Title: Matematická Analýza 1 (NMAI054) / Definice
Tags: definitions

Q: Definujte supremum.
A: Pro množinu A definujeme její supremum \(sup(A)\) jako její nejmenší horní mez. Formálně řečeno:
 \[x = sup(A) \iff \forall a \in A : a \leq x \land \forall \epsilon > 0 : \exists b \in A : x - \epsilon \leq b\]

Q: Definujte infimum.
A: Pro množinu A definujeme její infimum \(\inf(A)\) jako její největší dolní mez. Formálně řečeno:
\[x = \inf(A) \iff \forall a \in A : a \geq x \land \forall \epsilon > 0 : \exists b \in A : x + \epsilon \geq b\]

Q: Definujte horní mez.
A: Pro množinu A definujeme horní mez x, pokud \(\forall a \in A : a \leq x\).

Q: Definujte dolní mez.
A: Pro množinu A definujeme spodní mez x, pokud \(\forall a \in A : a \geq x\).

Q: Definujte maximum.
A: Pro množinu A definujeme maximum x, pokud x je horní mez a zároveň je prvkem A.

Q: Definujte minimum.
A: Pro množinu A definujeme minimum x, pokud x je dolní mez a zároveň je prvkem A.

Q: Definujte, kdy mají množiny stejnou mohutnost.
A: Množiny A a B mají stejnou mohutnost, \(|A| = |B|\), pokud existuje bijekce \(A\rightarrow B\).

Q: Definujte, kdy je množina nejvýš tak velká jako druhá množina.
A: Mohutnost množiny A je nejvýš tak velká, jako mohutnost množiny B, \(|A| \leq |B|\), pokud existuje prostá funkce z A do B.

Q: Definujte, kdy je množina spočetná.
A: Množina je spočetná, pokud existuje zobrazení \(X \rightarrow \mathbb{N}\). V opačném případě je nespočetná.

Q: Definujte metrický prostor.
A: Nechť máme množinu M a metriku d. Pak dvojice (M, d) je metrický prostor.

Q: Definujte metriku.
A: Nechť máme množinu M. Funkci \(d: M\times M \rightarrow \mathbb{R}\) nazveme metrikou, splňuje-li:
- \(\forall x,y \in M : d(x,y) \geq 0\)
- \(\forall x,y \in M : d(x,y) = 0 \iff x = y\)
- \(\forall x,y \in M : d(x,y) = d(y,x)\) (symetrie)
- \(\forall x,y,z \in M : d(x,y,z) \leq d(x,y) + d(y,z)\) (trojúhelníková nerovnost)

Q: Definujte posloupnost.
A: Nechť máme množinu M. Posloupnost \(a_n\) s hodnotami z množiny M je zobrazení \(a:\mathbb{N} \rightarrow M\), kde \(a_n = a(n)\). Obvykle značíme \((a_n)_{n=1}^\infty\).

Q: Definujte monotónní posloupnost.
A: Monotónní posloupnost je neklesající nebo nerostoucí.

Q: Definujte podposloupnost.
A: Posloupnost \((b_n)_{n=1}^{\infty}\) je podposloupnost posloupnosti \((a_n)_{n=1}^{\infty}\), pokud existuje roustoucí funkce \(f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}\) taková, že pro každé \(n \in \mathbb{N}\) platí \(b_n = a_{f(n)}\).

Q: Definujte hromadný bod.
A: Pokud pro posloupnost \((a_n)_{n=1}^{\infty}\) existuje podposloupnost \((b_n)_{n=1}^{\infty}\), pro kterou platí \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} b_n = H \in R*\), pak H nazveme hromadným bodem posloupnosti \(a_n\).

Q: Definujte interval.
A: Nechť máme množinu \(I \subseteq \mathbb{R}\). Pokud pro \(\forall x<y<z \in \mathbb{R} : x \in I \land z \in I \implies y \in I \), pak množinu I nazýváme intervalem.

Q: Definujte vnitřní a krajní body intervalu.
A: - Levý krajní bod intervalu I je minimum z I (pokud existuje)
- Pravý krajní bod intervalu I je maximum z I (pokud existuje)
- Vnitřní bod I je bod, který není krajní

Q: Definujte maximum a ostré maximum funkce.
A: Funkce \(f:M\rightarrow \mathbb{R}\) nabývá v bodě \(A\in M\):
- (globálního) maxima, pokud \(\forall x \in M : f(x) \leq f(A)\)
- ostrého (globálního maxima), pokud \(\forall x \in M \setminus {A} : f(x) < f(A)\)

Q: Definujte lokální maximum a ostré lokální maximum.
A: Funkce \(f:M\rightarrow \mathbb{R}\) nabývá v bodě \(A\in M\):
- lokální maximum, pokud \(\exists\epsilon > 0 : \forall x\in U(A, \epsilon) : f(x) \leq f(A)\)
- ostré lokální maximum, pokud \(\exists\epsilon > 0 : \forall x\in P(A, \epsilon) : f(x) < f(A)\)

Q: Definujte derivaci funkce.
A: Derivace funkce f v bodě \(A\in \mathbb{R}\) je \(\lim\limits_{x\rightarrow A} \frac{f(x)-f(A)}{x-A}\). Alternativně \(\lim\limits_{h\rightarrow 0} \frac{f(A+h)-f(A)}{h}\).

