Otázky & odpovede
* Ako použiť Lagrangián a Hamiltonián v kovariantnom popise častice v poli? Nekovariantne to nie je problém. Pohyb častice medzi pevnými časmi t_1, t_2 minimalizuje účinok
$
S_{12} = \int_{t_1}^{t_2} L dt,
$
kde obyčajný Lagrangián je
$
L = -mc^2\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}} - q\phi + q\mathbf A \cdot \mathbf v.
$
Prechod k Hamiltonovskému popisu je jednoduchý - Hamiltonián je
$
H = \mathbf p \cdot \mathbf v - L = \sqrt{(\mathbf p - q\mathbf A)^2 c^2 + m^2c^4} + q\phi
$
a správne pohybové rovnice sú
kde
$
\frac{d\mathbf r}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p}~~~,~~~\frac{d\mathbf p}{dt} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf r}.
$
Lenže ak túto procedúru skúsime zopakovať kovariantne, narazíme na problém. Ako vôbec sformulovať princíp účinku kovariantne? Ak budeme integrovať cez vlastný čas, účinok je
$
S_{12} = \int_{\tau_1}^{\tau_2} -mc\sqrt{-u_\mu u^\mu} + qA_\mu u^\mu d\tau.
$
Ak teraz zmeníme pôvodný princíp účinku na predpoklad, že pri fixovaných hraniciach tau je variácia tohoto integrálu nulová, dostaneme hybnosť
$
p_\mu = \frac{mc\frac{dx_\mu}{d\tau}}{\sqrt{-u_\mu u^\mu}} + qA_\mu
$
a pohybové rovnice
$
\frac{d}{d\tau} \left( \frac{mc\frac{dx_\mu}{d\tau}}{\sqrt{-u_\nu u^\nu}} \right) = q ( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu ) u^\nu.
$
Lenže pohybové rovnice sú zle, pretože správne rovnice sú bez tej odmocniny a c:
$
\frac{d}{d\tau} \left( m\frac{dx_\mu}{d\tau} \right) = q ( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu ) u^\nu.
$
V knižkách sa tento problém odlfákne tým, že sa po odvodení rovníc povie $u_\mu u^\mu = -c^2$. Lenže to je opravovanie rovnice a zakrývanie faktu, že Lagrangián a princíp účinku nám nedali správne rovnice. Väzba $u_\mu u^\mu = -c^2$ by mala plynúť z Lagrangiánu. Ďalšou námietkou je, že ak by sme väzbu zobrali skôr, už v Lagrangiáne, dostali by sme
$
L = -mc^2 + qA_\mu u^\mu
$
z ktorého by sme dostali hybnosť
$
p_\mu = qA_\mu
$
a rovnice
$
(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) u^\nu = 0,
$
ktoré sú zle.
Hamiltonovská formulácia nie je na tom vôbec lepšie: keďže Lagrangián je homogénny prvého rádu v rýchlostiach, podľa Eulerovej vety platí
$
L = p_\mu u^\mu
$
a Hamiltonián
$
H = p_\mu u^\mu - L
$
je nulový (tzn. nezávisí na hybnostiach a polohách), čo dá úplne nesprávne rovnice
$
\mathbf r = const., \mathbf p = const.
$
Hlavný problém vzniká, keď sa snažíme použiť vlastný čas - vtedy sa nám do problému dostáva spomenutá väzba. Ak ostaneme pri starom dobrom súradnicovom čase, žiadnu väzbu nemáme - dostaneme rovno rovnice
$
\frac{d}{d\tau} \left( \frac{m\mathbf v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B).
$
Ako to teda správne chápať? Z celej tejto bolestivej procedúry mám pocit, že myšlienka kovariantného zápisu nie je príliš užitočná.
----
* Predstavme si polguľu na drsnej rovine, takže nedochádza k prešmykovaniu. Polguľa sa môže iba odvaľovať a kmitať. Ako správne napísať pohybovú rovnicu? Z Lagrangiánu
$L = \frac{1}{2} I_\phi (\dot \phi)^2 + mgr_T \cos \phi$
dostaneme pohybovú rovnicu
$\frac{d}{dt} \left( I_\phi \dot \phi \right) = \frac{1}{2}I_\phi^\prime\dot{\phi}^2-mgr_T \sin\phi$,
zatiaľčo z druhej impulzovej vety (časová zmena momentu hybnosti = moment sily) máme
$\frac{d}{dt} \left( I_\phi \dot \phi \right) = -mgr_T \sin\phi$.
Ktorý prístup je správne a ako sa má správne urobiť ten druhý?
* V skutočnosti je správne rovnica z Lagrangiánu. Postup cez moment sily je tiež dobrý, ale zrada je v momente hybnosti: jeho zmenu treba počítať vzhľadom na pevný bod podložky; po infinitezimálnom posunutí dotykového bodu z bodu 1 do bodu 2 na podložke o $\mathbf a$ je už moment hybnosti zvýšený o príspevok pohybu ťažiska: $\mathbf L _2 = I_\phi \mathbf \omega + \mathbf a \times m\mathbf{v_T}$, čo po vyjadrení z geometrie dá rovnakú pohybovú rovnicu ako Lagrangián.
----
* V klasickej mechanike pre účinok S častice, ktorý chápeme ako funkciu jej aktuálnej polohy a času - $dS(q,t) = L dt = p dq - H dt$ - platia rovnice $\frac{\partial S}{\partial x^i} = p_i$, $\frac{\partial S}{\partial t} = -E$. Ako je možné, že je táto rovnica správne kovariantne (dá sa zapísať ako $\partial_\mu S = p_\mu$) už v klasickej mechanike, kde by sa metrika $-+++$ nemala nikde objaviť (to je až výsledok relativity)?
.
----
* Predstavme si pravidelný mnohosten, napríklad kocku. Každý taký mnohosten má nejaký počet stien 'F', hrán 'E' a vrcholov 'V', pričom tieto tri čísla vždy spĺňajú vzťah $F + V - E = 2$. Je ešte jedna oblasť, kde sa objavuje podobný vzťah - termodynamika. Gibbsovo pravidlo fáz tvrdí, že pre počet fáz *f*, zložiek *z* a počet stupňov voľnosti sústavy *s* platí vzťah $f + z - s = 2$. Existuje tu nejaký súvis, alebo je to všetko iba náhoda ?
* Myslím, že to je jen náhoda. Výraz $V+F-E$ se nazývá Eulerova charakteristika a závisí na topologii tělesa, takže může mít i jinou hodnotu než 2.
----