# Sylabus *Aplikace kvantové mechaniky Volná částice. Částice v potenciálové jámě. Tunelový jev. Lineární harmonický oscilátor. Atom vodíku.* # Volná částice - volná -> žádné okrajové podmínky pro vlnovou funkci, nekvantovaná energie a nekvantovaný impuls ## Stacionární stavy - nejdříve vyřešit pro jednu dimensi Cílem je vyřešit nečasovou Schrödingerovu rovnici (tedy najít tvar $\psi(x)\ $): $-\frac{h^2}{2m}\frac{d^2\psi (x)}{dx^2} = E\psi (x)\ (17.1)$ Přepíšeme do tvaru $\left(\frac{d^2}{dx^2}+\frac{2mE}{{\hbar}^2}\right)\psi(x)=0\ (17.2)$ a označíme $\frac{2mE}{{\hbar}^2}=k^2\ (17.3)$, kde $k\ $ je vlnový vektor. Když najdeme řešení odpovídajícího charakteristického polynomu $ {\lambda}^2+k^2=0\ $, tak odkud dostaneme $ \lambda_{1,2}=\pm ik $ Odtud řešení Schrödingerovy rovnice (17.2) $\psi(x)=e^{\pm ikx}\ (17.4)$. Z definice operátoru $\hat p=-i\hbar\frac{d}{dx}$ je vidět,že impuls částice s takovou vlnovou funkcí je $p=\pm \hbar k\ $. Vlnová funkce jde tedy psát ve tvaru $ \psi(x)=e^{\frac{-px}{i\hbar}}$. Výsledná časová funkce se zapíše jako $\psi(x,t)=e^{\frac{Et-px}{i\hbar}}\ (17.5)$ (impuls $p\ $ může nabývat kladných i záporných hodnot) a celková energie částice je její kinetická energie $E=\frac{{\hbar}^2k^2}{2m}=\frac{p^2}{2m}$ Vlnová funkce (17.5) je vlastní funkcí hamiltoniánu $\hat H\psi=\hat T\psi=-\frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2}=\frac{p^2}{2m}\psi$ s vlastní energií $E=\frac{p^2}{2m}$. Tato funkce je zároveň vlastní funkcí operátoru impulsu $\hat p\psi=-i\hbar\frac{d}{dx}\psi=p\psi$ s vlastní hodnotou $p=\pm \hbar k $. Operátory $\hat p\ \text{a}\ \hat T$ spolu komutují, $ [\hat T, \hat p]=0$, takže mají stejné vlastní funkce. Jednorozměrný pohyb volné částice jde proto popsat dvěma kvantovými čísly - kinetickou energií $E=\frac{p^2}{2m}$ a impulsem $p\ $. PS: De Broglieho vztah $p=\pm \hbar k$ nebylo třeba předpokládat, vyšel řešením Schrödingerovy rovnice. ## Normování Vlnová funkce volné částice nelze normovat na jedničku $\|\psi\|^2=1$. Normuje se proto buď na objem nebo na Diracovu $\delta\ $-funkci. **Na konečný objem** Nejdřív zavedeme umělé kvantování s pomocí *cyklické (periodické) hraniční podmínky*: $ \psi(x)=\psi(x+L)\ $, kde $\psi\ $ je vlnová funkce a $L\ $ je délka intervalu, po kterém se vlnová funkce periodicky opakuje. To vede na kvantování momentu hybnosti $p_n=\frac{2\pi\hbar n}{L}$. Kvůli periodicitě exponenciály stačí uvažovat $n=1..L\ $, kde $L\ $ bude velké přirozené číslo. Vzhledem k periodicitě vlnové funkce lze pak zavést normování při integraci přes libovolný interval délky $L\ $, takže dostaneme vlnové funkce s kvantovanými impulsy $\psi(x)_n=\frac{1}{\sqrt{L}}e^{-\frac{p_n x}{i\hbar}}$ Všechny výpočty se pak provádějí s těmito funkcemi, na konci