# Sylabus # *Maxwellovy rovnice a jejich základní důsledky Elektromagnetické potenciály a jejich vlastnosti. Zákony zachování v teorii elektromagnetického pole. Vlastnosti stacionárních, kvazistacionárních a nestacionárních polí. * [Státní závěrečná zkouška](Státní%20závěrečná%20zkouška) # Soustava Maxwellových rovnic # K popisu elektromagnetického pole slouží veličiny: * intenzita elektrického pole $\mathbf{E}$ a magnetická indukce $\mathbf{B}$. V bodě prostoročasu je pole $\mathbf{E,B}$ tehdy, je-li síla působící na testovací částici náboje $q$ a hmotnosti $m$ rovna ::$ \mathbf{F} = q\left(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B\right) \, . $ což je **Lorentzova síla**. Tento vztah je správný i z hlediska speciální teorie relativity. V STR platí pohybová rovnice pro částici: ::$ \mathbf F = q\left(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B\right) = \frac{d\left(\gamma m \mathbf v\right)}{dt} . $ Pole $\bf E, B$ jsou skutečná pole, zodpovědná za změnu hybnosti nabitých částic. Maxwellovy rovnice ve vakuu pro ně zní ::$ \mathrm{div}\, \mathbf{E}=\frac{\rho_v}{\varepsilon_0} , $ ::$ \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0 \, ,$ ::$ \mathrm{rot}\, \mathbf{E}= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ,$ ::$ \mathrm{rot}\, \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}_v+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} .$ V látkovém prostředí může být užitečné zavést další veličiny * elektrickou indukci $\mathbf{D}$ a magnetickou intenzitu $\mathbf{H}$. Ty jsou *definovány* vztahy ::$ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}, \quad \mathbf{B} = \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ), $ kde $\varepsilon_0 = \frac{10^7}{4\pi c^2}\mathrm{F\,m^{-1}} \approx 8,85.10^{-12}\,\mathrm{F\,m^{-1}}$, $\mu_0 = 4\pi.10^{-7}\,\mathrm{H\,m^{-1}} \approx 1,26.10^{-6}\,\mathrm{H\,m^{-1}}$ a veličiny $\bf P, M$ jsou definované v látkovém prostředí takto. Představme si malou krychli látky o objemu $\Delta V$ a dipólového momentu $\Delta \mathbf p$. Elektrická polarizace je objemová hustota elektrického dipólového momentu ::$\mathbf{P} = \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta V}$ a protože se dipólový moment krychle dá vyjádřit z definice jako posunutý náboj (polarizační $\rho_p$) krát posunutí z rovnovážné polohy $\Delta \mathbf p = \rho_p.\Delta V.\Delta \mathbf r$, dá se také vyjádřit jako ::$\mathbf{P} = \rho_p \Delta \mathbf r \, .$ Podobně magnetizace je objemová hustota magnetického momentu ::$\mathbf M = \frac{\Delta \mathbf{m}}{\Delta V}\, .$ Představme si malý čtvercový kvádr látky tloušťky $b$ o straně $a$, vybranou tak, aby směr magnetického momentu $\bf k$ byl kolmý na plochu čtvercové podstavy. Pak je z definice magnetického momentu ::$\mathbf M = \frac{\Delta \mathbf m}{\Delta V} = \frac{\Delta I \Delta S \mathbf k}{\Delta V} = \frac{bj_S \mathbf k a^2}{ba^2} = j_S\mathbf k \, ,$ tedy magnetizace má směr kolmý na rovinu obíhaní proudu a velikost rovnu délkové hustotě plošného proudu $j_S$. Tyto veličiny jsou spolu svázány soustavou Maxwellových rovnic. ### Diferenciální tvar ### Maxwellovy rovnice lze zapsat v diferenciálním tvaru následujícím způsobem ::$ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho_v \, ,$ ::$ \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j_v}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \, ,$ ::$ \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \,$ ::$ \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0 \, .