# NMAG337 Úvod do teorie grup

<{Box(infobox)}>
|K    |V    |
|-----|-----|
| **Učitel:**           | doc. Mgr. Jan Šaroch, Ph.D. |
| **Odkaz do SISu:**    | [NMAG337](https://is.cuni.cz/studium/predmety/index.php?do=predmet&kod=NMAG337&skr=2025&fak=11320) |
<{/Box}>

## Průběh přednášek 2025/26

1) Úvod, def. $\Omega$-grupy a morfismů, tvrzení 1.1-1.4 a 1.6
2) $\Omega$-inv. podgrupy, index podgrupy, Lagrangeova věta, faktorgrupy, jádro homom., tvrzení 1.7-1.11
3) Generované podgrupy, izomorfismy svazů grup, tvrzení 1.12-1.19
4) *??? TODO*
5) Normalizátor, centralizátor, tvrzení 2.3-2.5, 3.1
6) Grupa vnějších autom., iterovaná centra, tvrzení 3.2-3.13
7) Komutátor, komutant, řešitelné grupy, součin grup, semidirektní součin, tvrzení 1.14-3.18, 4.1-4.3
8) Působení grupy na množinu, tvrzení 4.4-4.5, 7.1-7.3
9) Transizitivní, (semi)regulární působení, ekvivalence působení, tvrzení 7.7-4.7, 7.10-7.11
10) Sylowovy p-podgrupy, tvrzení 8.1-8.5, 9.8
11) Abstraktní Galoisova korespondence, tvrzení 9.1-9.6, 9.9-9.10
12) Volné báze a grupy (vč. alt.def. jednoznačností), tvrzení 9.11-9.12, 10.1-10.5, 5.7

Úkoly:
1) Vyjmenujte podgrupy $S_4$, určete jejich normalitu. *(do 27. 10.)*
2) Dokažte, že pro $X$ nekonečné je $A_{(X)}$ jednoduchá. *(do 10. 11.)*
3) Které z dihedrálních grup jsou nilpotentní? *(do 24. 11.)*
4) Ať $G$ grupa, uvažujme Cayleyho vnoření $\eta: G\to S_G, \eta(g)=L_g, L_g:x\mapsto gx$. Dokažte, že $N_{S_G}(\text{Im}(\eta))) \simeq G \rtimes_\varphi \text{Aut}(G)$, kde $\varphi = \text{id}_{\text{Aut}(G)}$*(do 8. 12.)*
5) Uvažujme působení grupy $A_5$ na množině $X=\{1,2,3,4,5\}^3$ definované vztahem $\pi(k,l,m)=(\pi(k), \pi(l), \pi(m))$ pro $\pi\in A_5$.  
   Ověřte, že jde o působení, určete počet orbit a nějakou množinu reprezentantů těchto orbit. *(do 5. 1.)*

Na zápočet jsou potřeba 2 body, za správné řešení jednoho úkolu je 1 bod.

Na zkoušku tvrzení do 10.5.

## Materiály

Šaroch používá skripta od Aleše Drápala: "Teorie grup, základní aspekty", konkrétně prvních 10 kapitol. Skripta jde půjčit v Tróje, jinak je k dispozici [PDFko první části](/NMAG337/Drápal Teorie grup.pdf).


Když učil před lety předmět David Stanovský, měl k nim svoje [částečná skripta](https://web.archive.org/web/20180127171633/http://www.karlin.mff.cuni.cz/~stanovsk/vyuka/skripta_grupy.pdf).

Kniha An Introduction to the Theory of Groups [PDF](/NMAG337/groups.pdf)