se provede limita $L\to\infty $. Pro vlnovou funkci závisející na třech prostorových souřadnicích se normování provede pro každou souřadnici zvlášť. **Na $\delta\ $-funkci** Využijeme vyjádření $\delta\ $-fce ve tvaru $\delta(k)=\frac{1}{2\pi\hbar}\int_{R} e^{\frac{-ikx}{\hbar}}dx$. Normujeme-li prostorovou část vlnové funkce $\psi(x,t)=e^{\frac{Et-px}{i\hbar}}$ vztahem $\psi(x)_p=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}e^{-\frac{px}{i\hbar}}$, dostaneme skalární součin $ \int_{R}\psi(x)_p^* \psi(x)_{p'} dx = \frac{1}{2\pi\hbar}\int_{R}e^{\frac{x(p-p')}{i\hbar}} dx=\delta(p-p')$, Toto normování má přednost především z hlediska relací úplnosti a Diracovy symboliky. ## Obecné řešení časové Schrödingerovy rovnice Obecné řešení časové Schr. rovnice lze psát jako superposici řešení $\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{R}c(p)e^{\frac{\frac{p^2}{2m}t-px}{i\hbar}}dp$, kde $c(p)\ $ je komplexní koeficient rozvoje do rovinných vln závislý na $p\ $. Funkce $c(p)\ $ je Fourierovým obrazem funkce $\psi(x,0)\ $ a lze ho určit zpětnou transformací $ c(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{R}\psi(x,0)e^{\frac{px}{i\hbar}}dx.$ Ve 3D tedy $\psi(\mathbf{r},t)=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int_{R}c(\mathbf{p})e^{\frac{\frac{p^2}{2m}t-\mathbf{p}\mathbf{r}}{i\hbar}}d^3\mathbf{p}$ a $c(\mathbf{p})=\frac{1}{(2\pi\hbar)^{3/2}}\int_{R}\psi(\mathbf{r},0)e^{\frac{\mathbf{p}\mathbf{r}}{i\hbar}}d^3\mathbf{r}.$ # Potenciálová jáma ## Nekonečně hluboká ### 1-dimensionální V intervalu $\langle 0,a \rangle$ položíme potenciál $V(x)=0\ $, mimo tento interval ji položíme nekonečně velkou. Všude kromě intervalu $\langle 0,a \rangle$ bude tedy $\psi(x)=0\ $ a pro $\langle 0,a \rangle$ řešíme stacionírní Schrödingerovu rovnici $\frac{-{\hbar}^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}=E\psi(x)$ To vede na řešení $\psi(x)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\ $ (viz volná částice). Konstanty $A,\ B$ získáme z podmínek spojitosti $\psi\ $ a okrajích, tedy $\psi(0)=0,\ \psi(a)=0$. Vyřešením první podmínky dostaneme $\psi(x)=N\sin(kx)\ $, kde $N=2iA\ $ je komplexní konstanta, dosazením do druhé podmínky získáme $\sin(ka)=0\ $, odkud $k=\frac{\pi n}{a}$. Jelikož $k^2=\frac{2mE}{{\hbar}^2}$, jsou tedy energie $ E_n=\frac{{\pi}^2{\hbar}^2}{2ma^2}n^2$ a je vidět, že kvantování je důsledkem okrajových podmínek. Vlnové funkce příslušné těmto energiím jsou $\psi(x)=Nsin(\frac{\pi n}{a}x)$ Konstantu $N\ $ určíme z normovacích podmínek $\int_{0}^{a} N^2 {sin^2(\frac{\pi n x}{a})}dx=1,\ \text{subst.