# pisemka 07.02.2006

<{ForumPost(poster="Jakobicek", timestamp=2006-02-07 19:52:14)}>
VARIANTA A  
v 1. prikladu bylo zadano linearni zobrazeni na Z(3)^4. Melo se urcit jestli je to izomorfismus a pokud ano tak urcit inverzni zobrazeni.(matice byla k velkemu prekvapeni singularni takze temer bez prace varianta B mela regularni..) (6b)  
2. definujte regularni matici a uvedte 2 ekvivalentni podminky pro regularni matici.(3b) Dale dokazte ze jsou-li A a B regularni pak je i A*B regularni matice.(3b) (Dukaz vychazi z definice regularni matice a asociativity nasobeni matic)   
3. presne zneni Steinitzovy vety o vymene (2b). Tezky dukaz(4b):  
bud U vektorovy prostor, budte W a V jeho podprostory.  
necht je dale dim(U)<dim(V)+dim(W). dokazte ze pak existuje nenulovy vektor h z U takovy ze je obsazen v V a zaroven W. (No vypada jednoduse ale bohuzel dukaz ve kterem vytvorite bazi U z vektoru V a W pomoci steinitzovy vety a tvrdite ze nektery ze zbylych bazovych vektoru V a W, ktere nebyly pouzity na vytvoreni baze U, je elementem pruniku, je nedostatecny. spravne reseni matousek neprozradil a priklad nikdo nevyresil precizne)  
4.a) neco velmi podobneho prikladu 3b s obdobnym vysledkem :twisted:   
4b) dimenze prostoru generovaneho resenimi soustavy Ax=b je rovna poctu sloupcu matice A - rank(A), za predpokladu ze Ax=b ma alespon jedno reseni.(plati snad je to i nejaka veta... resit by se to dalo treba indukci podle poctu nepivotnich promennych)  
4c) bud X podmnozinou vektoroveho prostoru V pak X je podprostor V prave tehdy kdyz SPAN(X)=X (plati... pozor je to ekvivalence takze je treba dokazovat obe vetve)  
4d) bud U vektorvy prostor a V a W jeho podprostory pak V sjednoceno s W je v nekterych pripadech podprostor a  nekterych ne (plati)  
kazde z tvrzeni ve 4 za 2 body  
26---19 = 1  
18---16 = 2  
15---12 = 3  
11---9 = osobni rozhovor s matouskem  
8- = 4
<{/ForumPost}>