# 11.12.2019 2. záp. písemka - Dvořák

<{ForumPost(poster="awk", timestamp=2019-12-12 12:01:54)}>
**2. písemka z Algebry I. - 11. prosince 2019**

1. Označme $C_{29400}$ cyklickou grupu řádu $29400$ generovanou prvkem $a \in G$.

    1. Najděte nějaký další generátor grupy $G.$ *(2 body)*
    1. Určete velikost grupy $\mathrm{Aut}(G)$. *(3 body)*(2+3=5 bodů)
1. Ukažte, že v grupě $(\mathbb{Q}, +)$ mají každé dvě netriviální podgrupy netriviální průnik.  
(4 body)
1. Pro grupu $G$ definujeme její centrum jako množinu $\mathrm{Z}(G) = \{ g \in G \, | \, g \cdot h = h\cdot g \,\,\, \forall h \in G \}$

    1. Ukažte, že pro každou grupu $G$ je její centrum normální podgrupou v $G$. *(4 body)*
    1. Popište $\mathrm{Z}(\mathbb{S}_n)$ pro obecné $n \in \mathbb{N}$. *(7 bodů)*(4+7=11 bodů)

<{/ForumPost}>