}\ y=\frac{\pi nx}{a},\ dx=\frac{a dy}{\pi n},\ \frac{aN^2}{\pi n} \int_{0}^{\pi n} {sin^2(y)} dy=1,\ \Rightarrow N=\sqrt{\frac{2}{a}}e^{i\alpha}$ $e^{i\alpha}\ $ je fázový faktor ($N\ $ je komplexní číslo, takže $\alpha\ $ říká, kam v komplexní rovině to $N\ $ míří), obvykla volíme jako $1\ $. Celkově jsou tedy vlnové funkce $\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}sin(\frac{\pi n}{a}x)$ a k nim příslušné energie jsou $ E_n=\frac{{\pi}^2{\hbar}^2}{2ma^2}n^2$. Energie stacionárních stavů mají tyto vlastnosti: - Energie $E_n\ $ jsou větší než nula, stav s energií $E_n\leq 0\ $ není možný. - Energetické spektrum $E_n\ , n=1,\ 2,\ 3,\dots$ je diskrétní a nedegenerované. - Energie $E_n\ $ jsou úměrné $n^2,\ E_n\sim n^2$, zatímco jejich rozdíly jsou přibližně lineární v $n\ $ $E_n\sim n$ a relarivní rozdíl energií klesá jako $\frac {E_{n+1}-E_n}{E_n}\sim \frac{1}{n}$. S rostoucím $n\ $ se tedy přibližujeme klasickému případu, kdy jsou energie spojité. - Vlnové funkce jsou ortonormální a tvoří bázi Hilbertova prostoru. - Počet uzlů funkcí $\psi_n(x)\ $ v intervalu $\langle 0,a \rangle$ je roven $n-1\ $. - Funkce $\psi_n\ $ jsou sudé, respektive liché vzhledem ke středu intervalu $\langle 0,a \rangle$, lze vyjádřit s pomocí jejich parity $(-1)^{n-1}\ $. Vlnová funkce základního stavu $(n=1)\ $ je sudá, s rostoucím $n\ $ se parita střídavě mění. Obecné řešení časové Schrödingerovy rovnice je tvaru $ \psi(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n\psi_n(x)e^{\frac{E_n t}{i\hbar}}$. Koeficienty $c_n\ $ jsou určeny počáteční podmínkou pro $t=0\ \psi(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n\psi_n(x)$, odkud $c_n=\int_{0}^a\psi_n^*(x)\psi(x,0)dx$. Z požadavku normování funkce $\int_{R}|\psi(x,t)|^2dx=1\ $ plyne $\int_{0}^a |\psi(x,t)|^2 dx= \sum_{m,n=1}^{\infty} c_m^*c_n \int_{0}^a \psi_m^*(x) \psi_n(x) e^{\frac{(E_n-E_m)t}{i\hbar}}dx=\sum_{n=1}^{\infty} |c_n|^2=1 $. Pravděpodobnost naměřit energii $E_n\ $ ve stavu popsaném vlnovou funkcí $\psi(x,t)\ $ je $p_n=|c_n|^2\ $. ### 3-dimensionální 3D potenciálová jáma je charakterisovaná potenciální energií $ V(x,y,z)=0\ $ pro $0\leq x\leq a, 0\leq y\leq b, 0\leq z\leq c$, kde $a,\ b,\ c$ jsou rozměry jámy. Mimo jámu je opět $ V\to\infty$. Stacionární Schrödingerova rovnice je teď $ -\frac{{\hbar}^2}{2m}(\frac{{\partial}^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial}^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial}^2}{\partial z^2})\psi(x,y,z)=E\psi(x,y,z)$. Řešíme separací proměnných $\psi(x,y,z)=\psi_x(x)\psi_y(y)\psi_z(z)\ $, tedy předpokládáme, že $E=E_x+E_y+E_z\ $. Pro každou vlnovou funkci tak dostaneme stacionární Schr. rovnici $\frac{-{\hbar}^2}{2m}\frac{d^2\psi_x(x)}{dx^2}=E\psi_x(x),\ \frac{-{\hbar}^2}{2m}\frac{d^2\psi_y(y)}{dy^2}=E\psi_y(y),\ \frac{-{\hbar}^2}{2m}\frac{d^2\psi_z(z)}{dz^2}=E\psi_z(z)$. Použitím výsledků z 1D jámy dostaneme (normované) funkce $ \psi_{nlm}(x,y,z)=\sqrt{\frac{8}{abc}}sin(\frac{\pi