Title: Matematická Analýza 1 (NMAI054) / Tvrzení, lemma, věty
Tags: theorems integrals derivatives

Q: Vyslovte větu o spočetnosti reálných čísel.
A: Množina reálných čísel je nespočetná.

Q: Vyslovte větu o jednoznačnosti limit posloupností.
A: Každá posloupnost reálných čísel má nejvýše jednu limitu (vlastní či nevlastní).

Q: Vyslovte větu o limitě monotónních posloupností.
A: Každá monotónní posloupnost \(a_n \subseteq R\) má v R* limitu.

Q: Vyslovte větu o aritmetice limit.
A: Nechť \(a_n, b_n\) jsou posloupnosti reálných čísel s \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n = K \in R*, \lim\limits_{n\rightarrow \infty} b_n = L \in R*\). Pak (dávají-li pravé strany smysl):
- \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_n + b_n = K + L\)
- \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} a_nb_n = K\cdot L\)
- \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{K}{L}, \forall n \in \mathbb{N} : b_n \neq 0\)

Q: Vyslovte Bolzanovu větu o omezených posloupnostech.
A: Každá omezená reálná posloupnost má konvergentní podposloupnost.

Q: Vyslovte větu o limitě složených funkcí.
A: Nechť máme \(M,N\in \mathbb{R}, A,B,C\in \mathbb{R}*,f:M\rightarrow N, \lim\limits_{x\rightarrow A} f(x) = B, \lim\limits_{x\rightarrow B} g(x) = C\). Pak platí \(\lim\limits_{x\rightarrow A} g(f(x)) = C\), pokud je splněna alespoň jedna z následujících podmínek:
- g je spojitá v B
- \(\exists\delta > 0 : B \notin f(P(A,\delta))\) (jinak řečeno, funkce f nezobrazí žádnou z hodnot v okolí A na hodnotu B)

Q: Vyslovte Bolzanovu větu o existenci bodu v intervalu.
A: Nechť máme netriviální interval \(I = [A,B], f: I \rightarrow \mathbb{R}\), která je spojitá na svém definičním oboru. Nechť \(f(A) < 0 < f(B)\). Potom existuje takový bod C náležící intervalu C, ve kterém je funkční hodnota 0, jinými slovy \(\exists C \in I : f(C) = 0\).

Q: Vyslovte větu o nabývání extrémů.
A: Nechť \(I = [A,B]\) je netriviální kompaktní interval, \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\) je spojitá na I. Potom f nabývá na I maxima i minima.

Vyslovte větu o derivaci inverzní funkce.

Q: Vyslovte větu o spojitosti derivace v krajním bodě.
A: Nechť \(f: [A,B) \rightarrow \mathbb{R}\) je spojitá na tomto intervalu, diferencovatelná na \((A,B)\), nechť \(\lim\limits_{x\rightarrow A^+} f'(x) = L \in \mathbb{R}*\). Potom \(f'_+(A) = L\).

Q: Vyslovte tvrzení o lokálních extrémech funkce a její derivaci.
A: Nechť \(f:M\rightarrow \mathbb{R}\) má v bodě \(A\in M\) lokální extrém. Potom \(f'(A) = 0 \) nebo neexistuje.

Q: Vyslovte Rolleovu větu.
A: Nechť máme interval \(I = [A,B] \subseteq \mathbb{R}, A < B, f:[A,B]\rightarrow \mathbb{R}\). Nechť f je na celém definičním oboru spojitá a diferencovatelná na otevřeném \(D_f\). Nechť platí \(f(A) = f(B)\). Potom \(\exists C \in (A,B) : f'(C) = 0\).

Q: Vyslovte Lagrangeovu větu o střední hodnotě.
A: Nechť máme interval \(I = [A,B] \subseteq \mathbb{R}, A < B, f:[A,B]\rightarrow \mathbb{R}\). Nechť f je na definičním oboru spojitá a diferencovatelná na otevřeném \(D_f\). Potom \(\exists C \in (A,B) : f'(C) = \frac{f(B)-f(A)}{B-A}\).

Q: Vyslovte tvrzení o jednoznačnosti primitivních funkcí.
A: Nechť máme otevřený interval I a primitivní funkci F(x) k funkci f(x). Potom
- \(\forall c\in \mathbb{R} : F(x) + c\) je také primitivní funkce k funkci f
- pokud G(x) je také primitivní funkcí k f(x), pak \(\exists c \in \mathbb{R} : F(X) - G(X) = c\) (libovolná primitivní funkce se od libovolné jiné primitivní funkce liší pouze konstantou)

Q: Vyslovte tvrzení o linearitě primitivních funkcí.
A: Nechť máme otevřený interval I, pro který platí \(\int f(x)dx = F(x) + c, \int g(x)dx = G(x) + c\), tak \(\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R} : \int\alpha f(x) + \beta g(x) fx = \alpha F(x) + \beta G(x) + c\).

Q: Vyslovte tvrzení o rovnosti dvou typů integrálů.
A: Pokud na intervalu [A,B] existuje Newtonův i Riemmanův intergrál, pak se rovnají. (Konvence je pak taková, že při značení integrálu se nespecifikuje, o který integrál se jedná.)

