### Úvod ### [Státní závěrečná zkouška](Státní%20závěrečná%20zkouška) ---- **Tuhé těleso** - nedeformovatelná soustava hmotných bodů, které mají vůči sobě pevné vzdálenosti. Tuhé těleso má $6$ stupňů volnosti - $3$ rotační a $3$ translační. **Popis rotace:** Zavedeme 2 ortonormální báze: *referenční* (pevná v prostoru) $(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)$ a *korotující* (pevně spojená s tělesem) $ (\vec e^*_1,\vec e^*_2,\vec e^*_3) $. Natočení tělesa je pak popsáno ortogonální maticí $A$: ::$\vec e^*_i = A_{ik} \vec e_k \, . $ Matice $A$ je závislá na čase, splňuje relace ortogonality. Vzpomeňte si na názorný příklad doc. Podolského: kolotoč s koníčkem a slepičkou a opodál stojící Hanka. ### Zavedení vektoru úhlové rychlosti ### ---- Uvažujme libovolný časově závislý vektor $\vec w(t)$, $\vec w(t) = w_i(t)\vec e_i = w^*_i(t)\vec e^*_i(t)$, přičemž $\vec e^*_i(t) = A_{ik}(t)\vec e_k$. Pak $(\frac {d\vec w}{dt})_{prostor} = $ *$\frac{dw_i}{dt}\vec e_i$ (nahlíženo Hankou) *$\frac{dw^*_i}{dt}\vec e^*_i + w^*_i \frac{d\vec e^*_i}{dt} = \frac{dw^*_i}{dt}\vec e^*_i + w_i\frac{dA_{ik}}{dt}A_{jk}\vec e^*_j.$ (nahlíženo slepičkou) Přeznačíme index *i* na *l* a *j* na *i* a dostaneme, že $\frac{dA_{lk}}{dt}A_{ik} = \Omega^*_{li}.$ Úhlová rychlost $\Omega$ je **antisymetrická** (má 3 nezávislé složky a lze s ní asociovat duální pseudovektor). $\Omega = \frac{dA}{dt}A^T$ Bez ohledu na zvolenou bázi platí vztah $(\frac{d\vec w}{dt})_{prostor(Hanka)} =(\frac{d\vec w}{dt})_{teleso(kolotoc)} + \vec \Omega \times \vec w $ ### Eulerovy úhly ### ---- Libovolné otočení kolem bodu (těžiště) lze získat 3 po sobě jdoucími otočeními kolem nějaké osy. Zavádíme tzv. Eulerovy úhly. Vezmeme dvě báze: referenční $\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3$ a korotující $\vec x^*_1,\vec x^*_2,\vec x^*_3$. Jejich vzájemná poloha je určena těmito úhly: ***precesní úhel** $\ \phi$ z $<0,2\pi>$ - nula odpovídá ose $\vec x_1$, úhel leží v rovině $\{\vec x_1,\vec x_2\}$, kladná orientace ve směru osy $\vec x_2$; měříme úhel, který svírá osa $\vec x_1$ s přímkou $\vec n$, která vznikne protnutím roviny $\{\vec x_1,\vec x_2 \}$ a roviny $\{\vec x^*_1,\vec x^*_2 \}$ ***nutační úhel** $\ \theta$ z $<0,\pi>$ - nula odpovídá ose $\vec x_3$, kladná orientace směrem k rovině $\{\vec x_1,\vec x_2 \}$, měníme úhel mezi osou $\vec x_3$ a $\vec x^*_3$ ***rotační úhel** $\ \psi$ z $<0,2\pi>$ - nula je v rovině $\{\vec x_1,\vec x_2\}$, kladná orientace směrem k ose $\vec x_3$, měníme úhel mezi přímkou $\vec n$ a osou $\vec x^*_1$. Jedná se tedy o 3 otočení a vzájemná poloha pevné a korotující báze je pak určena součinem matic těchto otočení. ### Eulerovy kinematické rovnice ### ---- Pomocí Eulerových úhlů můžeme vyjádřit vektor úhlové rychlosti, výsledek se nazývá Eulerovy kinetické rovnice. $\Omega_x = \dot \phi \sin\theta \sin\psi + \dot \theta \cos\psi \, ,$ $\Omega_y = \dot \phi \sin\theta \cos\psi - \dot \theta \sin\psi \, ,$ $\Omega_z = \dot \phi \cos\theta + \dot \psi \, .