# Sylabus

*Atomové jádro: Základní vlastnosti a charakteristiky atomového jádra. Vazbové síly, vazbová energie jader. Radioaktivita. Jaderné reakce.*

# Atomové jádro

Z Rutherfordova experimentu přesvědčivě vyplynulo, že atomy mají kladně nabitá jádra o velikosti řádově $10^{-15}m$ a nesou většinu hmotnosti atomu. Při rozboru prvních jaderných reakcí se dospělo k závěru, že atomové jádro je tvořeno protony a neutrony.

| | proton | neutron |
| :--- | :---: | :---: |
| hmotnost v kg | $1{,}67262 \cdot 10^{-27}$ | $1{,}67494 \cdot 10^{-27}$ |
| klidová energie v MeV | 938,272 | 939,565 |
| střední doba života | $>10^{32}$ let | 896 s |
| spin | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| parita | 1 | 1 |
| elektrický náboj | e | 0 |
| poměr magnetického momentu k jadernému magnetonu $\mu_{N}$ | 2,793 | -1,913 |
| izospin | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| z-ová složka izospinu | $\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ |

Proton a neutron lze chápat jako dva stavy jediné částice - *nukleonu*, rozlišené průmětem izospinu T do osy z. Izospin má stejné matematické vlastnosti jako spin, je také axiálním vektorem, ale na rozdíl od spinu ne ve skutečném, ale v *izotopickém* prostoru.

## Základní vlastnosti a charakteristiky atomového jádra

Strukturu jádra charakterizují tři čísla:

- $\mathbf{Z}.......$Atomové číslo udává počet protonů v jádře, počet elektronů v obalu atomu, pořadové číslo v periodické tabulce prvků.

- $\mathbf{N}.......$Neutronové číslo udává počet neutronů v jádře.
- $\mathbf{A}.......$Hmotnostní (nukleonové) číslo udává počet všech nukleonů v jádře.

Platí:

$\mathbf{A = Z + N }$

Pro rozlišení struktury atomového jádra tavádíme následující pojmy:

*Nuklid* je látka, jejíž atomová jádra mají stejné A a N. 

Označuje se symbolem $^{A}_{Z} X$, kde X je chemická značka prvku. Tato značka se používá i pro příslušné jádro. 

*Izotopy* jsou jádra se stejným Z ale různým N. Příklad - izotopy vodíku jsou deuterium a tritium. 

*Izobar* jsou jádra se stejným A ale různým Z.
*Izoton* jsou jádra se stejným N ale různým Z. 

*Radionuklid* nuklid s nestabilními jádry, která se rozpadají.

Další veličiny, které charakterizují atomové jádro jsou: hmotnost, náboj, střední poloměr jádra, spin, parita, magnetický moment, izospin, u nestabilních jader ještě poločas rozpadu.

### Rozměr jádra

Jádro je mikroskopická částice, jeho rozměr lze určit jen jako střední hodnotu veličiny, která má určité statistické rozložení.

**Rutherfordův odhad poloměru jádra - klasický přístup**

Z Rutherfordova experimentu, kde se uvažovala jen Coulombická interakce mezi jádrem a částicí, se $\alpha$ částice mohla k jádru přiblížit nejvíce na vzdálenost

$r_{0} = \frac{\alpha_0}{E_{\alpha}}$,

kde $\alpha_0 = \frac{2Ze^2}{4 \pi \epsilon_0}$ viz [Ruthefordovova formule pro rozptyl](http://wiki.matfyz.cz/wiki/18._Jaderné_záření#T.C4.9B.C5.BEk.C3.A9_.C4.8D.C3.A1stice_a_l.C3.A1tka)

Této minimální vzdálenosti dosáhne částice při čelní srážce, tj pro úhel rozptylu $\theta = \pi$.

Když se dostatečně zvýší energie nalétávající částice, tak se začnou projevovat *Jaderné síly* a Rutherfordova formule už nebude dávat dobré výsledky.

Ze známé energie a úhlu rozptylu, kde se už začnou projevovat odchylky od Rutherfordova vztahu, lze experimentálně určit dosah jaderných sil:

$ R = r_0 A^{\frac{1}{3}}$,

kde $r_0 \approx 1,52. 10^{-15} m$.

Veličinu $r_0$ lze určit i z **pružného rozptylu elektronů v jádře**:

Uvažujme Coulombickou elektrostatickou energii jádra, ta je dána vztahem:

$E_C = \frac{1}{8 \pi \epsilon_0}\int\frac{\rho(\mathbf{r})\rho(\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} dV dV'$

K určení závislosti poloměru na energii(poloměru na hmotnostním čísle) je potřeba tento integrál spočíst, tedy znát rozložení hustoty náboje v jádře. Toto lze zjistit pomocí pružných srážek elektronů s jádry.

