# Rataj 13.9.2010

<{ForumPost(poster="mrwep", timestamp=2010-09-13 13:06:23)}>
Dnes zadání bylo:  
  
(1) Najděte primitivní funkci:  
$$\int\frac{x^4-x^3-3x}{(x-1)^2(x^2+x+1)}\,dx.$$  
(10 bodů)  
  
(2) Rozhodněte, zda má spirála v rovině s parametrizací  
$$x=\frac{1}{t}\cos t,\,y=\frac{1}{t}\sin t, t \in [1,\infty),$$  
konečnou délku.  
(10 bodů)  
  
(3) Lze funkci  
$$f(x,y,z)=\frac{\sin(xy)+\sin(yz)+\sin(xz)}{x^2+y^2+z^2}$$  
spojitě dodefinovat v počátku $(0,0,0)$?  
(10 bodů)  
  
(4) Funkce $y=f(x)$ je na okolí bodu $x=0$ a s hodnotou $f(0)=\frac{\pi}{2}$ zadáne implicitně rovnicí  
$$\arctan(e^x-\sin y)+\cos(x-y)=0.$$  
Spočtěte $f'(0)$ a $f''(0)$.  
(10 bodů)  
  
Všechny výpočty a odpovědi řádně zdůvodněte.  
Na vypracování máte 120 minut. Požadované minimum: 20 bodů.  
Při práci můžete používat pouze jeden vlastní popsaný list formátu A4 se vzorečky. Není povoleno používat mobily ani žádnou výpočetní techniku.
<{/ForumPost}>