$ ### Tenzor setrvačnosti ### ---- Tenzor setrvačnosti je **symetrický tenzor 2. řádu** (bilineární funkce nezávisí na pořadí vektorů), lze tedy diagonalizovat. Hlavní osy tenzoru setrvačnosti dostaneme, když budeme v bázi vlastních vektorů. #### Přes vektory #### Vyjdeme z celkového momentu hybnosti $\vec L$ tuhého tělesa $\vec L = \sum_{a} \vec r^a \times \vec p^a = \sum_{a} m^a \vec r^a \times \vec v^a$, kde sčítáme přes všechny hmotné body tuhého tělesa. $\vec L = \sum_{a} m^a \vec r^a \times (\vec \Omega \times \vec r^a)$ Zvolme libovolný vektor $\vec \xi$ a udělejme průmět pomocí skalárního součinu $\vec L \cdot \vec \xi = \sum_{a} m^a \vec r^a \times (\vec \Omega \times \vec r^a) \cdot \vec \xi $. Můžeme udělat cyklickou záměnu a dostaneme $\vec L \cdot \vec \xi = \sum_{a} m^a (\vec \xi \times \vec r^a ) \cdot (\vec \Omega \times \vec r^a ) = I (\vec \xi, \vec \Omega) $. #### Přes složky #### Uvažujme těleso s rotační energií $T_{rot}=\frac{1}{2}\sum_{a} m_a \dot{\vec{r}}_a ^2 = \frac{1}{2}\sum_{a} m_a \left( \vec{\Omega} \times \vec{r}_a \right)^2 $. $\qquad \left(\star\right)$ Dále užijeme $\left( \vec \Omega \times \vec r_a \right)^2 = \vec \Omega^2 (\vec r_a)^2 - \left( \vec \Omega \cdot \vec r_a \right)^2$ ... platí, protože třeba $ \sin ^2 = 1 - \cos ^2 $. Rozepíšeme složky vektorů $\vec \Omega = \Omega_i \vec e_i$ a $ (\vec r_a)_i = (\vec r_a)_i \vec e_i.$ Potom je $\left( \vec \Omega \cdot \vec r_a \right)^2 = \Omega_i \Omega_j (r_a)_i (r_a)_j$ a $\vec \Omega^2 (\vec r_a)^2 = \Omega_i \Omega_j \vec e_i \vec e_j \cdot (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \vec e_i \vec e_j = \Omega_i \Omega_j \delta_{ij} \cdot \left(\vec r_a \right)^2$. Tedy dohromady je $\left( \vec \Omega \times \vec r_a \right)^2 = \left\[ (\vec r_a)^2 \delta_{ij} - (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \right]\Omega_i \Omega_j$. *Tenzorem setrvačnosti* nazvěme člen z $\left(\star\right)$ $I_{ij} = \sum_a m_a \left\[ (\vec r_a)^2 \delta_{ij} - (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \right]$. $\qquad\left(\heartsuit\right)$ tak abychom kinetickou energii získali jako $T_{rot}=\frac{1}{2} I_{ij}\Omega_i \Omega_j $. ...Tak jest pro diskrétní body. Pro masiv přepíšeme $\left(\heartsuit\right)$ do řeči integrálů intuitivně $I_{ij} = \iiint \mathrm{d} \vec r \rho(\vec r) \left\[ (\vec r)^2 \delta_{ij} - r_i r_j \right]$. ### Eulerovy dynamické rovnice ### ---- Vyjdeme z 2. věty impulsové (referenční báze): ::$\left(\frac{d\vec L}{dt}\right)_{\rm Hanka} = \left(\vec M \right)_{\rm Hanka}.