# **NMAI057** Lineární algebra 1 <{Box(infobox)}> |-----|-----| | **Učitel:** | [doc. RNDr. Martin Balko, Ph.D.](https://kam.mff.cuni.cz/~balko/) | | | [prof. Mgr. Milan Hladík, Ph.D.](https://kam.mff.cuni.cz/~hladik/) | | | [doc. Mgr. Petr Kolman, Ph.D.](https://kam.mff.cuni.cz/~kolman/) | | | [prof. RNDr. Jiří Fiala, Ph.D.](https://kam.mff.cuni.cz/~fiala/) | | **Odkaz do SISu:** | [NMAI057](https://is.cuni.cz/studium/predmety/index.php?do=predmet&kod=NMAI057) | | **Diskuze:** | [Discord kanál](https://discord.com/channels/625428723302137876/758679352958910495) | <{/Box}> ## Studijní materiály ### Skripta - [Milan Hladík - lineární algebra (nejen) pro informatiky](https://www.ms.mff.cuni.cz/~sejkoraji/sbirka/zalohy/skripta_la.pdf) odkaz momentálně nefunkční - [zde funkční](https://slama.dev/poznamky/priprava-na-statnice-mff-uk/la.pdf) - [Jindřich Bečvář - Lineární algebra](https://www2.karlin.mff.cuni.cz/~halas/becvar_-_linearni_algebra.pdf) (obsáhlejší) - [Videa a prezentace od Jiřího Fialy](https://kam.mff.cuni.cz/~fiala/LA1/) - výborně vysvětlená látka a stručné důkazy - KSP seriál o LA: - [1. Lineární rovnice](https://ksp.mff.cuni.cz/h/ulohy/35/zadani1.html#task-35-1-S) - [2. Lineární zobrazení ](https://ksp.mff.cuni.cz/h/ulohy/35/zadani2.html#task-35-2-S) - [3. Vektorové prostory](https://ksp.mff.cuni.cz/h/ulohy/35/zadani3.html#task-35-3-S) - [4. Skalární součin](https://ksp.mff.cuni.cz/h/ulohy/35/zadani4.html#task-35-4-S) - [5. Determinant](https://ksp.mff.cuni.cz/h/ulohy/35/zadani5.html#task-35-5-S) ### Poznámky - [rdck.dev](https://rdck.dev/LA1.html) - poznámky 2023/2024 - [Poznámky Kuby Smolíka](https://couleslaw.github.io/mff-notes/01/Lingebra-1.pdf) - ručně psané - [Poznámky z přednášky](http://docs.google.com/leaf?id=0BwESyQzGMMjkOTk1ZmQ5YzItODJhMS00NjEzLTk3MTMtZDM2MWVlODgyMTNk&hl=cs) - T. Witzany ak. rok 2009/2010 - [Poznámky Adama Lišky z přednášek J. Fialy](http://www.adliska.com/downloads/notes/linearni_algebra_I.pdf) - poznámky 2007/2008 - [Otázky (a odpovědi) na zkoušku k Fialovi](https://1drv.ms/b/c/382e006096907451/IQC3Kc_QYgDjToSs6mGNqH8QAX8imeG508h4jWDlTBrQtck) ### Ostatní - [Podrobný minimální sylabus](/NMAI057/Lingebra-podrobny-minimalni-sylabus.pdf) - [3b1b - Essence of linear algebra](https://www.youtube.com/watch?v=kjBOesZCoqc&list=PL0-GT3co4r2y2YErbmuJw2L5tW4Ew2O5B) - Hezké vizualizace konceptů z LA - [Mapa od Pavla Klavíka](https://pavel.klavik.cz/orgpad/linearni_algebra.html) - [Výukové materiály Jiřího Rohna](http://www.cs.cas.cz/~rohn/) - [Poznámky z přednášky Jiřího Tůmy](http://www.karlin.mff.cuni.cz/~tuma/NNlinalg.htm) - [Skript na generování písemek pana Fialy](/NMAI057/fiala.py) - [Cvičení Jiřího Žemličky (ak. rok 2002/2003)](http://www.karlin.mff.cuni.cz/~zemlicka/cvic2-3/la.htm) - [Jáchymovy Anki kartičky z Fialových otázek](/NMAI057/Matfyz__Lineární algebra 1.apkg) [ZS 25/26] - obsahuje definice, důkazové otázky a aplikace, **neobsahuje** přehledové otázky - obsahuje i kvízy a rozepsané odpovědi na ně - před použitím si to raději zkontrolujte <{Box(infobox)}> ![lineární algebra a žaba](/NMAI057/lingebra-a-zaba.png) <{/Box}> ## Zakončení předmětu ### Zkouška - **2026** - [Fiala 23. 1. 2026](/NMAI057/Zkouška Fiala 23. 1. 2026) - [Fiala 16. 1. 