# **NMAI057** Lineární algebra 1

<{Box(infobox)}>
![lineární algebra a žaba](/NMAI057/lingebra-a-zaba.png)
|-----|-----|
| **Učitel:** | [doc. RNDr. Martin Balko, Ph.D.](https://kam.mff.cuni.cz/~balko/) |
| | [prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D.](https://kam.mff.cuni.cz/~hladik/) |
| | [doc. Mgr. Petr Kolman, Ph.D.](https://kam.mff.cuni.cz/~kolman/) |
| | [prof. RNDr. Jiří Fiala, Ph.D.](https://kam.mff.cuni.cz/~fiala/) |
| **Odkaz do SISu:** | [NMAI057](https://is.cuni.cz/studium/predmety/index.php?do=predmet&kod=NMAI057) |
| **Diskuze:** | [Discord kanál](https://discord.com/channels/625428723302137876/758679352958910495) |
<{/Box}>

## Studijní materiály
### Skripta
- ![Milan Hladík - Lineární algebra (nejen) pro informatiky](/NMAI057/Lineární%20algebra%20(nejen)%20pro%20informatiky.pdf)
- [Jindřich Bečvář - Lineární algebra](https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~halas/becvar_-_linearni_algebra.pdf) (obsáhlejší)
- [Videa a prezentace od Jiřího Fialy](https://kam.mff.cuni.cz/~fiala/LA1/) - výborně vysvětlená látka a stručné důkazy
- [Skripta FIT ČVUT](https://kam.fit.cvut.cz/deploy/bi-lin/lin-text-ebook.pdf) - poněkud polopatičtější, než předchozí možnosti, vhodné pro úplné začátečníky
- KSP seriál o LA:
  - [1. Lineární rovnice](https://ksp.mff.cuni.cz/h/ulohy/35/zadani1.html#task-35-1-S)
  - [2. Lineární zobrazení ](https://ksp.mff.cuni.cz/h/ulohy/35/zadani2.html#task-35-2-S)
  - [3. Vektorové prostory](https://ksp.mff.cuni.cz/h/ulohy/35/zadani3.html#task-35-3-S)
  - [4. Skalární součin](https://ksp.mff.cuni.cz/h/ulohy/35/zadani4.html#task-35-4-S)
  - [5. Determinant](https://ksp.mff.cuni.cz/h/ulohy/35/zadani5.html#task-35-5-S)

### Poznámky
- [rdck.dev](https://rdck.dev/LA1.html) - poznámky 2023/2024
- [Poznámky Kuby Smolíka](https://couleslaw.github.io/mff-notes/01/Lingebra-1.pdf) - ručně psané
- [Poznámky z přednášky](http://docs.google.com/leaf?id=0BwESyQzGMMjkOTk1ZmQ5YzItODJhMS00NjEzLTk3MTMtZDM2MWVlODgyMTNk&hl=cs) - T. Witzany ak. rok 2009/2010
- [Poznámky Adama Lišky z přednášek J. Fialy](http://www.adliska.com/downloads/notes/linearni_algebra_I.pdf) - poznámky 2007/2008
- [Otázky (a odpovědi) na zkoušku k Fialovi](https://1drv.ms/b/c/382e006096907451/IQDSgmXBuRcoRq6_9yMCfCT1AQEr19lIKxKasB_kUjTnTJw)

### Kartičky
- [Jáchymovy Anki kartičky z Fialových otázek](/NMAI057/Matfyz__Lineární algebra 1.apkg) [ZS 25/26]
  - obsahuje definice, důkazové otázky a aplikace, **neobsahuje** přehledové otázky
  - obsahuje i kvízy a rozepsané odpovědi na ně
  - před použitím si to raději zkontrolujte

### Ostatní
- [Podrobný minimální sylabus](/NMAI057/Lingebra-podrobny-minimalni-sylabus.pdf)
- [3b1b - Essence of linear algebra](https://www.youtube.com/watch?v=kjBOesZCoqc&list=PL0-GT3co4r2y2YErbmuJw2L5tW4Ew2O5B) - Hezké vizualizace konceptů z LA
- [Mapa od Pavla Klavíka](https://pavel.klavik.cz/orgpad/linearni_algebra.html)
- [Výukové materiály Jiřího Rohna](http://www.cs.cas.cz/~rohn/)
- [Poznámky z přednášky Jiřího Tůmy](http://www.karlin.mff.cuni.cz/~tuma/NNlinalg.htm)
- [Skript na generování písemek pana Fialy](/NMAI057/fiala.py)
- [Cvičení Jiřího Žemličky (ak. rok 2002/2003)](http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zemlicka/cvic2-3/la.htm)

