 000 000 000 100 000 010 001 v obecnem pripade je to n! vzdy bazy tvori ty pozice co lezi nad diagonalou a ty co tvori diagonalu hm... vysvetluju to hrozne... zkuste to nekdo rozumne vyslovit... <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Anonymous", timestamp=2006-02-05 13:30:14)}> > mach wrote: > > stnicolaus wrote:2) Určete bázi a dimenze vektorového prostoru všech symetrických matic 3 x 3 > > bonus: případně to samé pro obecný případ n x n > > > Melo to vyjit neco jako?: > > 0 0 1 > 0 0 0 > 1 0 0 > > 0 1 0 > 0 0 0 > 0 1 0 > > atp. Tj. vzdycky dve jednicky, ktere jsou umistene symetricky vzhledem k hlavni diagonale? Takze dimenze by byla 6? Pripada mi to nejaky divny. Pro 3x3 je dimenze 6 a báze vypadá následovně 1 0 0 - 0 0 0 - 0 0 0 - 0 1 0 - 0 0 1 - 0 0 0 0 0 0 - 0 1 0 - 0 0 0 - 1 0 0 - 0 0 0 - 0 0 1 0 0 0 - 0 0 0 - 0 0 1 - 0 0 0 - 1 0 0 - 0 1 0 Pro obecný případ nxn platí, že dimenze je n+(n^2)/2 (n je počet matic s jedničkou někde na diagonále a (n^2)/2 je počet matic vždy s dvěma jedničkami symetricky mimo diagonálu) Doufám, že je to aspoň trochu srozumitelné :D <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="stnicolaus", timestamp=2006-02-05 13:34:37)}> > Anonymous wrote: > Pro obecný případ nxn platí, že dimenze je n+(n^2)/2 (n je počet matic s jedničkou někde na diagonále a (n^2)/2 je počet matic vždy s dvěma jedničkami symetricky mimo diagonálu) > > Doufám, že je to aspoň trochu srozumitelné :D Ehm - vloudila se mi sem malá chybka - v obecném případě je dimenze n+(n^2 - n)/2. Báze je například - n matic s jednou jedničkou někde na diagonále a (n^2 - n)/2 matic vždy s dvěma jedničkami symetricky mimo diagonálu <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Zdeněk Vilušínský", timestamp=2006-02-05 20:56:32)}> Tak to je zajímavé. Psal jsem absolutně stejnou písemku - ale u Matouška :) Viz zadání 26.1.2006 <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="stnicolaus", timestamp=2006-02-05 23:32:22)}> > Zdeněk Vilušínský wrote:Tak to je zajímavé. Psal jsem absolutně stejnou písemku - ale u Matouška :) Viz zadání 26.1.2006 nevidím důvod, proč by neměli písemky konzultovat... :D <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Anonymous", timestamp=2006-02-06 02:11:01)}> A nevedel by nekdo jak resit 4a) Ja se dostal jen k R(A) = S(A) <=> R(A) = R(AT), ale to, ze se rovnaji radkove prostory jeste nemusi znamenat, ze se ty matice rovnaji. <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="stnicolaus", timestamp=2006-02-06 12:55:23)}> > Anonymous wrote:A nevedel by nekdo jak resit 4a) > > Ja se dostal jen k R(A) = S(A) <=> R(A) = R(AT), ale to, ze se rovnaji radkove prostory jeste nemusi znamenat, ze se ty matice rovnaji. tvrzení neplatí. stačí uvážit např. následující matici: 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 po transpozici: 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 řadkový i sloupcový prostor generují stejné vektory -> prostory jsou tedy stejné, ale jasně vidíš, že A <> AT <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Jakobicek", timestamp=2006-02-06 13:04:33)}> eh santa ma pravdu samozrejme se to scita... a ne nasobi... jsem lama... :oops: :oops: <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="mach", timestamp=2006-02-09 00:49:37)}> Diky za odpovedi :-) <{/ForumPost}> <{ForumPost(poster="Jakobicek", timestamp=2006-02-09 16:28:45)}> pisemky davaji oba stejne... jen nejtezsi priklady navrhuje kolman... no udajne pry v posledni pisemce vymyslel to s tim neprazdnym prunikem podprostoru se souctem dimenzi vetsim nez puvodni VP. ale legracni je ze matousek navrhl aby to z pisemky vyradil a kolman to udelal ale kvuli nejakemu informacnimu sumu to v matouskove pisemce zustalo :!: :twisted: :twisted: :twisted: <{/ForumPost}>