$ Pak zvolíme korotující bázi hlavních os tenzoru setrvačnosti ::$\left(\frac{d\vec L}{dt}\right)_{\rm kolotoc} + \vec \Omega \times \vec L = \vec M$ a dostaneme **Eulerovy dynamické rovnice**: ::$I_1 \dot \Omega_x - (I_2 - I_3) \Omega_y \Omega_z = M_x \, ,$ ::$I_2 \dot \Omega_y - (I_3 - I_1) \Omega_z \Omega_x = M_y \, ,$ ::$I_3 \dot \Omega_z - (I_1 - I_2) \Omega_x \Omega_y = M_z \, .$ Zde jsme použili vztah pro moment hybnosti $ L_i = I_{ij} \Omega_j $ v korotující bázi. ### Setrvačníky ### ---- Tuhé těleso, které má pevný bod, nazýváme **setrvačníkem**. Pokud má těleso navíc osu souměrnosti rozložení hmotnosti (se kterou ztotožňujeme osu $\vec e^*_3$), platí navíc $I_1^{}= I_2$ a setrvačník je **symetrický**. Pokud vyšetřujeme pohyb **bezmomentového symetrického setrvačníku**, můžeme řešit Eulerovy dynamické rovnice s momenty sil rovnými nule a s podmínkou $I_1^{} = I_2$. Dostaneme $\psi = \frac{K}{sin\theta_0} t + \psi_0$ $\ \theta = \theta_0$ $\ \phi = \Omega_0 t + \delta$ Osa souměrnosti setrvačníku se otáčí úhlovou rychlostí $\dot \psi = \frac{K}{sin\theta_0}$ kolem konstantního směru momentu hybnosti $\vec L$. Tento kužel pevný v prostoru, jehož osu tvoří vektor momentu hybnosti $\vec L$ a povrch osa symetrie setrvačníku, nazýváme **notačním kuželem**. Při pohybu osy souměrnosti setrvačníku po notačním kuželi hovoříme o **precesi**. Při změně Eulerova úhlu $\theta$ hovoříme o **nutaci**. Na druhou stranu, chceme-li popsat pohyb **těžkého symetrického setrvačníku** (tj. tuhého tělesa otáčejícího se v tíhovém poli Země), je lepší použít Lagrangeovy rovnice 2. druhu. Lagrangián bude mít tvar ( $\vec G$ je tíha tělesa, $\vec r_S$ poloha hmotného středu) $\vec L = \frac{1}{2} (I_1 (\Omega_1^2 + \Omega_2^2) + I_3\Omega_3^2) + \vec G \cdot \vec r_S$. Řešení nelze obecně vyjádřit pomocí elementárních funkcí, jen ve tvaru eliptických integrálů. Lze však provést kvalitativní diskusi. Řešení můžeme dobře znázornit, když kolem bodu upevnění setrvačníků opíšeme kulovou plochu a na ní vyznačíme její průsečík s osou souměrnosti. Průsečík se vždy pohybuje po pásu na kulové ploše. Můžeme rozlišit 3 případy v závislosti na $\dot \psi$: *a) $\dot \psi$ > 0 - průsečík tvoří vlnky, *b) $\dot \psi$ = 0 - průsečík tvoří "spojená U" (obrazec mezi vlnkou a smyčkou). *c) $\dot \psi$ < 0 - průsečík tvoří smyčky, [image:Setrvacnik.gif](image:Setrvacnik.gif) [Státní závěrečná zkouška](Státní%20závěrečná%20zkouška) ## Links ## * Poznámky k přednášce doc. Podolského: [Tuhé těleso](http://www.edisk.cz/stahni/77136/TUHETELE.pdf_1.75MB.html)