## Zakončení předmětu
- [Fiala - zadání a řešení rozstřelů z předtermínů](https://kam.mff.cuni.cz/~fiala/LA1/rozstrely.pdf)

### Zkouška
<<ExamList()>>

## Starý seznam otázek k přípravě na zkoušku
Bacha na to, že je z roku 2009, takže nemusí být všechny relevantní.

<{Details(Klikni sem pro zobrazení)}>
#### Polynomy   
1. Proč kořenový činitel dělí polynom beze zbytku.   
2. Proč celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty dělí $a0$.   
3. Dokažte, že ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen komplexně sdružený.   
4. Proč ke každým dvěma polynomům $p$, $q$ ($q$ nenulový) je určen částečný podíl a zbytek jednoznačně?   
5. Nechť má polynom $an = 1$ a má jen reálné nebo po dvou komplexně sdružené kořeny. Proč pak má všechny koeficienty reálné?   
6. Proč polynom lichého stupně s reálnými koeficienty musí mít alespoň jeden reálný kořen?   
7. Proč nemůže mít polynom stupně $n$ více než $n$ vzájmeně různých kořenů?   
8. Proč je polynom stupně $n$ určen jednoznačně svými hodnotami v $n + 1$ různých bodech?  
  
#### Lineární prostor
9. Odvoďte z axiomů linearity (v definici lineárního prostoru) vlastnosti: a) x + o = x, b) αo = o pro x libovolný prvek lineárního prostoru, o nulový prvek a $q \in \R$.   
10. Ověřte podrobně, že Rn s obvyklým +, · tvoří lineární prostor.   
11. Ukažte, že množina nekonečných posloupností s + a · definovaným „po složkáchÿ tvoří LP.   
12. Proč je množina všech posloupností s limitou=0 lineárním podprostorem LP všech posloupností?   
13. Proč množina M = {(a, b, c, d), |a| = |b|, |c| = |d|} není podprostorem R4?   
14. Zdůvodněte, proč průnik lineárních podprostorů je lineární podprostor a sjednocení lineárních pod-prostorů nemusí být lineární podprostor.  
  
#### Lineární závislost, obal, báze
15. Zdůvodněte podrobně z axiomů linearity, proč triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru.   
16. Proč přítomnost nulového vektoru ve skupině vektorů zaručuje lineární závislost této skupiny?   
17. Podrobně zdůvodněte, proč v lineárním prostoru reálných funkcí jsou funkce f, g, h dané vzorci   
f(x) = sin x, g(x) = x^2 a h(x) = 1 jsou lineárně nezávislé.   
18. Dokažte větu: vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když existuje jeden, který je lineární kombinací ostatních.   
19. Předpokládejte konečnou neprázdnou lineárně závislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč přidáním vektoru k množině M vznikne lineárně závislá množina.   
20. Předpokládejte konečnou aspoň dvouprvkovou lineárně nezávislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč odebráním vektoru z množiny M vznikne lineárně nezávislá množina.   
21. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč lineární závislost není ovlivněna pořadím vektorů.   
22. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč skupina vektorů, v níž se nějaký vektor opakuje, jelineárně závislá.   
23. Definujte lineární obal i pro nekonečné množiny. Zdůvodněte, proč z ∈ <M> právě tehdy, když existuje konečně mnoho vektorů z M tak, že z je jejich lineární kombinací.   
24. Dokažte <<M>> = <M> .   
25. Proč je množina vektorů M lineárním podprostorem právě tehdy, když je <M> = M?   
26. Proč je lineární obal jakékoli množiny podprostor?   
27. Zdůvodněte, proč je lineární obal množiny M nejmenším podprostorem, který obsahuje M.   
28. Předpokládejte N lineárně nezávislou množinu a z nenáleží <M>. Dokažte, že přidáním vektoru z k N zůstává tato množina lineárně nezávislá.   
29. Popište postup, jakým lze (v lineárním prostoru s konečnou dimenzí) doplnit libovolnou lineárně nezávislou množinu N na bázi.   
30. Zdůvodněte, proč lze z lineárně závislé množiny M odebrat vektor tak, že lineární obal zmenšené množiny je stejný jako lineární obal původní množiny M.   
31. Zformulujte (bez důkazu) Steintzovu větu o výměně a vysvětlete její využití v důkaze tvrzení, že každé dvě báze stejného lineárního prostoru mají stejný počet prvků.   
32. Proč lineárně nezávislá množina vektorů nesmí mít více prvků, než dimenze lineárního prostoru těchto vektorů?   
33. V lineárním prostoru L uvažujte množinu M, která má více prvků, než dimL. Proč musí být M lineárně závislá?   
34. Dokažte, že pokud má množina M stejně prvků, jako je dimL, pak je lineárně nezávislá právě tehdy, když <M> = L.   
35. Zdůvodněte, proč množina {1, x, x^2, x^3, . . .} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů.   
36. Podrobně zdůvodněte, proč množina polynomů {x^2+1, x, x−1} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů nejvýše druhého stupně.  
  