xl}{a})sin(\frac{\pi ym}{b})sin(\frac{\pi zn}{c}),\ l,m,n=1,2,3\dots$ s odpovídajícími energiemi $E_{nlm}=\frac{{\pi}^2{\hbar}^2}{2m}(\frac{l^2}{a^2}+\frac{m^2}{b^2}+\frac{n^2}{c^2})$. Je vidět, že např. pro $a=b=c\ $ odpovídá některým energiím (vyšším než $E_{111}\ $)několik nezávislých funkcí. Pak jde o degenerovanou energii. Čím vyšší je symetrie hamiltoniánu, tím je vyšší degenerace. Samozřejmě lze vytvořit i jinou potenciálovou jámu, než pravoúhlou krabici. Potom ale Schr. rovnice obvykle nemá analytické řešení. Řešitelná je např. jáma ve tvaru koule, kde jsou řešením sférické Besselovy funkce. ## Konečně hluboká Předpokládáme, že v jámě (pro $-\frac{a}{2}\leq \frac{a}{2}$) je potenciál roven $V=0\ $ a mimo jámu je $V=V_0\ $. ![konecna jama II.jpg](Bakalářské státnice z Fyziky/17. Aplikace kvantové mechaniky/Konecna jama II.jpg) Řešíme tedy stacionární Schr. rovnici $(-\frac{{\hbar}^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2}+V(x))\psi(x)=E\psi(x)$. Tato Schr. rce má spojité energetické spektrum pro $E\geq V_0$ a diskrétní pro $E\frac{a}{2}$. **Sudá řešení** Bereme řešení ve tvaru $\psi_{II}=A\cos(kx)\ $ a $\psi_{III}=Be^{-\alpha x}\ $, kde $A\ $ a $B\ $ jsou konstanty. Ze spojitosti vlnové funkce a její první derivace dostáváme sešívací podmínky: $A\cos(\frac{ka}{2})=Be^{-\frac{a\alpha}{2}},\ A\sin(\frac{ka}{2})=B\frac{\alpha}{k} e^{-\frac{a\alpha}{2}}$. Determinant soustavy musí být 0 (aby existovalo netriviální řešení): $k \operatorname{tg}(\frac{ka}{2})=\alpha=\sqrt{\frac{2mV_0}{{\hbar}^2}-k^2}$. Neboli musí platit $ ka=2 \operatorname{arctg}(\sqrt{\frac{2mV_0}{{\hbar}^2 k^2}-1})+2\pi n$, kde $n\ $ je celé číslo. Využitím $ \arccos(x)=\operatorname{arctg}(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x})=\operatorname{arctg}(\sqrt{\frac{1}{x^2}-1}),\ \arcsin(x)+\arccos(x)=\frac{\pi}{2}$, dostaneme $2\operatorname{arctg}(\sqrt{\frac{2mV_0}{{\hbar}^2 k^2}-1}+2\pi n=2\arccos(\frac{\hbar k}{\sqrt{2mV_0}})+2\pi n=-2\arcsin(\frac{\hbar k}{\sqrt{2mV_0}})+(2n+1)\pi.$ Možné hodnoty vlnového vektoru jsou $0 \leq k \leq \frac{\sqrt{2mV_0}}{\hbar}$ a tedy energie $ E=\frac{{\hbar}^2 k^2}{2m}$ jsou určeny (pro sudé vázané stavy) vztahem: $ka=(2n+1)\pi-2\arcsin(\frac{\hbar k}{\sqrt{2mV_0}})$. ![graf reseni.jpg](Bakalářské státnice z Fyziky/17. Aplikace kvantové mechaniky/Graf reseni.jpg) Obrázek ukazuje grafické řešení rovnice. Je vidět, že i pro velmi úzkou a mělkou jámu existuje alespoň jedno řešení, tedy vždy existuje alespoň jeden sudý vázaný stav. S rostoucím a se přímka $L=ka\ $ odchyluje od osy $x\ $; podobně se s rostoucím $ V_0\ $ posunují křivky pravé strany rovnice doprava. Podle toho se pak objevují další řešení a počet vázaných stavů v diskrétním spektru energií