Diferenciální účinný průřez pro kvantový rozptyl, když nedojde k excitaci jádra, je:

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{d\sigma}{d\Omega}\right)_M |F(\mathbf{q})|^2$,
kde indexem M je označen průřez na bodovém jádře, $F(\mathbf{q})$ je strukturní faktor (formfaktor), který charakterizuje nábojovou hustotu jádra.

Experimentálně získáme formfaktor a z něj určíme nábojovou hustotu jádra:

$\rho(\mathbf{r}) = \frac{\rho_0}{1+ exp(\frac{r - c}{z})}$ (Saxon-Woodsovo rozdělení)

parametr z udává rychlost poklesu $\rho(\mathbf{r})$ u povrchu jádra a pro c platí:

$c= 1,05.10^{-15}A^{\frac{1}{3}}$.

Pak střední hodnota poloměru jádra je:

$\bar{R} = \frac{1}{Ze}\int_{0}^{\infty} r \rho(r)4 \pi r^2 dr$

### Spin, parita a izospin atomového jádra

#### Spin

Spin atomového jádra chápeme jako jeho *vlastní moment hybnosti* v základním energetickém stavu jádra.

Jeho hodnota se získá složením spinů všech nukleonů a jejich orbitálních momentů hybnosti dle pravidel o skládání momentů hybnosti.
Excitovaný stav jádra lze také charakterizovat spinem, který se může odlišovat od spinu v základním stavu.

Velikost spinu charakterizujeme kvantovým číslem I a pro jeho kvadrát platí(což je obdoba vztahu pro moment hybnosti $L$):

$\mathbf{I}^2 = \hbar^2 I(I+1)$

Podle hodnot I se jádro chová jako:

- Boson, když I = n, n = 0,1,2,3...
- Fermion, když I = n + 1/2

Průmět spinu do směru osy z:

$I_{z}=M\hbar$ kde M = -I,..,0,..,I.

Spiny vzbuzených jader se určují ze zákona zachování momentu hybnosti v $\beta$ rozpadu, elektromagnetických přechodech a v jaderných reakcích.

#### Parita

Parita stavu říká, jak se změní stav při změně $x \longrightarrow -x$ pro konkrétní veličinu x.

V klasické fyzice se parita nezavádí, protože pohybové zákony klasických oblastí fyziky jsou invariantní vůči takovým transformacím souřadnic. Kvantová fyzika zavádí operátor parity, který vrací funkci(veličinu) v transformovaných souřadnicích.

Parita systému složených z navzájem neinteragujících podsystémů je dána vztahem 
$P = \prod^{n}_{i=1}(-1)^{l_i}$

kde $l_i$ jsou vedlejší kvantová čísla jednotlivých podstavů, $(-1)^{l_i}$ lze pokládat za vlastní čísla operátoru parity.

*Vnitřní parita* je parita, kterou má částice, když je v klidu. Pro systémy částic je to parita systému, kde je celková hybnost 0.

*Parita atomového jádra* je jeho vnitřní parita, coby systému částic.

Pokud parita excitovaného jádra je stejná jako jeho parita v základním stavu, mluvíme o jádrech s *normální paritou*, pokud je jiná, jádro má *nenormální paritu*.

Stavy s nenormální paritou mají většinou vyšší energii, než stavy s normální paritou.

*Zákon zachování parity*: Při jaderných reakcích, rozpadech $\alpha$ a přechodech $\gamma$ se parita celého systému zachovává, tj. parita počátečního a koncového stavu je stejná.

Důsledkem existence parity je *nulovost elektrického dipólového momentu jádra*, protože $\rho(\mathbf{r})= |\psi(\mathbf{r})|^2 = \rho(\mathbf{-r})$ je sudá funkce, tedy elektrický dipólový moment je dán integrálem z liché funkce přes symetrický interval"

$\mathbf{d}=\int \mathbf{r}\rho(\mathbf{r})dV$

Proto elektrické vlastnosti lze vedle jeho celkového náboje popsat až s pomocí elektrického kvadrupólového momentu.

#### Izotopický spin = Izospin

Nukleonům připisujeme izospin $T = \frac{1}{2}$ s projekcí do směru osy z 

- $T_z = \frac{1}{2}$ pro proton,
- $T_z = -\frac{1}{2}$ pro neutron.

