# 8.1.2019 2. zápočtový test Honzík

<{ForumPost(poster="awk", timestamp=2019-01-08 23:33:36)}>
Dnešní test:  
Původně bylo na vypracování 45 min, čas byl však mírně navýšen.  

1. Najděte všechny póly a rezidua funkce  
$$f(z) = \frac{1}{(z^2+i)^2}$$  
a spočtěte $\int_\varphi f(z)\, dz$, kde $\varphi = i + e^{it}$ pro $t \in [0,2\pi]$  
(10 bodů)
1. Pomocí integrace vhodné kontury spočtěte  
$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{(1+x^2)^2}\, dx$$  
(10 bodů)
1. Najděte Fourierovu řadu (v reálném tvaru) funkce   
$$f(x) = \cos \frac{x}{2}, \quad x \in [-\pi, +\pi]$$  
(10 bodů)
1. Najděte Fourierovu řadu (v reálném tvaru) funkce   
$$f(x) = \mathrm{e}^{|x|}, \quad x \in [-\pi, +\pi]$$  
(10 bodů)

----

Jak bude vypadat písemná zkouška?  
Zkouška se bude skládat ze 4 početních příkladů, na jejichž řešení bude 1h a 30 minut. Může se objevit libovolná kombinace z následujících:

* Elementární funkce (viz příklad 1, 2 v 1. zápočtovém testu [http://forum.matfyz.info/viewtopic.php?f=170&t=11832](http://forum.matfyz.info/viewtopic.php?f=170&t=11832))
* C-R podmínky (zjistěte zda $f$ má derivaci, máme reálnou část funkce, doplňte imaginární,...)
* Mocninné řady (vyjádření $f$ řadou, ať už pomocí derivování nebo převedením na nějakou známou řadu)
* Vyšetření řady (poloměr konvergence, spočítat derivace)
* Reziduová věta (dostaneme křivku, najdeme póly a máme určit, které leží vně a uvnitř křivky)
* Konturová integrace $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{P(x)}, \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{P(x)}, \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{P(x)}$, kde $P(x)$ je libovolný polynom
* Integrál z definice $\int_\varphi f(z)\, dz$ (pomocí parametrizace, popř. Cauchyho vzorcem pro kruh)
* Fourierovy řady pouze příklady na výpočet Fourierovy řady v reálném tvaru (znát vzorce a umět per partes)

<{/ForumPost}>