roste. Celkový je sudých vázaných stavů konečně mnoho a aspoň jeden. **Lichá řešení** Analogicky se sudým řešením dostaneme $\psi_{II}=A\sin(kx)\ $ a $\psi_{III}=Be^{-\alpha x}\ $, sešívací podmínky jsou $A\sin(\frac{ka}{2})=Be^{-\frac{a\alpha}{2}},\ A\cos(\frac{ka}{2})=-B\frac{\alpha}{k} e^{-\frac{a\alpha}{2}}$, nulovost determinantu je určena $k \operatorname{cotg}(\frac{ka}{2})=-\alpha=-\sqrt{\frac{2mV_0}{{\hbar}^2}-k^2}$. Podobně tedy řešení pro liché stavy je dáno rovnicí $ka=2n\pi-2\arcsin(\frac{\hbar k}{\sqrt{2mV_0}})$. Narozdíl od sudých stavů řešení této rovnice nemusí existovat. Celkově je energií konečně mnoho a existuje aspoň jedna. Vlnové funkce jsou střídavě sudé a liché a jsou nenulové i mimo potenciálovou jámu. ### Spojité spektrum Předpokládáme, že potenciální energie částice s energií $E>0\ $ je $V(x)=-V_0\ $ pro $-\frac{a}{2}\leq \frac{a}{2}$ a $V(x)=0\ $ jinde, přičemž $V_0>0$. ![konecna jama.jpg](Bakalářské státnice z Fyziky/17. Aplikace kvantové mechaniky/Konecna jama.jpg) Jak se částice pohybuje k jámě, může se od ní buď odrazit nebo oblastí jámy projít. V oblasti I je vlnová funkce částice $\psi_I=Ae^{ik_0x}+Be^{-ik_0x}\ $, kde $k_0=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\ $, přičemž první část vlnové funkce odpovídá dopadající částici (vlně) a druhá část odpovídá částici (vlně) odrazěné od jámy. V oblasti II bereme tvar $\psi_{II}=\alpha e^{ikx}+\beta e^{-ikx}\ $, kde $k_0=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar}\ $. V oblasti III je $\psi_{III}=Ce^{ik_0 x}\ $. Pravděpodobnost průchodu částice jámou se určí z poměru hustoty toku pravděpodobnosti pro prošlou částici k hustotě toku pravděp. pro dopadající částici. Odtud koeficient odrazu je $R=|\frac{B}{A}|^2\ $ a koeficient průchodu je $T=|\frac{C}{A}|^2\ $, přičemž $R+T=1\ $. Ze sešívacích podmínek v bodě $x=a/2\ $ dostaneme $\alpha=\frac{C}{2}(1+\frac{k_0}{k})e^{i(k_0-k)b}\ $, $\beta=\frac{C}{2}(1-\frac{k_0}{k})e^{i(k_0+k)b}\ $. Ze sešívacích podmínek v $x=-a/2\ $ vyjádříme $A\ $ a $B\ $, dosadíme $\alpha\ $, $\beta\ $ a dostaneme $A,\ B$ vyjádřené pomocí $C\ $. Dosazením do vztahu pro $T\ $ dostaneme $T=\frac{1}{1+\frac{1}{4}(\frac{k_0}{k}-\frac{k}{k_0})^2 sin^2(ka)}$. Koeficient odrazu je potom $R=1-T\ $. Pokud potenciálová jáma neexistuje ($V_0=0\ $), pak $k=k_0\ $ a koeficient průchodu je 1. (Pro hodně mělkou jámu se blíží 1.) $T\ $ v závislosti na energii částice $E\ $ ukazuje obrázek. ![T-E.jpg](Bakalářské státnice z Fyziky/17. Aplikace kvantové mechaniky/T-E.jpg) ## Potenciálový val Uvažujeme pravoúhlý potenciálový val o šířce $a\ $ a výšce $V_0\ $. (taková konečná jáma postavená na hlavu) ![val.jpg](Bakalářské státnice z Fyziky/17. Aplikace kvantové mechaniky/Val.jpg) Na něj dopadá částice o energii $00\ $ a je reálný. Spolu se vztahem $sin(i\kappa a)=i sinh(\kappa a)\ $ máme vztah pro koeficient průchodu $T=\frac{1}{1+\frac{1}{4}(\frac{k_0}{\kappa}+\frac{\kappa}{k_0})^2 sinh^(\kappa a)}$, kde vlnový vektor $k_0=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$ odpovídá pohybu volné částice. Pro libovolně vysoký a široký val existuje určitá pravděpodobnost, že částice projde; s rostoucí šířkou valu a rostoucím rozdílem energií $V_0-E\ $ tato pravděpodobnost exponencielně klesá. Pro makroskopické objekty a valy je pravděpodobnost průchodu mizivá. # Lineární harmonický oscilátor Kvantová mechanika žije v Hilbertově prostoru (HP). Podle toho, jakou zvolíme bázi HP, mluvíme o určité representaci (pokud za bázi zvolímě vlastní vektory operátoru $\hat x$, mluvíme o x-representaci, pokud vlastní vektory operátoru $\hat p$, jde o p-representaci atd.). Některé úlohy jde ale řešit i bez konkrétní representace, tedy čistě abstraktně bez volby báze HP. Hledáme energie LHO bez konkrétní representace, takže chceme najít spektrum (množinu vlastních čísel) operátoru $\hat H$. Hamiltonián LHO má tvar $\hat H=\frac{{\hat p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega}^2x^2$. Zavedeme operátor $\hat K=\frac{1}{2}({\hat P}^2+{\hat X}^2)$, kde $\hat X$, $\hat P$ jsou bezrozměrné souřadnice, získané z normálních souřadnic $X=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x, P=\frac{1}{\sqrt{\hbar m\omega}}p$. Pro komutátor $x,\ p$ platí $ [\hat x, \hat p]=i\hbar$ a komutátor $X,\ P$ je $ [\hat X, \hat P]=i$. V bezrozměrných souřadnicích a použitím operátoru $\hat K$ má teď hamiltonián tvar $\hat H=\hbar\omega\hat K$. Zavedeme kreační a anihilační operátory $\hat a=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat X+i\hat P), \hat a^+ = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat X-i\hat P)$. S jejich pomocí lze K přepsat jako $\hat K=\hat a^+\hat a +\frac{1}{2}$. Využitím $\hat a^+\hat a =\hat K-\frac{1}{2}$, $[\hat a,\hat a^+]=1$ a $\hat K|n\rangle=k_n|n\rangle$ ($k_n\ $ jsou vlastní čísla operátoru $\hat K$, $|n\rangle$ jsou jeho vlastní vektory): $\hat K(\hat a|n\rangle)=(\hat a^+\hat a +\frac{1}{2})\hat a|n\rangle=(\hat a\hat a^+ -\frac{1}{2})\hat a|n\rangle=\hat a\hat a^+\hat a|n\rangle-\frac{1}{2}\hat a|n\rangle=\hat a(\hat K-\frac{1}{2})|n\rangle-\frac{1}{2}\hat a|n\rangle=\hat a(\hat K-1)|n\rangle=(k_n-1)\hat a|n\rangle $ Působením operátoru $\hat a$ tedy dostaneme vyšší stav, působením operátoru $\hat a^+$ stav nižší. Nelze však snižovat donekonečna, a redy existuje nejnižší stav, který se působením operátoru $\hat a$ již nesníží (respektive dostaneme nulový vektor). Z vlastností skalárního součinu $\langle n|\hat a^+\hat a|n\rangle=\langle\hat a n|\hat a n\rangle\leq 0$ a tedy $\langle n|\hat