2026](/NMAI057/Zkouška Fiala 16. 1. 2026) - [Fiala - zadání a řešení rozstřelů z předtermínů](https://kam.mff.cuni.cz/~fiala/LA1/rozstrely.pdf) - [Fiala 9. 1. 2026](/NMAI057/Zkouška Fiala 9. 1. 2026) - [Fiala 19. 12. 2025](/NMAI057/Zkouška Fiala 19. 12. 2025) - [Fiala 12. 12. 2025](/NMAI057/Zkouška%20Fiala%2012.12.%202025) - **2025** - [Kolman 21. 01. 2025](/NMAI057/Zkouška%20Kolman%2021.%201.%202025) - [Hladík 13. 01. 2025](/NMAI057/Zkouška Hladík 13. 1. 2025) - [Hladík 16. 01. 2025](/NMAI057/Zkouška Hladík 16. 1. 2025) - [Hladík 30. 01. 2025](/NMAI057/Zkouška Hladík 30. 1. 2025) - **2024** - [Kolman 25. 1. 2024 B](/NMAI057/Zkouška%20Kolman%2025.1.2024%20B) - [Kolman 1. 2. 2024 B](/NMAI057/Zkouška%20Kolman%201.2.2024%20B) - [Kolman 14. 2. 2024 A](/NMAI057/Zkouška%20Kolman%2014.2.2024%20A) - **2023** - [Fiala 13. 01. 2023](/NMAI057/Zkouška Fiala 13. 1. 2023) - [Fiala 16. 01. 2023](/NMAI057/Zkouška Fiala 16. 1. 2023) - **2022** - [Balko 09. 01. 2022](/NMAI057/Zkouška Balko 9. 1. 2022) - [Balko 11. 01. 2022](/NMAI057/Zkouška Balko 11. 1. 2022) - [Balko 13. 01. 2022](/NMAI057/Zkouška Balko 13. 1. 2022) - [Balko 18. 01. 2022](/NMAI057/Zkouška Balko 18. 1. 2022) - [Balko 20. 01. 2022](/NMAI057/Zkouška Balko 20. 1. 2022) - [Fiala 09. 01. 2022](/NMAI057/Zkouška Fiala 9. 1. 2022) - **2019** - [Hladík + Hubáček 15. 01. 2019](/NMAI057/Zkouška Hladík 15. 1. 2019) - [Hladík + Hubáček 21. 01. 2019](/NMAI057/Zkouška Hladík 21. 1. 2019) - [Hubáček 24. 01. 2019](/NMAI057/Zkouška Hubáček 24. 1. 2019) - **2018** - [Hubáček + Valtr 11. 01. 2018](/NMAI057/Zkouška Hubáček 11. 1. 2018) - [Hubáček + Valtr 15. 01. 2018](/NMAI057/Zkouška Hubáček 15. 1. 2018) - [Hubáček + Valtr 18. 01. 2018](/NMAI057/Zkouška Hubáček 18. 1. 2018) - [Hubáček + Valtr 29. 01. 2018](/NMAI057/Zkouška Hubáček 29. 1. 2018) - **2017** - [Hladík 26. 01. 2017](/NMAI057/Zkouška Hladík 26. 1. 2017) - [Pangrác 02. 02. 2017](/NMAI057/Zkouška Pangrác 2. 2. 2017) - **2014** - [Hladík 14. 01. 2014](/NMAI057/Zkouška Hladík 14. 1. 2014) - **2013** - [Hladík 15. 01. 2013](/NMAI057/Zkouška Hladík 15. 1. 2013) - [Sgall 11. 01. 2013](/NMAI057/Zkouška Sgall 11. 1. 2013) - [Sgall 16. 01. 2013](/NMAI057/Zkouška Sgall 16. 1. 2013) - **2012** - [Matoušek 12. 01. 2012](/NMAI057/Zkouška Matoušek 12. 1. 2012) - [Matoušek 19. 01. 2012](/NMAI057/Zkouška Matoušek 19. 1. 2012) - [Hladík 11. 01. 2012](/NMAI057/Zkouška Hladík 11. 1. 2012) - [Hladík 26. 01. 2012](/NMAI057/Zkouška Hladík 26. 1. 2012) - [Hladík 09. 02. 2012](/NMAI057/Zkouška Hladík 9. 2. 2012) - **2011** - [Hladík 20. 01. 2011](/NMAI057/Zkouška Hladík 20. 1. 2011) - [Hladík 20. 01. 2011](/NMAI057/Zkouška Hladík 20. 1. 2011 B) - [Hladík 20. 01. 2011](/NMAI057/Zkouška Hladík 20. 1. 2011 (copy)) - [Hladík 27. 01. 2011](/NMAI057/Zkouška Hladík 27. 1. 2011) - [Hladík 03. 02. 2011](/NMAI057/Zkouška Hladík 3. 2. 2011) - [Hladík 03. 02. 2011](/NMAI057/Zkouška Hladík 3. 2. 2011 B) - [Hladík 10. 02. 2011](/NMAI057/Zkouška Hladík 10. 2. 2011) - [Hladík 10. 02. 2011](/NMAI057/Zkouška Hladík 10. 2. 2011 B) - [Sgall 10. 01. 2011](/NMAI057/Zkouška Sgall 10. 1. 2011) - [Sgall 17. 01. 2011](/NMAI057/Zkouška Sgall 17. 1. 2011) - [Sgall 21. 01. 2011](/NMAI057/Zkouška Sgall 21. 1. 2011) - **2010** - [Hladík 16. 01. 2010](/NMAI057/Zkouška Hladík 16.1. 