Izospin jádra se určuje podle pravidel skládání momentu hybnosti, jeho hodnota je

- $T = n$ 

n = 0,1,2... pro A sudé,
- $T = n +\frac{1}{2}$ pro A liché.

Projekce celkového izospinu jádra je dána jako součet projekcí izospinů jednotlivých nukleonů:

$T_z = \frac{1}{2}(Z-N)$

Zavedení izospinu dalo podnět k vyslovení hypotézy **o nábojové nezávislosti jaderných sil**:

Jaderné síly nezávisejí na $T_z$, tedy jde o zákon zachování projekce izospinu. (Ten platí pokud uvažujeme jen silnou interakci a ne $\beta$ rozpady, kdy se neutron mění na proton)

### Magnetický moment jádra

Potenciální energie magnetického dipólu ve vnějším magnetickém poli o indukci $\mathbf{B}$ je

$U = - \mathbf{\mu B}$  

Mezi momentem hybnosti $\mathbf{L}$ a magnetickým momentem nabité částice v EM poli platí vztah

$\gamma \mathbf{L}=-\mathbf{L}\frac{Z}{2m}= \mathbf{\mu}$

kde $\gamma$ je *gyromagnetický poměr*.

Moment hybnosti jádra v klidu je roven jeho spinu $\mathbf{I}$, jeho velikost je dána kvantovým číslem I a projekce kvantovým číslem M.

Magnetický moment jádra se definuje pomocí jeho projekce $\mu_z = \gamma \hbar M$ tak, že:

$\mu = \gamma \hbar I$ kde I je největší hodnota M = -I,..,0,..I .

V homogenním magnetickém poli bude potenciální energie magnetického momentu jádra rovna

$U = -\mu_z B = \mu B \frac{M}{I}$

pokud chceme stimulovat energetický přechod jádra o 1 hladinu ($\Delta M = 1$) musíme na něj působit EM polem tak, že

$\hbar \omega = \frac{\mu B}{I}$

### Hmotnost jádra

Klidovou hmotnost jádra udáváme ve hmotnostních jednotkách u, definovaných jako $\frac{1}{12} ^{12}_{6}C$

$u = 1,66054.10^{-27} kg$,

jednotka klidové energie je pak

$uc^2 = 931,49432 MeV$.

Hmotnost atomového jádra $M(A,Z)$ souvisí s hmotností atomu $m(^{A}_{Z} X)$ vztahem

$m(^{A}_{Z} X) = M(A,Z) + Zm_e - B(A,Z)$,

kde $B(A,Z)$ je *hmotnostní úbytek* a $B(A,Z)c^2$ je *vazbová energie*.

Platí:

$B(A,Z) = Zm_p + Zm_n - M(A,Z)$.

## Vazbové síly, vazbová energie jader

Vazbová energie charakterizuje, jak moc jsou nukleony v jádře vázány. 

Definuje se vztahem:

$W(A,Z) \frac{1}{c^2} = B(A,Z) = Zm_p + Nm_n - M(A,Z)$

kde M(A,Z) je hmotnost jádra, B(A,Z) nazýváme *hmotnostním úbytkem*.

### Linie stability

Existuje asi 350 nuklidů stabilních na $\beta$ rozpad (rok 1990). Každému z nich přiřadíme bod v rovině (Z,N). Dostaneme pás (linii) stability. Jádra nad touto linií se samovolně rozpadají $\beta^{-}$ rozpadem, pod touto linií se rozpadají $\beta^{+}$ rozpadem.

Toto bylo experimentálně zjištěno. Linie má přibližně tvar přímky $pro A <40$, což lze vsvětlit Pauliho principem: Tam, kde je víc neutronů, tyto neutrony obsazují vyšší energetické hladiny, rozpad $\beta^{-}$ pak umožnuje neutronu stát se protonem a přejít tak do nižšího energetického stavu.
Pro velká A se linie stability stáčí vzůru - ve stabilních nuklidech se začne projevovat Coulombiké odpuzování mezi protony a stabilní jádra tak budou obsahovat méně protonů než neutronů.

