# 9.11.2017 1. zápočtový test Klimošová

<{ForumPost(poster="awk", timestamp=2018-09-08 14:13:17)}>
1. *(5 bodů)* Posloupnost $\{x_n\}_{n=0}^{\infty}$ je zadána následujícím předpisem: $x_0=2, x_1=3$ a $x_n = 6x_{n-1} - 9x_{n-2}$ pro $n \ge 2$. Dokažte matematickou indukcí, že pro každé celé číslo $n \ge 0$ platí $x_n = 3^n (2-n)$.
1. *(5 bodů)* Určete infimum a supremum množiny $M$ a rozhodněte, zda je to minimum, respektive maximum. Svou odpověď patřičně zdůvodněte.  
$$M = \{ \frac{n}{n \cdot m}\,|\,n,m \in \mathbb{N} \}$$
1. *(5 bodů)* Určete limitu, nebo dokažte, že neexistuje:  
$$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\left(\sqrt{9 n^4-5 n^2+3 n}-3 n^2+\frac{n+2}{3 n-3^{-n}}\right)$$
1. *(5 bodů)* Určete limitu, nebo dokažte, že neexistuje:  
$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\frac{(n!)^2}{(2 n)!}$

K úspěšnému napsání je třeba získat 10 bodů z 20.
<{/ForumPost}>