# Zkouška 27.1.2010

<{ForumPost(poster="Acris", timestamp=2010-01-29 00:18:48)}>
1. (6 bodů) Popište uzávěr množiny X v euklidovské rovině $R^2$,  
$$X = \{ [x,y] \mid x = 1, { 1 \over 2 }, , { 1 \over 3 }, , { 1 \over 4 }, ... ; 0 \leq y \leq 1 - x \}.$$  
Odpověď zdůvodněte.  
  
2. (6 bodů)   
(a) Vysvětlete typy konvergence posloupností a řad funkcí.  
(b) Ano nebo ne: když posloupnost reálných funkcí konverguje stejnoměrně na množině A a konverguje stejnoměrně na množině B, potom konverguje stejnoměrně i na jejich sjednocení $A \cup B$.  
(c) Ano nebo ne: posloupnost funkcí   
$$f_n(x) = { 1 \over x + n }, n = 1, 2, 3, \dots$$   
konverguje stejnoměrně na množině $\{ - {1 \over 2 },  - {3 \over 2 },  - {5 \over 2 },  - {7 \over 2 }, \dots \}$.   
  
Odpovědi zdůvodněte.  
  
3. (6 bodů)  
(a) Uveďte (bez důkazu) výsledky o mocninných řadách v reálném oboru.  
(b) Rozhodněte, zda funkce   
$$f(x) = \sum_{n \geq 1} { (-1)^{n+1} x^n \over  n^3 }$$   
je na intervalu (0,1) rostoucí nebo klesající nebo není ani jedno z toho.  
  
Odpověď zdůvodněte.  
  
4. (6 bodů) Uvěďte a dokažte Banachovu větu o pevném bodu.  
  
Teorie se zde sešla docela pěkná. Ale dohromady toho bylo docela hodně, především těch příkladů, které člověk musí rozmyslet. Mé ideje:  
1. $\overline{X} = X \cup \{ [x,y] \mid x = 0; 0 \leq y \leq 1 \}$  
2.   
(b) ANO (Vyjde z definic stejnoměrné konvergence.)  
    (c) NE (Jako "kazibody" lze vzít např. $x_n = - { 2n + 1 \over 2 }$. Jelikož $f_n(x) \to 0$ (pro lib. pevné x a n jdoucí do nekonečna), tak $\vert f_n(x_n) - f (x_n) \vert = 2$, tedy můžeme vzít $\varepsilon < 2$, že $f_n$ nekonverguje stejnoměrně.)
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="GR", timestamp=2010-02-02 17:09:36)}>
2 (b) Sice som nevedel, ako to ma byt (myslim skor, ze to ma byt ANO), ale nezda sa mi odpoved "NE", ktoru si takto zdovodnil.  Resp. chcel by som to pochopit. Ty si ukazal, ze to nekonverguje na nejakom otvorenom intervale (oznacme ho C) . Ale... neviem si predstavit, nejake dva intervaly, A a B, pre ktore A U B  = C , pricom funkcia konverguje stejnomerne na oboch intervaloch ale nie na C.  Mozes mi to prosim objasnit?
<{/ForumPost}>

<{ForumPost(poster="Acris", timestamp=2010-02-02 20:11:20)}>

 > GR wrote:2 (b) Sice som nevedel, ako to ma byt (myslim skor, ze to ma byt ANO), ale nezda sa mi odpoved "NE", ktoru si takto zdovodnil.  Resp. chcel by som to pochopit. Ty si ukazal, ze to nekonverguje na nejakom otvorenom intervale (oznacme ho C) . Ale... neviem si predstavit, nejake dva intervaly, A a B, pre ktore A U B  = C , pricom funkcia konverguje stejnomerne na oboch intervaloch ale nie na C.  Mozes mi to prosim objasnit?

Omlouvám se. Posunulo se mi číslování (již je to opraveno), jelikož (a) jsou definice konvergence, které mi přišlo zbytečné uvádět (bodová, stejnoměrná a lokální stejnoměrná konvergence pro funkce i řady). A proto 2 (b) má odpověď opravdu ANO. Plyne to přímo z definic stejnoměrné konvergnece:  
  
$$\forall \varepsilon > 0 ~ \exists n_1 \in \mathbb N ~ \forall x \in A ~ \forall n > n_1: \vert f_n(x) - f(x) \vert < \varepsilon.$$  
$$\forall \varepsilon > 0 ~ \exists n_2 \in \mathbb N ~ \forall x \in B ~ \forall n > n_2: \vert f_n(x) - f(x) \vert < \varepsilon.$$  
Položme $n_3 := \max \{ n_1, n_2 \}.$ Pak platí:   
$$\forall \varepsilon > 0 ~ \exists n_3 \in \mathbb N ~ \forall x \in A \cup B ~ \forall n > n_3: \vert f_n(x) - f(x) \vert < \varepsilon.$$  
V tomto případě totiž když vezmeme lib. prvek z A U B, tak je to prvek buď z A nebo z B (příp. z obou). A jelikož n > n_3 >= n_1 a n > n_3 >= n2, tak máme zaručeno, že $\vert f_n(x) - f(x) \vert < \varepsilon$.  
  
A tedy otázka 2 (c) má odpověď NE, což se ukázalo např. tak, že   
$$\exists \varepsilon = {1 \over 2} ~ \forall n_0 \in \mathbb N ~ \exists x_{n_0} = -{2n_0 + 1 \over 2}  ~\exists n = n_0 : \vert f_n(x_n) - f(x_n) \vert = 2 
ot < \varepsilon$$  
  
A ještě mohu doplnit návod na 3 (b). Ukáže se, že poloměr konvergence je 1, tedy na (0,1) řada určitě konverguje. Proto ji tam můžeme zderivovat člen po členu a pak ukázat, že nám vyšla kladná funkce (ta derivace). Proto je f rostoucí na (0,1).
<{/ForumPost}>