# Elektrické obvody stacionární, kvazistacionární a střídavé

## Sylabus

*Elektrické obvody stacionární, kvazistacionární a střídavé Ustálený a neustálený stav. Metody řešení elektrických obvodů. Kirchhoffova pravidla. Jouleův zákon.*

## Elektrické obvody

Jako kritérium pro klasifikaci elektrických obvodů může sloužit charakter časové závislosti elektromotorického napětí či proudu použitých aktivních prvků. Podle tohoto kritéria můžeme rozeznat dva typy.

* stejnosměrný obvod - působí zde zdroje s časově neproměnným elektromotorickým napětím

* střídavý obvod - má zdroje s harmonickým střídavým elektromotorickým napětím (proudem) o dané kruhové frekvenci $\omega$  

Bezprostředně po zapnutí zdrojů mohou být proudy v jednotlivých prvcích *stejnosměrného obvodu* časově proměnné - obvod je v *neustáleném stavu*. Po uplynutí dostatečně dlouhé doby přejde obvod do *ustáleného stavu* charakterizovaného časově neproměnnými proudy.

Ustálený stav střídavého obvodu nastává po dostatečně dlouhé době po zapnutí příslušných zdrojů elektromotorického napětí, kdy je možné zavést impedanci jednotlivých prvků. V opačném případě mluvíme o neustáleném stavu.

**Ohmův zákon** pro homogenní vodiče v diferenciálním tvaru je dán vztahem

$$
\mathbf{j} = \gamma \mathbf{E}
$$

kde $\mathbf{\gamma}$ je měrná vodivost.

Pro nehomogenní vodiče platí Ohmův zákon v zobecněném tvaru

$$
\mathbf{j} = \gamma (\mathbf{E} + \mathbf{E^*})
$$

Veličina $\mathbf{E^*}$ je tzv. vtištěná elektromotorická intenzita. Pak můžeme zavést elektromotorické napětí vztahem

$$
U_e^{AB} = \int_A^B \mathbf{E^*}\cdot d\mathbf{l} 
$$

Ohmův zákon pro uzavřený obvod

$$
I = \frac{U_e}{R_c}
$$

kde $R_c$ je celkový odpor.

## Kirchhoffovy zákony

### Kirchhoffovy zákony pro stacionární obvod

*1. Kirchhofův zákon* se týká celkového proudu vytékajícího ze styčného místa několika vodičů (neboli uzlu). Tento zákon je důsledkem rovnice kontinuity proudu, která má tvar 

$$
\operatorname{div} \mathbf{j} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0
$$

ve stacionárním přiblížení pak má rovnice kontinuity proudu tvar

$\operatorname{div} \mathbf{j} = 0 $

Jestliže tedy obklopíme uzel libovolnou uzavřenou plochou S, bude celkový proud vytékající z této plochy zřejmě roven algebraickému součtu proudů tekoucích jednotlivými vodiči. Po využití rovnice kontinuity pro stacionární stav, zřejmě platí

$$
\oint_S \mathbf{j} \cdot d\mathbf{S} = \sum_{k=1}^N I_k = 0
$$

neboli: **algebraický součet stacionárních proudů v uzlu je roven nule**

*2. Kirchhoffův zákon:*

Součet úbytků napětí na všech odporech ve smyčce je roven celkovému elektromotorickému napětí zdrojů smyčky.

Tedy platí

$$
\sum_{k=1}^N R_kI_k = \sum_{j=1}^M U_e
$$

### Kirchhoffovy zákony pro kvazistacionární obvod

V elektrických obvodech, ve kterých může docházet ke změnám proudu, existují složitější poměry než v obvodech stacionárních. Příčinou je především jev elektromagnetické indukce. Další příčinou je uplatnění kapacit mezi jednotlivými vodiči - při změnách potenciálu vodičů dochází ke změnám v rozložení nábojů, a tudíž ke vzniku dodatečných proudů v jednotlivých částech obvodu. 
1. Kirch. zákon zůstává v nezměněném znění.

2. Kirch. zákon je lehce pozměněn:
Součet napětí na všech odporech, kapacitách a indukčnostech zařazených do uzavřené smyčky je v každém okamžiku roven součtu elektromotorických napětí působících ve smyčce, neboli

$$
\mathbf{U_L(t) + U_C(t) + U_R(t) = U_e(t)}
$$

Pro řešení střídavých lineárních obvodů využijeme komplexní symboliku. 