Q: Definujte Taylorův polynom.
A: Nechť máme \(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}_0\), funkce f je spojitá v bodě \(A\in \mathbb{R}\) a má reálnou derivaci řádu n v A. Potom Taylorův polynom řádu n funkce f v bodě A je:
\[T^{f,A}_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n \frac{f^{(k)}A}{k!}(x-A)^k\]

Q: Definujte Taylorovu řadu.
A: Nechť f má v bodě \(A\in \mathbb{R}\) vlastní derivace všech řádů. Potom Taylorova řada funkce f v bodě A je:\[T^{f,A} (x) = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}A}{k!} (x-A)^k\]Platí pozorování:\[T^{f,A} (A) = f(A)\]

Q: Definujte Newtonův integrál.
A: Mějmě dáno \(A,B \in \mathbb{R}, A < B\). Řekneme, že funkce \(f: (A,B) \rightarrow \mathbb{R}\) má na intervalu (A,B) Newtonův integrál, když má na daném intervalu primitivní funkci F a ta má vlastní jednostranné limity:
\[F(A+) = \lim\limits_{x\rightarrow A+} F(x), F(B-) = \lim\limits_{x\rightarrow B-} F(x)\]Newtonův integrál pak definujeme jako:
\[\int_A^Bf(x)dx := [F]_B^A = F(B-) - F(A+) = \lim\limits_{x\rightarrow B-} F(x) -\lim\limits_{x\rightarrow A+} F(x)\]

Q: Definujte dělení intervalu.
A: Nechť máme \(A,B\in\mathbb{R}, -\infty < A < B < +\infty\). Pak konečná (k+1)-tice bodů \(D=(A_0, A_1, \dots, A_k)\) z intervalu [A,B] je jeho dělením na k podintervalů. pokud
\[A = A_0 < A_1 < \dots < A_k = B\]

Q: Definujte dolní Riemannovu sumu.
A: Nechť máme funkci \(f:[A,B]\rightarrow\mathbb{R}\) a její dělení D. Potom dolní Riemmanova suma je
\[s(f,D) = \sum\limits_{i=0}^{k-1} |I_i|m_i\]
kde \(m_i = \inf\{f(x); x \in I_i\}\) (infimum funkčních hodnot na daném podintervalu)

Q: Definujte horní Riemannovu sumu.
A: Nechť máme funkci \(f:[A,B]\rightarrow\mathbb{R}\) a její dělení D. Potom horní Riemmanova suma je
\[S(f,D) = \sum\limits_{i=0}^{k-1} |I_i|M_i\]
kde \(M_i = \sup\{f(x); x \in I_i\}\) (supremum funkčních hodnot na daném podintervalu)

Q: Definujte otevřený interval.
A: Otevřený interval je interval bez levého nebo pravého, případně obou krajních bodů. Značení (A,B] znamená otevřený interval zleva, symetricky zprava.

Q: Definujte primitivní funkci.
A: Nechť máme otevřený interval I a funkci \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\). Potom funkce F je primitivní funkcí k funkci f, pokud \(\forall x\in I: F'(x) = f(x)\).

Q: Definujte horní Riemmanův integrál.
A: Nechť máme funkci \(f:[A,B]\rightarrow\mathbb{R}\). Horní Riemmanův integrál definujeme jako:
\[\overline{\int_A^B} f(x)dx = \inf \{S(f,D); D \text{ je dělení } [A,B]\}\]

Q: Definujte dolní Riemannův integrál.
A: Nechť máme funkci \(f:[A,B]\rightarrow\mathbb{R}\). Dolní Riemannův integrál je definován jako:
\[\underline{\int_A^B} f(x)dx = \sup \{s(f,D); D \text{ je dělení }[A,B]\}\]

Q: Definujte Riemmanův integrál.
A: Nechť máme funkci \(f:[A,B]\rightarrow\mathbb{R}\). Potom řekneme, že funkce je na intervalu Riemmanovsky integrovatelná, pokud jsou oba Riemmanovské integrály reálné a platí:
\[\overline{\int_A^B} f(x)dx = \underline{\int_A^B} f(x)dx\]

Q: Definujte zjemnění intervalu.
A: Nechť máme interval \(I = [A,B] \subseteq \mathbb{R}, A < B\). Dále máme jeho dvě dělení\(D=(A_0 < \dots < A_n) \land D'=(B_0 < \dots < B_n)\). Řekneme, že D' zjemňuje D, pokud platí D\(D \subseteq D'\).