Q: Vyslovte tvrzení o nerovnostech částečných součtů monotónních funkcí a určitého integrálu.
A: Nechť máme \(n\in N, f: [1,n] \rightarrow \mathbb{R}\). Potom:
- pokud je f neklesající na [1,n], tak \(f(1) + f(2) + \dots + f(n-1) \leq \int_A^Bf(x)dx\leq f(2)+f(2)+\dots+f(n)\)
- pokud je f nerostoucí na [1,n], tak \(f(1) + f(2) + \dots + f(n-1) \geq \int_A^Bf(x)dx\geq f(2)+f(2)+\dots+f(n)\)

Q: Vyslovte větu o integrálním kritérium konvergence.
A: Nechť máme funkci \(f:[1, +\infty) \rightarrow [0,+\infty)\), která je nerostoucí. Potom nekonečný součet této funkce - \(\sum\limits_{k=1}^\infty f(k)\) - konverguje právě tehdy, když \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} (\int_1^n f(x)dx) < +\infty\) (jinak řečeno má vlastní limitu).

Q: Vyslovte tvrzení o kritériu Riemmanovské integrovatelnosti.
A: Nechť máme interval \(I = [A,B], A < B, f:I\rightarrow {R}\). Potom \(f\in R[A,B] \iff \forall e > 0 : \exists D : S(f,D) - s(f,D) < \epsilon \).

Q: Vyslovte tvrzení o existenci Riemmanovského integrálu vzhledem k omezenosti funkce.
A: Pokud \(f:[A,B] \rightarrow \mathbb{R}\) není na definičním oboru shora omezená, tak \(\forall D : S(f,D) = +\infty \implies f\notin R[A,B]\). Symetricky, pokud není zdola omezena, pak \(\forall D : S(f,D) = -\infty\).

Q: Vyslovte tvrzení o vzájemné velikosti Riemmanovských sum vzhledem k dělení a jeho zjemnění.
A: Nechť máme dělení intervalu D a jeho zjemnění D'. Pak platí \(s(f,D) \leq s(f,D') \leq S(f,D') \leq S(f,D)\)

Q: Vyslovte tvrzení o velikosti Riemmanovských sum vzhledem ke dvoum různým dělením.
A: Nechť máme dvě dělení intervalu \(D_1, D_2\). Pak platí \(s(f,D_1) \leq S(f,D_2)\).

Q: Vyslovte tvrzení o rozdělení Riemmanovského integrálu na součet podintervalů.
A: Nechť máme \(I = [A,C], A < C \in \mathbb{R}, f:[A,C] \rightarrow \mathbb{R}\). Pak \(\forall B \in (A,C) : f\in R[A,C] \iff f\in[A,B] \land f[B,C]\) a zároveň  \((R) \int_A^C f(x) dx = (R)\int_A^B f(x)dx + (R) \int_B^C f(x)dx\).

Q: Vyslovte tvrzení o Riemmanovské integrovatelnosti monotónních funkcí.
A: Nechť máme interval \(I = [A,B], A < B, f:[A,B] \rightarrow \mathbb{R}\). Pokud je f na definičním oboru monotónní, pak je Riemmanovsky integrovatelná.

Q: Vyslovte tvrzení o Riemmanovské integrovatelnosti spojitých funkcí.
A: Nechť máme interval \(I = [A,B], A < B, f:[A,B] \rightarrow \mathbb{R}\). Pokud je f na definičním oboru spojitá, pak je Riemmanovsky integrovatelná.

Q: Vyslovte první základní větu analýzy
A: Nechť máme interval \(I = [A,B] \subseteq \mathbb{R}, A < B, f: I \rightarrow \mathbb{R}, f \in R[A,B]\). Definujme \(F(x) := (R) \int_A^B f(x) dx\). Potom F je na definičním oboru spojitá a pokud pro \(\forall C \in I\) platí, že f je spojitá v C, pak \(F'(C) = f(C)\). Speciálně, pokud f je spojitá na [A,B], tak F je primitivní funkce k f a navíc \((N)\int_A^B f(x) dx = [F]_A^B = F(B) - F(A) = (R)\int_A^B f(x)dx\).

Q: Vyslovte druhou základní větu analýzy.
A: Nechť máme interval  \(I = [A,B] \subseteq \mathbb{R}, A < B, f: I \rightarrow \mathbb{R}, f \in N[A,B]\). Potom \((R)\underline{\int_A^B f(x)dx} \leq (N)\int_A^B f(x)dx \leq (R)\overline{\int_A^B f(x)dx}\). Speciálně, pokud \(f\in R[A,B] \cap N[(A,B) \implies (R)\int_A^B f(x)dx = (N)\int_A^B f(x)dx\).

Q: Vyslovte větu o nutné podmínce, kdy má funkce primitivní funkci.
A: Nechť f má primitivní funkci na otevřeném intervalu I. Pokud v některém bodě \(A\in I\) má funkce f aspoň jednostrannou limitu \(\lim\limits_{x\rightarrow A+} f(x) = L\), tak \(f(A) = L\).

Q: Vyslovte větu o existenci primitivních funkcí spojitých funkcí.
A: Nechť máme otevřený interval I a funkci \(f:I\rightarrow \mathbb{R}\). Je-li funkce f na celém svém definičním oboru spojitá, pak má na I primitivní funkci.

Q: Vyslovte pozorování o spojitosti primitivních funkcí.
A: Nechť máme otevřený interval I, funkci \(f: I \rightarrow \mathbb{R}\). Je-li F primitivní funkcí k funkci f na celém intervalu I, pak je na celém tomto intervalu spojitá.