Okamžitou hodnotu střídavého napětí či proudu je možné vyjádřit jako reálnou část komplexních veličin

$$
\hat{U}(t) = U_0 e^{i(\omega t + \varphi_U)} = \bar{U} e^{i\omega t}
$$

$$
\hat{I}(t) = I_0 e^{i(\omega t + \varphi_I)} = \bar{I} e^{i\omega t}
$$

tedy

$$
U(t) = Re \hat{U}(t)
$$

$$
I(t) = Re \hat{I}(t)
$$

Napětí a proudy mohou být v každém okamžiku takto reprezentovány, je ale zřejmé, že člen $exp(i\omega t)$ nenese při zadané frekvenci o sledované veličině žádnou informaci. Stačí tedy napětí a proudy reprezentovat jejich komplexními amplitudami.

$$
\bar{U} = U_0 e^{i\varphi_U}
$$

$$
\bar{I} = I_0 e^{i\varphi_I}
$$

Pro odpor, indukčnost a kapacitu platí postupně

$$
\bar{Z}_R = R
$$

$$
\bar{Z}_L = i \omega L
$$

$$
\bar{Z}_C = \frac {1}{i \omega C}
$$

kde $\bar{Z}$ je komplexní impedance. Poměr mezi komplexními amplitudami proudu a napětí můžeme obecně vyjádřit vztahem

$$
\bar{U} = \bar{Z} \bar{I}
$$

Tomuto vztahu se také nazývá komplexním vyjádřením Ohmova zákona pro střídavý obvod v ustáleném stavu. Tento vztah umožňuje aplikovat metody řešení stacionárních obvodů také na střídavé obvody v ustáleném stavu.

### Kirchhoffovy zákony v komplexní symbolice

1. zákon

$$
\sum_{k=1}^N Re \hat{I_k}(t) = Re \sum_{k=1}^N \hat{I_k}(t) = \sum_{k=1}^N \bar{I_k}(t)
$$

??? Není to spíše $O = Re \sum_{k=1}^N \hat{I_k}(t) = \sum_{k=1}^N \bar{I_k}(t)$ ???

2.zákon

$$
\sum_{k=1}^N \bar{U_e} = \sum_{l=1}^N \bar{Z_l}\bar{I_l}
$$

## Metody řešení obvodů ##

Pro jednoduché obvody s jedním zdrojem můžeme použít Ohmův zákon (pro stejnosměrné
v obyčejném, pro střídavé v komplexním tvaru), kdy sériově řazené odpory (impedance)

sčítáme a u paralelně řazených odporů (impedancí) sčítáme převrácené hodnoty.

Složitější (tj. s více zdroji) obvody v ustáleném stavu můžeme řešit. 

* 1 přímou aplikací Kirchhoffových pravidel (použijeme I. Kirchhoffovo pravidlo a vzniklé rovnice doplníme II. Kirchhoffovým pravidlem tak, aby rovnice ve vzniklé soustavy byly lineárně nezávislé)

* 2 metodou smyčkových proudů (každé smyčce přiřadíme proud a skutečné proudy v jednotlivých větvích jsou superpozicí smyčkových proudů (v podstatě I. Kirchhoffův zákon), pak pro vybrané nezávislé smyčky sestavíme rovnice využitím II. Kirchhoffova pravidla)

* 3 metodou uzlových napětí (sestavujeme rovnice pro jednotlivé uzly pomocí I. Kirchhoffova pravidla)

* 4 Thévéninova věta (proud libovolnou větví se nezmění, jestliže tuto větev vyjmeme z obvodu a připojíme ji ke zdroji, jehož elektromotorické napětí je rovno napětí, které zbude na uzlech po vyjmutí větve, a jehož vnitřní impedance je rovna impedanci daného obvodu mezi těmito uzly po nahrazení všech zdrojů jejich vnitřními impedancemi)

## Jouleův zákon
Změny vnitřní energie vodičů způsobené průchodem proudu vedou ke zvýšení jejich teploty a k tepelné výměně mezi vodiči a okolím. Takto přenesená energie se nazývá **Jouleovo teplo**. Tepelný výkon P vznikající ve vodiče protékaného proudem, na němž je napětí U, je dán vztahem

$$
P = UI = \frac{U^2}{R} = RI^2
$$

hustota výkonu je pak dána vztahem

$$
\mathbf{n = j\cdot E}
$$

U střídavých obvodů se nevyužívá celá část výkonu *UI*. Kolik výkonu se spotřebuje určuje 

**účiník:** $\cos \phi$,

kde $\phi$ je rozdíl fáze proudu a napětí – dle předešlého značení $\phi = \phi_U - \phi_I$. (Na pořadí v rozdílu nezáleží, protože kosinus je sudá funkce.)

*Mimo komplexní symboliky je vhodnou pomůckou i* fázorový diagram, * který je mnohdy rychlejší a míň matoucí (alespoň pro mne). Podle potřeby se jedním pevným směrem vynáší velikost proudu (zapojení v sérii), nebo napětí (paralelní zapojení). Druhá veličina se pak vynáší příslušně posunuta a vše se vektorově skládá. Úhel* $\phi$*, který se cpe do účiníku je pak hezky vidět.*

*Pro ty kdo neznají oplzlou pomůcku, jak rychle kreslit diagram:* Jak je to s cívkou? Jako s dívkou: Nejdřív napětí a potom proud. *A s kapacitou je to opačně.*

[Státní závěrečná zkouška](Státní%20závěrečná%20zkouška)