$ První dvě rovnice popisují vztah mezi nábojovou hustotou volných nábojů $\rho_v $, hustotou volných proudů $\mathbf{j_v}$ a vektory elektromagnetického pole $\mathbf{D}$ a $\mathbf{H}$. Poslední dvě rovnice udávají obecně platné vlastnosti vektorů $\mathbf{E}$ a $\mathbf{B}$. ### Integrální tvar ### V integrálním tvaru nabývají Maxwellovy rovnice podoby ($Q$ je volný náboj v objemu ohraničeném plochou $S$ a $I$ je proud protékající plochou ohraničenou křivkou $l$): ::$ \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q \, ,$ ::$ \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+\int_{S}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S} \, ,$ ::$ \oint_{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\int_{S}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S} \, ,$ ::$ \oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0 \, .$ První rovnice odpovídá Gaussovu zákonu, druhá představuje zobecněný Ampérův zákon, třetí reprezentuje Faradayův indukční zákon a čtvrtá vyjadřuje neexistenci magnetických nábojů. ### Slovne sa dajú formulovať takto: ### • zdrojem elektrické indukce jsou volné náboje • neexistují volné magnetické náboje • vírové elektrické pole je tam, kde se s časem mění vektor magnetické indukce • vírové magnetické pole je tam, kde se s časem mění vektor elektrická indukce a pohybuje náboj Maxwellovy rovnice jsou soustavou parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu, obsahují 12 neznámých (navíc máme ještě materiálové vztahy a hraniční podmínky). # Elektromagnetické potenciály # ### Zavedení potenciálů ### Pro řešení Maxwellových rovnic je výhodné následujícím způsobem zavést vektorový potenciál $\mathbf{A}$ a skalární potenciál $\varphi $:
$ \mathbf{B}=\mathrm{rot}\, \mathbf{A}$
$ \mathbf{E}=-\mathrm{grad}\, \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$ Zavedení $\mathbf{A}$ podle prvního vztahu umožňuje poslední z Maxwellových rovnic, druhý vztah lze získat dosazením prvního do třetí Maxwellovy rovnice. ### Kalibrační transformace ### Potenciály $\mathbf{A}$ a $\varphi $ nejsou určeny jednoznačně a je tedy možné přejít k jiným pomocí kalibrační transformace
$ \varphi'=\varphi -\frac{\partial \psi }{\partial t}$
$ \mathbf{A}'=\mathbf{A}+\mathrm{grad}\, \psi ,$
aniž by přitom došlo ke změně $\mathbf{E}$ a $\mathbf{B}$. Elektromagnetické pole je tedy kalibračně invariantní. ### Lorentzova podmínka ### Kalibrační transformace umožňují takovou volbu potenciálů, při které je splněna Lorentzova podmínka
$ \mathrm{div}\, \mathbf{A}+\varepsilon \mu \frac{\partial \varphi }{\partial t}=0,$
kde $\varepsilon $ značí permitivitu a $\mu $ permeabilitu vystupující v (lineárních) materiálových vztazích. Zavedené potenciály lze s využitím materiálových vztahů dosadit do prvních dvou Maxwellových rovnic a díky této podmínce je možné po úpravách získat vlnovou rovnici
$ \Delta \varphi -\varepsilon \mu \frac{{\partial }^{2}\varphi }{\partial {t}^{2}}=-\frac{\rho }{\varepsilon }$
$ \Delta \mathbf{A}-\varepsilon \mu \frac{{\partial }^{2}\mathbf{A}}{\partial {t}^{2}}=-\mu \mathbf{j}$ # Zákony zachování # *$ten: Toto je narychlo vypsáno z Feynmanových přednášek 2. díl kap. 27 Energie pole a hybnost pole.* *Určitě to sem částečně patří, ale je to jen pár neformálních výkřiků do tmy a mávání rukama. Kdo to víte lépěji, prosím, opravte to a doplňte.* ## Lokálnost zákonů zachování ## Velmi stručně shrnuto jde o to, jestli zákony zachování platí globálně, lokálně nebo jak. Příklad **zachování elektrického náboje**. Náboj v uzavřeném systému se nemění (např. v celém vesmíru). Můžeme si tedy představit situaci, že v místě A je náboj a s časem ubývá. Na jiném (vzdáleném) místě B pak úplně stejně náboj z ničeho nic přibývá. Zákon zachování funguje. Ovšem teorie relativity v tomto případě vztyčí varovný prst a zakáže jakékoliv okamžité působení na dálku. Náboj se tedy bude muset přesunout nějakým tokem - proudem. Vztah proto pak je jednoduše (rovnice kontinuity) $ \mathbf{\nabla \cdot j} = - \frac{\partial \rho}{\partial t}$. Tzn. že zákon zachování musí platit *lokálně*, v každém místě. Pro všechny veličiny, které se mají zachovávat, pak platí, že ubývají tak, jak velký je jejich tok do okolí. Elegantní je to v STR: $j^{\nu \mu}_{,\mu} = F^{\mu \nu}_{ ,\mu \nu} = 0$, protože $F^{\mu \nu}$ je antisymetrický, zatímco derivace jsou záměnné (tj. ve spodních indexech je to symetrický výraz). Připomínám $j^\nu = (c \rho, j_x, j_y, j_z)$ a $F_{\mu \nu}=A_{\nu, \mu} - A_{\mu, \nu}$ a $A_\mu = (\frac{\Phi}{c}, A_x, A_y, A_z)$. $c$ je rychlost světla, $\rho$ hustota nábojů, $\Phi$ skalární potenciál elektrického pole a $A_x$ až $A_z$ jsou složky vektorového potenciálu magnetického pole. ## Zákon zachování energie pro EM pole ## Nu a stejně jako pro náboj musí být splněn zákon zachování energie. Úplně analogicky je tedy *hustota energie pole* $w$ a *hustota toku energie pole* $\mathbf{S}$ spojena vztahem: $\frac{\partial w}{\partial t} = - \mathbf{\nabla \cdot S}$ Předešlá rovnice ještě není celá fertig, nezachovává se totiž jen energie EM pole, ale všechna energie - i energie látky. Časová změna hustoty energie se tedy spotřebuje na to co vyteče z objemu $V$ a na práci vykonanou v tomto objemu. Pole koná práci na elektrické náboje. Lorentzova síla: $\mathbf{F} = q \left( \mathbf{E} + \mathbf{v \times B} \right).$ Práce za jednotku času: $\mathbf{F \cdot v} = q \mathbf{E \cdot v}$ Z toho práce na jednotku objemu s koncentrací částic $N$ je $Nq\mathbf{E \cdot v} = \mathbf{E \cdot j}$. Pozn.: "Překvapivě" vlastně hustota výkonu dle Joulese. $P = UI$. Takže sakumprdum je vztah pro zachování energie v objemu $V$ s hranicí $\Sigma$ $-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V w \mathrm{d}V = \oint_{\Sigma} \mathbf{S \cdot n}\mathrm{d}\Sigma + \int \mathbf{E \cdot j}\mathrm{d}V$ Což nám matematici jistě dovolí přepsat jako $-\frac{\partial w}{\partial t} = \mathbf{\nabla \cdot S} + \mathbf{E \cdot j} $ $\left(\heartsuit\right)$ ## Co jsou to ty ''w'' a '''''S''''' ## Intuitivní odvození následuje. Berte jako vodítko. Dle předešlých úvah předpokládáme, že existuje (a všem experimentům se líbí) nějaká hustuta energie $w$ a tok hustoty energie $\mathbf{S}$. Dostaňme je jak jinak z Maxwellek. Vezměme rovnici pro rotaci $\bf B$ (pozn. nechal jsem rozměrové konstanty tam, jak je píšou v F. přednáškách, je to trochu nezvyk): $\mathbf{j} = \varepsilon_0 c^2 \left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial{t}}$ Vynásobíme-li skalárně $\bf E$ dostaneme levou stranu $\left(\heartsuit\right)$ $\mathbf{E \cdot j} = \varepsilon_0 c^2 \mathbf{E \cdot} \left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \varepsilon_0 \mathbf{E \cdot} \frac{\partial E}{\partial{t}}$. Teď prosím matematiky aby se odvrátili od monitorů, neb fyzici berou klidně bez okolků následující vztah za platný. $\mathbf{\nabla \cdot}\left(\mathbf{B \times E}\right) = \mathbf{E \cdot}\left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \mathbf{B \cdot}\left(\mathbf{\nabla \times E}\right)$. (*bacha na znaménko*) S použitím vztahu, který si matematici právě teď ještě ověřují, dostáváme $\mathbf{E \cdot j} = \varepsilon_0 c^2 \mathbf{\nabla \cdot} \left(\mathbf{B \times E}\right) + \varepsilon_0 c^2 \mathbf{B \cdot} \left(\mathbf{\nabla \times E}\right) - \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{1}{2} \varepsilon_0 \mathbf{E \cdot E} \right)$. "$\nabla \times E$ je naštěstí rovno" $-\partial \mathbf{B} / \partial t$ a tedy $\mathbf{B \cdot (\nabla \times E)} = - \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\mathbf{B \cdot B}}{2} \right)$ Takže $\heartsuit$ přejde na $\mathbf{E \cdot j} = \mathbf{\nabla \cdot} \left(\varepsilon_0 c^2 \mathbf{B \times E} \right) - \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{\varepsilon_0 c^2}{2}\mathbf{B \cdot B} + \frac{\varepsilon_0}{2} \mathbf{E \cdot E} \right)$, kde už vidíme $ w = \frac{\varepsilon}{2}\mathbf{E \cdot E} + \frac{\varepsilon_0 c^2}{2} \mathbf{B \cdot B}$, $ \mathbf{S} = \varepsilon_0 c^2 \mathbf{E \times B} $. # Elektrostatika # ### Maxwellovy rovnice pro elektrostatické pole ### Elektrostatika se zabývá případem, kdy jsou všechny elektrické náboje v klidu. Maxwellovy rovnice pak vypadají následovně:
$ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho $
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=0$
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=0$
$ \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0$ ### Poissonova a Laplaceova rovnice ### Vztah mezi potenciálem elektrostatického pole a rozložením náboje určuje Poissonova rovnice
$ \Delta \varphi =-\frac{\rho }{{\varepsilon }_{0}},$
která v místech s nulovou hustotou náboje přechází na Laplaceovu rovnici
$ \Delta \varphi =0$
(jednoznačnost řešení zajišťují okrajové podmínky). ### Základní úloha elektrostatiky ### Základní úloha elektrostatiky spočívá v určení potenciálu (a tím i intenzity elektrického pole) soustavy nabitých vodičů. Jde tedy o řešení Laplaceovy rovnice v místech mimo nabité vodiče s okrajovými podmínkami, které představují zadané potenciály, resp. náboje jednotlivých vodičů a požadavek nulového potenciálu na hranici zkoumaného objemu či (v limitě) v nekonečnu v případě celého prostoru. ### Vhodné vztahy ### Pro řešení úloh je možné v elektrostatice vycházet z Gaussova zákona (viz výše), případně z jiných známých vztahů jako např. z výrazu pro intenzitu elektrického pole v místě $\mathbf{r}$ od náboje $Q$ umístěného v $\mathbf{r}'$ $ \mathbf{E}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\frac{Q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'{|}^{3}}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right)$ # Stacionární pole # ### Maxwellovy rovnice pro stacionární pole ### Ve stacionárním stavu jsou všechny makroskopické veličiny časově nezávislé. V tomto případě nabývají Maxwellovy rovnice tvaru:
$ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho $
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}$
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=0$
$ \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0$ Prostorové rozložení nábojů je popsáno časově konstantní nábojovou hustotou $\rho $. Na rozdíl od elektrostatiky však mohou náboje konat makroskopický pohyb, kterému odpovídá časově neproměnná proudová hustota $\mathbf{j}$. ### Ohmův zákon ### Další odlišnost od elektrostatiky představuje existence nenulového elektrického pole uvnitř vodičů, kterými protéká proud. Úměru mezi proudovou hustotou a intenzitou elektrického pole v daném vodiči o měrné vodivosti $\gamma $ vyjadřuje diferenciální tvar Ohmova zákona: $ \mathbf{j}=\gamma \mathbf{E} \,.$ Měrná vodivost je spojena s měrným odporem $\sigma $ vztahem $ \gamma =\frac{1}{\sigma}.$ Odpor $R$ vodiče délky $l'$ a průřezu $S'$ udává výraz $ R=\sigma \frac{l'}{S'}.$ Vyjádřením elektrického proudu $ I=\int_{S'}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}' $ a napětí $ U=\int_{\left(1\right)}^{\left(2\right)}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}'={\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}$ lze zapsat Ohmův zákon ve tvaru $ I=\frac{U}{R} .$ ### Vhodné vztahy ### Pro řešení úloh lze v případě stacionárního pole vhodně užít Gaussův zákon (viz výše), Ampérův zákon ve tvaru $ \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I$ a Biot-Savartův vzorec $ \mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{\mu }{4\pi }\int_{V}\frac{\mathbf{j}\left(\mathbf{r}'\right)\times \mathbf{R}}{{R}^{3}}dV',$ kde $\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'$, integrační proměnná je $\mathbf{r}'$ a integruje se přes objem $V$. # Kvazistacionární pole # ### Maxwellovy rovnice pro kvazistacionární pole ### Kvazistacionární přiblížení je vhodné pro studium časově proměnného elektrického a magnetického pole za předpokladu dostatečně pomalých změn rozložení nábojů, tedy