2010) - [Hladík 21. 01. 2010](/NMAI057/Zkouška Hladík 21. 1. 2010) - [Hladík 28. 01. 2010](/NMAI057/Zkouška Hladík 28. 1. 2010) - [Hladík 04. 02. 2010](/NMAI057/Zkouška Hladík 4. 2. 2010) - [Hladík 11. 02. 2010](/NMAI057/Zkouška Hladík 11. 2. 2010) - [Sgall 11. 01. 2010](/NMAI057/Zkouška Sgall 11. 1. 2010) - [Sgall 02. 02. 2010](/NMAI057/Zkouška Sgall 2. 2. 2010) - **2009** - [Fiala 12. 01. 2009](/NMAI057/Zkouška Fiala 12. 1. 2009) - [Fiala 14. 01. 2009](/NMAI057/Zkouška Fiala 14. 1. 2009) - [Fiala 22. 01. 2009](/NMAI057/Zkouška Fiala 22. 1. 2009) - [Fiala 08. 02. 2009](/NMAI057/Zkouška Fiala 8. 2. 2009) - [Hladík 27. 01. 2009](/NMAI057/Zkouška Hladík 27. 1. 2009) - [Hladík 03. 02. 2009](/NMAI057/Zkouška Hladík 3. 2. 2009) - [Hladík 10. 02. 2009](/NMAI057/Zkouška Hladík 10. 2. 2009) - [Hladík 17. 02. 2009](/NMAI057/Zkouška Hladík 17. 2. 2009) - [Kučera 14. 02. 2009](/NMAI057/Zkouška Kučera 14. 2. 2009) - **2008** - [Fiala 23. 01. 2008](/NMAI057/Zkouška Fiala 23. 1. 2008) - [Kolman 10. 01. 2008](/NMAI057/Zkouška Kolman 10. 1. 2008) - [Kolman 23. 01. 2008](/NMAI057/Zkouška Kolman 23. 1. 2008) - [Kolman 29. 01. 2008](/NMAI057/Zkouška Kolman 29. 1. 2008) - [Kučera 17. 01. 2008](/NMAI057/Zkouška Kučera 17. 1. 2008) - [Kučera 24. 01. 2008](/NMAI057/Zkouška Kučera 24. 1. 2008) - [Kučera 31. 01. 2008](/NMAI057/Zkouška Kučera 31. 1. 2008) - [Kučera 31. 01. 2008](/NMAI057/Zkouška Kučera 31. 1. 2008 B) - **2007** - [Fiala 10. 1. 2007](/NMAI057/Zkuška Fiala 10. 1. 2007) - [Fiala 12.1.2007](/NMAI057/Zkouška Fiala 12.1.2007) - [23.1. 2007](/NMAI057/Zkouška 23.1. 2007) - [Tuma Barto 31.1. 2007](/NMAI057/Zkouška Tuma Barto 31.1. 2007) - [Fiala 1.2. 2007](/NMAI057/Zkouška Fiala 1.2. 2007) - **2006** - [Předtermín 13.1. 2006](/NMAI057/Předtermín 13.1. 2006) - [Matoušek 17.1. 2006](/NMAI057/Zkouška Matoušek 17.1. 2006) - [19.1. 2006](/NMAI057/Zkouška 19.1. 2006) - [26.1. 2006 A](/NMAI057/Zkouška 26.1. 2006 A) - [26.1. 2006 B](/NMAI057/Zkouška 26.1. 2006 B) - [16.2. 2006](/NMAI057/Zkouška 16.2. 2006) - [07.02. 2006](/NMAI057/Zkouška 07.02. 2006) - **2005** - [3.1. 2005](/NMAI057/Zkouška 3.1. 2005) - [Předtermín Fiala 04.01 a 11.1](/NMAI057/Predtermín Fiala 4.1 a 11.1) - [11.1. 2005](/NMAI057/Predtermin 11.1. 2005) - [14.1. 2005](/NMAI057/Předtermín 14.1. 2005) - [Tůma 18.01. 2005 A](/NMAI057/Zkouška 18.1. 2005) - [Tůma 18.01. 2005 B](/NMAI057/Zkouška Tůma 18.1. 2005 B) - [Tůma 18.01. 2005 C](/NMAI057/Zkouška 18.1. 2005 C) - [Tůma 08.02. 2005](/NMAI057/Zkouška Tůma 8.2. 2005) ## Starý seznam otázek k přípravě na zkoušku Bacha na to, že je z roku 2009, takže nemusí být všechny relevantní. <{Details(Klikni sem pro zobrazení)}> #### Polynomy 1. Proč kořenový činitel dělí polynom beze zbytku. 2. Proč celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty dělí $a0$. 3. Dokažte, že ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen komplexně sdružený. 4. Proč ke každým dvěma polynomům $p$, $q$ ($q$ nenulový) je určen částečný podíl a zbytek jednoznačně? 5. Nechť má polynom $an = 1$ a má jen reálné nebo po dvou komplexně sdružené kořeny. Proč pak má všechny koeficienty reálné? 6. Proč polynom lichého stupně s reálnými koeficienty musí mít alespoň jeden reálný kořen? 7. Proč nemůže mít polynom stupně $n$ více než $n$ vzájmeně různých kořenů? 