#### Matice
37. Proč matice typu (m, n) tvoří lineární prostor? Jakou má tento prostor dimenzi?   
38. Proč GEM nemění lineární obal řádků?   
39. Jak GEM slouží k výpočtu hodnosti matice? Popište metodu a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně počítá hodnost matice.   
40. Popište metodu ověření lineární závislosti vektorů z Rn eliminací matice, ve které jsou tyto vektory zapsány po řádcích. Jak tato metoda souvisí s definicí lineární závislosti?   
41. Definujte maticové násobení. Proč čtvercová matice A komutuje s A2?   
42. Dokažte asociativitu maticového násobení.   
43. Dokažte asociativitu maticového násobení a maticového násobku.   
44. Zdůvodněte, proč maticové násobení nemusí být komutativní ani pro čtvercové matice.   
45. Proč má horní trojúhelníková matice linárně nezávislé řádky?   
46. Zdůvodněte, proč matice komutující s pevně danou maticí tvoří lineární podprostor.   
47. Proč je součin regulárních matic regulární?   
48. Čím je zaručena jednoznačnost inverzní matice?   
49. Popište metodu výpočtu inverzní matice eliminací a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně dává inverzní matici.   
50. Vynásobíme-li matici A regulární maticí, pak se matice A může změnit, ale nezmění se její hodnost. Proč?   
51. Co víme o hodnosti součinu matic, když známe hodnosti jednotlivých činitelů? Zdůvodněte.   
  
#### Determinant
52. Definice determinantu.   
53. Zdůvodněte z definice základní vlastnosti determinantu.   
54. Proč přičtení násobku řádku k jinému nezmění hodnotu determiantu?   
55. Formulujte (bez důkazu) větu o rozvoji determinatu podle řádku/sloupce.   
56. Z věty o determinantu součinu odvoďte vzorec pro determinant inverzní matice.   
57. Zformulujte a dokažte větu na výpočet inverzní matice pomocí doplňků.   
  
  
#### Soustavy lineárních rovnic
58. Frobeniova věta, přesná formulace, význam, důkaz.   
59. Definice pojmu řešení soustavy lineárních rovnic.   
60. Proč množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic tvoří lineární podprostor?   
61. Nechť v je jedno řešení soustavy lineárních rovnic. Proč všechna ostatní řešení této soustavy jsou ve tvaru součtu v + u, kde u je nějaké řešení homogenní soustavy přidružené k dané soustavě?   
62. Zformulujte a dokažte Cramerovu větu.   
63. Nechť M = v+<u1, . . . ,uk>  , M′=v' + <u′1, . . . ,u′k> . Navrhněte a zdůvodněte postup, podle kterého poznáte, že M = M′.   
64. Jakou dimenzi má prostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic a proč?   
  
#### Konečná dimenze
65. Definujte pojem souřadnice vzhledem k uspořádané bázi. Zdůvodněte existenci a jednoznačnost souřadnic.   
66. Proč jsou souřadnice polynomu vzhledem ke standardní bázi lin. prostoru polynomů nejvýše n-tého stupně rovny koeficientům tohoto polynomu?   
67. Proč jsou souřadnice vektoru z Rn vzhledem ke standardní bázi rovny složkám tohoto vektoru?   
68. Proč je zobrazení, které vektorům přiřadí uspořádanou n-tici jejich souřadnic vzhledem k pevně zvolené bázi, lineární?   
69. Definujte spojení dvou podprostorů. Čemu je rovnen součet dimenzí spojení a průniku dvou podprostorů?
<{/Details}>