$ \mathbf{j}>>\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ Maxwellovy rovnice tak mají podobu:
$ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho $
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}$
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
$ \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0$ ### Elektromagnetická indukce ### Jak je patrné, oproti stacionárnímu přiblížení je zde již uvažován jev elektromagnetické indukce. Pro indukované elektromotorické napětí ${U}_{F}$ ve vodivé smyčce, kterou prochází (časově proměnný) magnetický indukční tok $\Psi $, platí Faradayův indukční zákon
$ {U}_{F}=-\frac{d\Psi }{dt}$ Skutečnost, že směr indukovaného proudu ve smyčce je takový, že jím vytvořené magnetické pole se snaží kompenzovat změny toku způsobující vznik indukovaného proudu, se nazývá Lenzovo pravidlo. V případě smyčky o ploše $S*$ nehybné vzhledem k laboratorní soustavě (a neměnící svou geometrii) lze psát
$ {U}_{F}=-\int_{S*}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}*$* ### Vhodné vztahy ### Při řešení úloh lze v případě kvazistacionárního pole postupovat podobně jako ve stacionárním přiblížení, ovšem Ohmův zákon je nutné doplnit o indukované elektromotorické napětí ${U}_{F}$, resp. odpovídající indukovanou vtištěnou intenzitu elektrického pole ${\mathbf{E}}_{F}^{\star }$. # Nestacionární pole # ### Maxwellovy rovnice pro nestacionární pole ### Nestacionární pole představuje zcela obecný případ elektromagnetického pole. K jeho popisu je třeba užívat Maxwellovy rovnice v obecném tvaru ze začátku tohoto textu:
$ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho $
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$
$ \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
$ \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0$ ### Maxwellův proud ### Jak je patrné, oproti kvazistacionárnímu přiblížení se na pravé straně druhé z rovnic vyskytuje výraz $\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$, který lze považovat za celkovou hustotu makroskopického nestacionárního proudu $ {\mathbf{j}}_{c}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+{\varepsilon }_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},$ kde první člen $\mathbf{j}$ odpovídá hustotě volného proudu, druhý člen $\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$ přísluší hustotě polarizačního proudu a poslední člen ${\varepsilon }_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ je hustota tzv. Maxwellova proudu. Maxwellův proud nesouvisí přímo s pohybem nábojů, ale s časovou změnou elektrického pole. Polarizační a Maxwellův proud bývají dohromady označovány jako posuvný proud. ### Vhodné vztahy ### Z předchozího je zřejmé, že řešení úloh v případě nestacionárního pole se od kvazistacionárního přiblížení odlišuje nutností užívat zobecněný Ampérův zákon, tj. integrální tvar druhé Maxwellovy rovnice (uveden již výše): $ \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+\int_{S}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.$ ## Užitečná literatura ## * Ladislav Szántó: [Maxwellovy rovnice](http://shop.ben.cz/cz/140523-maxwellovy-rovnice.aspx) a jejich názorné odvození, [BEN - technická literatura](http://www.ben.cz/), Praha 2003, ISBN 80-7300-096-2 [Státní závěrečná zkouška](Státní%20závěrečná%20zkouška)