[Státnice - Fyzika NMgr: Seznam okruhů#4. Vlnová optika](Státnice%20-%20Fyzika%20NMgr:%20Seznam%20okruhů#4.%20Vlnová%20optika)

Doporučuji si přečíst jako úvod [Studijní text k ZFP](http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt_321.pdf).
f(x,y)<->F(ν<sub>x</sub>,ν<sub>y</sub>).

 f(x, y)=∫<sub>R</sub>∫<sub>R</sub> F(ν<sub>x</sub>,ν<sub>y</sub>) exp(+2πi(ν<sub>x</sub>x+ ν<sub>y</sub>y)) dν<sub>x</sub> dν<sub>y</sub>

 F(ν<sub>x</sub>,ν<sub>y</sub>)=∫<sub>R</sub>∫<sub>R</sub> f(x, y) exp(-2πi(ν<sub>x</sub>x+ ν<sub>y</sub>y)) dx dy

Pozn.: Rovinná harmonická monochromatická vlna (RHMV): U(x,y,z,t)=A exp(-i(ωt-k∙r)); U=komplexní analytický signál.
Omezíme se pouze na prostorovou závislost v z=0: U(x,y)=A exp(+i (k<sub>x</sub>x + k<sub>y</sub>y)) = A exp(+i(ν<sub>x</sub>x+ ν<sub>y</sub>y)). Tedy:

 ν<sub>i</sub> = k<sub>i</sub>/2π = prostorové frekvence; \[ν<sub>i</sub>] = cyklus/metr a k<sub>i</sub> jsou prostorové úhlové frekvence; \[k<sub>i</sub>]= rad/m

Budeme počítat (jako v geometrické optice s paraxiálními paprsky) RHMV takové, že se šíří téměř ve směru osy *z* a složíme skutečnou vlnu jako jejich superpozici (ty skládané RHMV mají různé směry šíření a různé amplitudy, ale STEJNÉ BARVY \[shodné vlnové délky=shodné frekvence]). Z principu superpozice plyne, že pokud umím spočíst odezvu systému na RHMV, pak:

1. Vstupní vlnu rozložím na několik RHMV (viz začátek stránky)
1. Tyto vlny nechám projít nebo odrazit od systému (to umím spočíst)
1. Výstup zase sečtu a mám výsledek

Jak na to skládání?

Ozn. θ<sub>x</sub> = úhel mezi rovinou (yz) a vektorem šíření RHMV *k* = arcsin(k<sub>x</sub>/|k|). Samozřejmě |k| = 2π/λ je velikost vlnového vektoru; všechny RHMV (ze kterých skládám tu skutečnou) mají |k| stejné (protože mají stejnou barvu). V rovině *z=0*: U(x,y,0)=A exp(+i (k<sub>x</sub>x + k<sub>y</sub>y)) = A exp(+2πi(ν<sub>x</sub>x+ ν<sub>y</sub>y)), proto θ<sub>x</sub> = arcsin(k<sub>x</sub>/|k|) = arcsin(ν<sub>x</sub>λ) = arcsin(λ/Λ<sub>x</sub>). Označili jsme Λ<sub>x</sub> = 1/ν<sub>x</sub>.

U paraxiáních paprsků: θ<sub>x</sub> i θ<sub>y</sub> jsou malé => lze θ<sub>x</sub> = λ/Λ<sub>x</sub> (analogicky pro θ<sub>y</sub>).

 Pozn.: θ<sub>x</sub> i θ<sub>y</sub> závisejí na barvě použitého světla.

### Amplitudová modulace ###

* Mějme prvek s propustností danou f<sub>0</sub>(x,y). Spočítám F<sub>0</sub>(ν<sub>x</sub>, ν<sub>y</sub>)=FT(f<sub>0</sub>) \[FT značí Fourierovu transformaci]
* Další výpočet je založen na předpokladu, že f<sub>0</sub> má velké prostorové periody \[tzn. Δν<sub>x</sub> i Δν<sub>y</sub> jsou malé, Δν je rozptyl prostorových frekvencí]
* Vezmu jiný optický element, jehož propustnost je dána vztahem *f<sub>1</sub>(x,y)=f<sub>0</sub>(x,y)exp(+2πi(ν<sub>x0</sub>x+ ν<sub>y0</sub>y))*, kde Δν<sub>x</sub> << ν<sub>x0</sub> a Δν<sub>y</sub> << ν<sub>y0</sub>. Tzn. f<sub>0</sub> je vzhledem k exponenciele pomalu se měnící funkce => f<sub>0</sub> je modulovaná amplituda vlny \[té komplexní exponenciely].
* Nyní spočítám F<sub>1</sub>(ν<sub>x</sub>, ν<sub>y</sub>)=FT(f<sub>1</sub>) a vyjde, že F<sub>1</sub>(ν<sub>x</sub>, ν<sub>y</sub>) = F<sub>0</sub>(ν<sub>x</sub> - ν<sub>x0</sub>, ν<sub>y</sub> - ν<sub>y0</sub>). To je patrné už z posunovacího teorému (když funkci času vynásobím faktorem exp(-2iπνt), pak její FT dává funkční hodnoty o ν posunuté: FT\[f exp(-2iπνt)](ν<sub>0</sub>) = FT\[f](ν<sub>0</sub>+ν) )

 Pozn.: Mřížka sama o sobě díky difrakci velice názorně odchýlí RHMV o úhel θ<sub>x</sub> = d/λ (a to na obě strany). Již z tohoto experimentu je patrné, že optika umí "spočítat" Fourierovu transformaci velice rychle a "zadarmo".

Obecně, pokud podrobněji propočteme spoustu rovností a integrálů a možná i derivací, zjistíme následující věc:
 Pokud objekt počmáráme soustavou rovnoběžných čar, pak se všechny jeho prostorové úhly posunou o θ<sub>x</sub> = d/λ, kde d=vzdálenost čar a λ=vlnová délka použitého světla (barva). Tato vzdálenost *d* musí být o hodně menší, než typické rozměry počmáraného objektu.

Příklady:

* sférická čočka s ohniskovou vzdáleností *f* má f(x,y)=exp(-iπ(x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>)/λf)
* Fresnellova zónová deska: f(x,y)=1 tam, kde cos(π(x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>)/λf)>0 a f(x,y)=0 jinde
* Vypuštění tygra z klece
* Soustava nekonečně mnoha štěrbin by měla difrakční obrazec pouze dva body, do kterých by bylo soustředěno všechno příchozí světlo. Zde však selhává představa místa, do kterého toto soustředěné světlo dopadne - není zde nic, jako prostředek mřížky