K|n\rangle\leq \frac{1}{2}$. Tento nejnižší stav je základní, který se značí $|0\rangle$, tedy $ \hat a|n_{min}\rangle=0 = \hat a|0\rangle$ a tedy $\langle 0|\hat K|0\rangle=\frac{1}{2}$ Spektrum operátoru $\hat K$ je $k_n=(n+\frac{1}{2});\ n=1,2,\dots$ a tedy spektrum hamiltoniánu je $E_n=\hbar\omega (n+\frac{1}{2})$. Z definičních vztahů pro $\hat a^+,\hat a$ dostaneme tvar $\hat X,\ \hat P$: $ \hat X=\frac{a}{\sqrt{2}}(\hat a +\hat a^+),\ \hat P=\frac{a}{\sqrt{2}}(\hat a -\hat a^+)$. V energetické representaci (báze HP jsou vlastní vektory hamiltoniánu) mají matice $\hat a, \hat a^+$ tvar s čísly těsně nad nebo pod diagonálou, matice $\hat H$ je diagonální s vlastními čísly (energiemi) na diagonále. Harmonický oscilátor se dá samozřejmě řešit i v souřadnicové reprezentaci. Z asymptotického chování vlnové funkce vyplývá, že $\psi(\xi)\sim e^{-\xi^2/2}\ $, kde $\xi=\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x$. Řešení se pak hledá ve tvaru $\psi(\xi)=P(\xi) e^{-\xi^2/2}\ $, kde $P(\xi)\ $ je řada ve tvaru $P(\xi)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k\xi^k$. Řěšením Schr. robnice vyjdou vztahy mezi koeficienty $a_k\ $ a z požadavku na integrovatelnost vlnové funkce vyjde, že řada musí být konečná a kvantování energií. Vlnové funkce jsou nakonac dány pomocí Hermitových polynomů: $\psi_n=H_n(\xi)e^{-\xi^2/2}\ $, kde $H_n(\xi)=(-1)^ne^{\xi^2}\frac{d^2}{d\xi^n}e^{-\xi^2}$. Energie vyjdou stejně jako ve Fockově reprezentaci. # Vodíku podobný atom Při řešení atomu vodíku bychom měli počítat s hamiltoniánem pro elektron a proton. Úloha jde ale rozseparovat na polohu těžiště a relativní vzdálenosti částic. Proton je řádově tisíckrát těžší než elektron, takže počítáme se zafixovaným protonem, okolo kterého obíhá elektron (případně elektron s redukovanou hmotností). Hamiltonián elektronu v coulombovském poli má tvar: $\hat H=\frac{{\hat p}^2}{2m}-\frac{Ze'^2}{r}=-\frac{{\hbar}^2}{2m}\Delta-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{r}$ ve sférických souřadnicích pak $\hat H=-\frac{{\hbar}^2}{2m}[\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial}{\partial r})+\frac{\Delta_{\theta,\phi}}{r^2}]-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{r}$. Jelikož hamiltonián komutuje s $\hat L^2$ i $\hat L_z$, mají všechny tyto operátory společné vlastní funkce. Hledáme vlnové funkce v separovaném tvaru $\psi(r,\theta,\phi)=R(r)Y_{lm}(\theta,\phi)\ $, kde $R(r)\ $ je radiální část funkce a kulové funkce $Y_{lm}\ $ jsou vlastní funkce operátorů $\hat L^2$ a $\hat L_z$, $\hat L^2Y_{lm}={\hbar}^2l(l+1)Y_{lm},\ l=0,1,2,..