8. Proč je polynom stupně $n$ určen jednoznačně svými hodnotami v $n + 1$ různých bodech? #### Lineární prostor 9. Odvoďte z axiomů linearity (v definici lineárního prostoru) vlastnosti: a) x + o = x, b) αo = o pro x libovolný prvek lineárního prostoru, o nulový prvek a $q \in \R$. 10. Ověřte podrobně, že Rn s obvyklým +, · tvoří lineární prostor. 11. Ukažte, že množina nekonečných posloupností s + a · definovaným „po složkáchÿ tvoří LP. 12. Proč je množina všech posloupností s limitou=0 lineárním podprostorem LP všech posloupností? 13. Proč množina M = {(a, b, c, d), |a| = |b|, |c| = |d|} není podprostorem R4? 14. Zdůvodněte, proč průnik lineárních podprostorů je lineární podprostor a sjednocení lineárních pod-prostorů nemusí být lineární podprostor. #### Lineární závislost, obal, báze 15. Zdůvodněte podrobně z axiomů linearity, proč triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru. 16. Proč přítomnost nulového vektoru ve skupině vektorů zaručuje lineární závislost této skupiny? 17. Podrobně zdůvodněte, proč v lineárním prostoru reálných funkcí jsou funkce f, g, h dané vzorci f(x) = sin x, g(x) = x^2 a h(x) = 1 jsou lineárně nezávislé. 18. Dokažte větu: vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když existuje jeden, který je lineární kombinací ostatních. 19. Předpokládejte konečnou neprázdnou lineárně závislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč přidáním vektoru k množině M vznikne lineárně závislá množina. 20. Předpokládejte konečnou aspoň dvouprvkovou lineárně nezávislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč odebráním vektoru z množiny M vznikne lineárně nezávislá množina. 21. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč lineární závislost není ovlivněna pořadím vektorů. 22. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč skupina vektorů, v níž se nějaký vektor opakuje, jelineárně závislá. 23. Definujte lineární obal i pro nekonečné množiny. Zdůvodněte, proč z ∈ právě tehdy, když existuje konečně mnoho vektorů z M tak, že z je jejich lineární kombinací. 24. Dokažte <> = . 25. Proč je množina vektorů M lineárním podprostorem právě tehdy, když je = M? 26. Proč je lineární obal jakékoli množiny podprostor? 27. Zdůvodněte, proč je lineární obal množiny M nejmenším podprostorem, který obsahuje M. 28. Předpokládejte N lineárně nezávislou množinu a z nenáleží . Dokažte, že přidáním vektoru z k N zůstává tato množina lineárně nezávislá. 29. Popište postup, jakým lze (v lineárním prostoru s konečnou dimenzí) doplnit libovolnou lineárně nezávislou množinu N na bázi. 30. Zdůvodněte, proč lze z lineárně závislé množiny M odebrat vektor tak, že lineární obal zmenšené množiny je stejný jako lineární obal původní množiny M. 31. Zformulujte (bez důkazu) Steintzovu větu o výměně a vysvětlete její využití v důkaze tvrzení, že každé dvě báze stejného lineárního prostoru mají stejný počet prvků. 32. Proč lineárně nezávislá množina vektorů nesmí mít více prvků, než dimenze lineárního prostoru těchto vektorů? 33. V lineárním prostoru L uvažujte množinu M, která má více prvků, než dimL. Proč musí být M lineárně závislá? 34. Dokažte, že pokud má množina M stejně prvků, jako je dimL, pak je lineárně nezávislá právě tehdy, když = L. 35. Zdůvodněte, proč množina {1, x, x^2, x^3, . . .} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů. 36. Podrobně zdůvodněte, proč množina polynomů {x^2+1, x, x−1} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů nejvýše druhého stupně. #### Matice 37. Proč matice typu (m, n) tvoří lineární prostor? Jakou má tento prostor dimenzi? 38. Proč GEM nemění lineární obal řádků? 39. Jak GEM slouží k výpočtu hodnosti matice? Popište metodu a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně počítá hodnost matice. 40. Popište metodu ověření lineární závislosti vektorů z Rn eliminací matice, ve které jsou tyto vektory zapsány po řádcích. Jak tato metoda souvisí s definicí lineární závislosti? 41. Definujte maticové násobení. Proč čtvercová matice A komutuje s A2? 42. Dokažte asociativitu maticového násobení. 43. Dokažte asociativitu maticového násobení a maticového násobku. 44. Zdůvodněte, proč maticové násobení nemusí být komutativní ani pro čtvercové matice. 45. Proč má horní trojúhelníková matice linárně nezávislé řádky? 46. Zdůvodněte, proč matice komutující s pevně danou maticí tvoří lineární podprostor. 47. Proč je součin regulárních matic regulární? 48. Čím je zaručena jednoznačnost inverzní matice? 49. Popište metodu výpočtu inverzní matice eliminací a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně dává inverzní matici. 50. Vynásobíme-li matici A regulární maticí, pak se matice A může změnit, ale nezmění se její hodnost. Proč? 51. Co víme o hodnosti součinu matic, když známe hodnosti jednotlivých činitelů? Zdůvodněte. #### Determinant 52. Definice determinantu. 53. Zdůvodněte z definice základní vlastnosti determinantu. 54. Proč přičtení násobku řádku k jinému nezmění hodnotu determiantu? 55. Formulujte (bez důkazu) větu o rozvoji determinatu podle řádku/sloupce. 56. Z věty o determinantu součinu odvoďte vzorec pro determinant inverzní matice. 57. Zformulujte a dokažte větu na výpočet inverzní matice pomocí doplňků. #### Soustavy lineárních rovnic 58. Frobeniova věta, přesná formulace, význam, důkaz. 59. Definice pojmu řešení soustavy lineárních rovnic. 60. Proč množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic tvoří lineární podprostor? 61. Nechť v je jedno řešení soustavy lineárních rovnic. Proč všechna ostatní řešení této soustavy jsou ve tvaru součtu v + u, kde u je nějaké řešení homogenní soustavy přidružené k dané soustavě? 62. Zformulujte a dokažte Cramerovu větu. 63. Nechť M = v+ , M′=v' + . Navrhněte a zdůvodněte postup, podle kterého poznáte, že M = M′. 64. Jakou dimenzi má prostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic a proč? #### Konečná dimenze 65. Definujte pojem souřadnice vzhledem k uspořádané bázi. Zdůvodněte existenci a jednoznačnost souřadnic. 66. Proč jsou souřadnice polynomu vzhledem ke standardní bázi lin. prostoru polynomů nejvýše n-tého stupně rovny koeficientům tohoto polynomu? 67. Proč jsou souřadnice vektoru z Rn vzhledem ke standardní bázi rovny složkám tohoto vektoru? 68. Proč je zobrazení, které vektorům přiřadí uspořádanou n-tici jejich souřadnic vzhledem k pevně zvolené bázi, lineární? 69. Definujte spojení dvou podprostorů. Čemu je rovnen součet dimenzí spojení a průniku dvou podprostorů? <{/Details}>