### Závislost Vazbové energie na jeden nukleon na A

Vazbová energie na jeden nukleon je

$\epsilon = \frac{W(A,Z)}{A}$

- pro A < 16 rychle roste
- má maxima v bodech A = 4,12,16,20,24
- pro A > 16 mezi 7,4 MeV a 8,8 MeV je skoro konstantní, tedy

$W(A,Z)\approx A$

- klesá z maximální hodnoty 8,8 MeV pro A přibližně 60, to je projev Coulombického odpuzování

Bylo experimentálně objeveno, že stabilita jader závisí na sudosti a lichosti příslušných čísel:

| Z | N | Počet stabilních nuklidů (rok 1990) |
| :---: | :---: | :---: |
| even | even | 165 |
| even | odd | 55 |
| odd | even | 50 |
| odd | odd | 4 |

Závislost vazbové energie na číslech A a Z lze popsat aproximativními formulemi

### Kapkový model

Jinak známý jako Weizackerova a Fermiho formule, považuje jádro za kapku těžko stlačitelné kapaliny.
Z toho plyne vztah mezi objemem jádra a počtem nukleonů:

$R = r_0 A^{\frac{1}{3}}$

Optimální hodnota $r_0$ je kolem $1,5.10^{-15} m$

Formule kapkového kodelu jádra zní:

$B(A,Z) = a_v A - a_s A^{\frac{2}{3}} - a_c \frac{Z^2}{A^{\frac{1}{3}}} - a_a \frac{(A - 2Z)^2}{A} + \delta(A,Z) \frac{1}{A^{\frac{3}{4}}}$

kde příslušné parametry jsou

| Parametr | Hodnota |
| :---: | :---: |
| $a_v$ | 15,75 MeV |
| $a_s$ | 17,8 MeV |
| $a_c$ | 0,71 MeV |
| $a_a$ | 23,7 MeV |

a kde $\delta$ je 

| $\delta$ | Podmínka |
| :---: | :--- |
| 34 MeV | pro sudo-sudá jádra |
| 0 | pro A liché |
| -34 MeV | pro licho-lichá jádra |

První člen je objemová energie jádra, druhý vystihuje skutečnost, že nukleony na povrchu jsou méně vázané, třetí vyjadřuje elektrostatické odpuzování protonů. Čtvrtý člen vyjadřuje snahu o vyrovnání počtu protonů a neutronů (symetrizační člen, nulový pro $Z=A/2$, tedy i $N=A/2$=> nejstabilnější), pátý člen se nedá v rámci kapkového modelu vysvětlit, souvisí s párováním protonů a neutronů v jádře (každý druh zvlášť, nejstabilnější pro sudé počty, směřuje to už k slupkovému modelu).

### Slupkový model

Kapkový model dostatečně nevystihuje kvantový charakter systému, nevysvětluje tzv. magická čísla 2,8,20,28,50,82,126. To jsou počty neutronů nebo protonů význačně stabilních jader. Ve slupkovém modelu považujeme nukleony za nezávislé - interagují s polem, které vytvářejí ostatní. Pro jeden nukleon uvažujme hamiltonián oscilátoru:

$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2}m \omega r^2 $ 

Vlnová funkce pro jeden nukleon bude mít tvar $\psi = R_{l}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)$
Máme tři rozměry, takže energie jsou $E_n = \hbar \omega(n + \frac{3}{2})$, kde $n = 2n_r +l$, $ n_r$ je radiální kvantové číslo.

Uvažujme protony, ty musí splňovat Pauliho princip - mohou být maximálně dva (2 různé průměty spinu 1/2) ve stejném stavu, popsaném třemi kvantovými čísly. Pro $n=0$ máme stav s, v něm se mohou nacházet nejvýše 2 protony, pro $n=1$ tedy $n_r=0$ a $l=1$ máme stav p, kde $m=+-1$ nebo $0$, tady bude maximálně 2+6 = 8 částic. Tento model ještě vyhovuje pro magické číslo 20, ale pak už ne. 

Lepší model, který uvažuje oscilátor s vazbou mezi spinem nukleonu a jeho orbitálním momentem hybnosti, je

$H = \frac{p^2}{2m} + U(r) + \frac{b}{r}\frac{dU(\mathbf{sl})}{dr}$ 

kde b je parametr, s je spin a l je orbitální moment hybnosti.
Jako potenciál U se velmi často používá *Woodsův - Saxův* $U(r)=-\frac{U_0}{1+e^{\frac{(r-R)}{a}}}$, kde R,a jsou parametry.

Spin-orbitálna interakcia spôsobí, že sa pôvodné energetické hladiny harm. oscilátora rozštiepia v závislosti na $ l $ a niektoré z nich prejdu až do susednej slupky, čím zmenia počet jej stavov, t.j. ovplyvnia magické číslo.

Slupkový model pekne popisuje vlastnosti jadier s počtom nukleónov = mag. číslo $\pm1$, pretože zaplnená slupka je v stave $0^+$ a spin a paritu celého jadra udáva chýbajúci/nadbytočný nukleón.

## Radioaktivita

## Jaderné reakce