$ a $\hat L_z Y_{lm}=\hbar m Y_{lm},\ m=-l,..,l$ Dosazením $\psi\ $ v separovaném tvaru do nečasové Schr. rovnice a z předposledního vztahu dostaneme $\hat H= -\frac{{\hbar}^2}{2m} [\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(r^2\frac{d}{dr})-\frac {l(l+1)}{r^2}]R-\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Ze^2}{r}R=ER$ Řešením jsou tzv. *Laguerrovy polynomy* $R_{nl}(\xi)=N_{nl}e^{-\frac{\xi}{2}}{\xi}^l L^{2l+1}_{n+l}(\xi)$, kde $\xi=\frac{2Z\rho}{n}=\frac{2Zr}{na}$. Normovací koeficient $N_{nl}={\left[\left(\frac{2Z}{na}\right)^3 \frac{(n-l-1)!}{2n[(n+l)!]^3}\right]}^{\frac{1}{2}}$. ![tvar R.jpg](Bakalářské státnice z Fyziky/17. Aplikace kvantové mechaniky/Tvar R.jpg) ![tvar R II.jpg](Bakalářské státnice z Fyziky/17. Aplikace kvantové mechaniky/Tvar R II.jpg) Ve směru $r\ $ uplaňujeme okrajovou podmínku $\psi \rightarrow 0$ pro $r\rightarrow \infty$, čímž získáme kvantování energií $E_n=-\frac{Z^2}{2n^2}\frac{e'^2}{a_0}$, $n=1,2,\dots$, kde $a_0=\frac{{\hbar}^2}{me'^2}$ je Bohrův poloměr (vzdálenost, ve které obíhá elektron kolem protonu v základním stavu). Ke každému $n\ $ přísluší stavy s kvantovými čísly $l=0,1,\dots,(n-1)$ (označované písmeny $s,p,d,f,g,\dots$) a každý stav s daným $l\ $ může navíc nabývat hodnot $m=-l,\dots,l$. Každý stav je tedy $n^2\ $-krát degenerovaný. Všechny ostatní atomy, ve kterých působí i elektron-elektronová interakce, "náhodnou degeneraci" (nezávislost energie na $l\ $), která je ve skutečnosti způsobena skrytou symetrií hamiltoniánu, nemají. Elektron v základním stavu atomu vodíku tedy obíhá okolo protonu ve vzdálenosti Bohrova poloměru $a_0\simeq 53 pm$ a má energii $1\ $ Rydberg, tedy $13,605 eV\ $. Tvar orbitalu určuje druhá mocnina příslušné kulové funkce. ![orbitaly.jpg](Bakalářské státnice z Fyziky/17. Aplikace kvantové mechaniky/Orbitaly.jpg) ![orbitaly II.jpg](Bakalářské státnice z Fyziky/17. Aplikace kvantové mechaniky/Orbitaly II.jpg) Při přechodech z excitovaných do nižších stavů může vyzářit fotony o energii $E_i-E_f \sim \frac{1}{n_f^2}-\frac{1}{n_i^2}$. Série přechodu na základní stav $n_f=1\ $ je Lymanova, na první excitovaný je Balmerova, na druhý excitovaný Pascheova, na třetí Bracketova a na čvtrý Pfundova. $n_f\ $, $n_i\ $ jsou hlavní kvantová čísla. ![spektrum.gif](Bakalářské státnice z Fyziky/17. Aplikace kvantové mechaniky/Spektrum.gif) $E_n=-\frac{\hbar R}{n^2}$ je energie dané elektronové slupky. S rostoucím $n\ $ roste i energie, pro $n\rightarrow \infty$ jde $E_n\rightarrow 0$. V tom případě je energie vazby příliš slabá na to, aby udržela elektron v obalu vodíku; elektron se pak stává volným, jeho energie přestane být kvantovaná a začne být spojitá (může nabýt libovolné hodnoty). Stav, kdy $n = 1\ $ s energií $E_1=-13,6 eV\ $ je základní stav vodíku. Energii $13,6 eV\ $ musíme atomu dodat, aby se ionizoval. Stavy s vyšší energií se nazývají excitované stavy a pro jejich ionizaci je potřeby nižší energie.