# 22. 6. 2018 - Klimošová

<{ForumPost(poster="NeverNotBluu", timestamp=2018-06-22 16:24:52)}>
**Délka zkoušky: 3h, Maximální počet bodů: 70**  
1)  
a) (*3b*) Definujte vícerozměrný Riemannův integrál a horní a dolní Riemannovu sumu.   
b) (*5b*) Pro které funkce platí s(f,P1) = S(f,P2) pro libovolná dělení P1 a P2 intervalu \[a,b]? Pokud existují dělení P1 a P2 intervalu \[a,b] splňující s(f,P1) = S(f, P2), co můžeme říct o integrovatelnosti funce? Zdůvodněte.  
c) (*5b*) Definujte množinu míry nula na R. Uveďte příklad nekonečné podmnožiny reálných čísel s mírou nula a dokažte to o ní.  
d) (*4b*) Platí, že sjednocení libovolně mnoha množin míry nula je množina míry nula? (Dokažte, nebo uveďte protipříklad)  
e) (*2b*) Formulujte Lebesgueovo kritérium integrovatelnosti.  
f) (*4b*) Spočtěte primitivní funkci k |x^2 - 6x + 8| + |x-2| na největších možných intervalech.  
  
2)  
a) (*5b*) Definujte totální diferenciál. Pro f(x,y) = xy spočtěte Df(x,y)(h1,h2) obvyklou metodou a výsledek poté ověřte podle definice.  
b) (*3b*) Formulujte větu o implicitní funkci.  
c) (*4b*) Nechť f:R<sup>2</sup> -> R<sup>2</sup> je funkce dvou proměnných diferencovatelná v bodě (0,0) a jsou zadány její směrové derivace v bodě (0,0) ve směrech **u** = (1/sqrt(2), 1/sqrt(2)) a **v** = (1/2, sqrt(3)/2): *d<sub>u</sub>*(0,0) = 1/sqrt(2) a *d<sub>v</sub>*(0,0) = (2-sqrt(3))/2. Určete totální diferenciál Df(0,0).  
d) (*4b*) Jsou dány funkce f(u,v) = (u<sup>2</sup>v<sup>2</sup>, 1/(uv)) a g(x,y) = lnx + lny. Spočtěte obě parciální derivace funkce h(u,v) = g(f(u,v)).  
e) (*7b*) Formulujte a dokažte větu o rovnosti smíšených parciálních derivací druhého řádu.  
f) (*6b*) Najděte globální extrémy funkce f(x,y) = x^3 - 3xy^2 - 15x - 12y na čtverci \[-3,3]x\[-3,3] . Určete, zda existují lokální extrémy uvnitř čtverce a zda jsou to minima nebo maxima.  
  
3)  
a) (*4b*) Nechť f a g jsou stejnosměrně spojité funkce definované na celém R . Rozhodněte o funkcích f+g a f.g, zda musí být stejnosměrně spojité. Dokažte, nebo uveďte protipříklady.  
b) (*7b*) Formulujte a dokažte větu o spojitosti a stejnoměrné spojitosti na kompaktním intervalu.  
c) (*4b*) Nechť *id*:R -> R je identické zobrazení (tj. f(x) = x pro každé x z R), d<sub>1</sub> je obvyklá metrika na R (d<sub>1</sub>(x,y) = |x-y|) a d<sub>disc</sub> je diskrétní metrika na R (d<sub>disc</sub>(x,y) = 1 pokud x != y a d<sub>disc</sub>(x,y) = 0 pokud x = y). Je *id*spojité zobrazení z (R, d<sub>1</sub>) do (R, d<sub>disc</sub>)? Je *id* spojité zobrazení z (R, d<sub>disc</sub>) do (R, d<sub>1</sub>)? Odpovědi zdůvodněte.  
d) (*3b*) Uveďte příklad spojitého zobrazení z topologického prostoru ({a,b,c}, T<sub>1</sub>) do topologického prostoru ({A,B,C}, T<sub>2</sub>), kde T<sub>1</sub> = {{}, {a}, {a,b}, {a,b,c}} a T<sub>2</sub> = 2<sup>{A,B,C}</sup> (tj. T<sub>2</sub> je množina všech podmnožin {A,B,C}).
<{/ForumPost}>