Title: Matfyz / Lineární algebra 1 / Kvízy

Q: Regulární, singulární a inverzní matice:
Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Množina řešení soustavy \(Ax=0\) se singulární čtvercovou \(A\) je
a) \(\varnothing\)   b) \(\{0\}\)   c) neprázdná konečná   d) nekonečná
2. Pravda nebo lež?
Pro \(A\neq I\) neexistuje matice \(B\neq A\), aby platilo \(AB=BA\).
3. Která z následujících pravidel platí, mají-li výrazy smysl?
a) \((tA)^{-1}=tA^{-1}\) pro \(t\neq0\)   b) \((A^\top B^\top)^{-1}=(A^{-1}B^{-1})^\top\)
c) \(((A^{-1})^\top)^{-1}=A^\top\)   d) \(A+I=(A^2-I)(A-I)^{-1}\)
4. Je-li \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) obdélníková, pak rovnice \(AX=I_m\):
a) nemá nikdy řešení
b) může, ale nemusí mít řešení, jen je-li \(m<n\)
c) má řešení, kdykoli je \(m<n\)
d) může, ale nemusí mít řešení, jen je-li \(m>n\)
e) má řešení, kdykoli je \(m>n\)
A: 1. d
2. lež
3. b, c, d
4. b
1. Čtvercová singulární matice má menší hodnost než je počet jejích sloupců, čili má alespoň jednu volnou proměnnou a ta může nabývat nekonečně mnoha různých hodnot.
2. Pro čtvercovou \(A\) je možné zvolit \(B=I\) stejného řádu jako \(A\).
3. a) spávně má být \((tA)^{-1}=\tfrac{1}{t}A^{-1}\)
b) vyplývá z pravidel o inverzi a transpozici součinu: \((A^\top B^\top)^{-1}=(B^\top)^{-1}(A^\top)^{-1}=(B^{-1})^\top(A^{-1})^\top=(A^{-1}B^{-1})^\top\)
c) invertováním obou stran dostaneme \((A^{-1})^\top=(A^\top)^{-1}\)
d) součinem s \(A-I\) zprava \((A+I)(A-I)=A^2-AI+IA-I^2\)
4. Platí, že \(\operatorname{rank}(AX) \leq \operatorname{rank}A \leq \operatorname{min}\{m,n\}\), a má-li dosahovat \(m=\operatorname{rank}I_m\), je nutně \(m<n\). Ani nyní nemusí mít soustava řešení, např. když \(\operatorname{rank}A<m\), mj. pro nulovou matici

Q: Vektorové prostory, vlastnosti:
Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Kolik vektorů má prostor čtvercových matic řádu 3 nad \(\mathbb{Z}_2\)?
a) 8   b) 9   c) 12   d) 18   e) 81   f) 512   g) víc než 1 000
2. Nulový vektor \(0_n\)
a) je shodný pro všechny aritmetické vektorové prostory,
b) je shodný pro všechny aritmetické vektorové prostory obsahující vektory délky \(n\),
c) může mít různý obsah v různých aritmetických vektorových prostorech obsahujících vektory délky \(n\).
3. Pravda nebo lež?
Každý vektorový prostor nad konečným tělesem má konečně mnoho vektorů.
4. Jsou-li charakteristické funkce \(\chi_A\) a \(\chi_B\) množin \(A\) a \(B\) dané následující tabulkou, potom řádek pro \(\chi_A+\chi_B\) má vpravo:
a) 0 0 0   b) 1 0 0   c) 1 1 0   d) 1 2 0   e) 1 2 3   f) 1 1 1
A: 1. f
2. c
3. lež
4. b
1. Matice mají 9 prvků, každý je buď 0 nebo 1, Existuje \(2^9\) různých matic, každá je vektorem v uvedeném prostoru \(\mathbb{Z}^{3\times3}_2\).
2. Různá tělesa \(S\) a \(T\) mohou mít různé nulové prvky: \(0_S\neq0_T\). Např. nulový prvek tělesa \(S=\mathbb{R}\) je reálné číslo, ale nulový prvek tělesa racionálních funkcí \(T=\mathbb{R}(x)\) je konstantní nulová funkce.
Proto se obsahem liší nulové vektory \((0_S, \ldots, 0_S)\in S^n\) a \((0_T,\ldots,0_T)\in T^n\), i když mají stejnou délku \(n\).
3. Např. systém všech podmnožin množiny přirozených čísel \(\mathbb{N}\) je nekonečný vektorový prostor nad konečným tělesem \(\mathbb{Z}_2\).
4. Obor hodnot každé charakteristické funkce \(\chi\) je \(\mathbb{Z}_2\). Charakteristické funkce proto sčítáme po složkách nad \(\mathbb{Z}_2\).

Q: Prostory určené maticí a jejich dimenze:
Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Má-li matice \(A\) jen tři řádky a ty jsou různé, potom \(\operatorname{rank}(A^\top)\) může nabývat hodnoty
a) 0   b) 1   c) 2   d) 3   e) 4   f) 100
2. Je-li součin \(BA\) definován, pak vždy
a) prostor \(S_{BA}\) se shoduje s prostorem \(S_A\)
b) \(S_{BA}\) je podprostorem \(S_A\)
c) \(S_{BA}\) nemusí být podprostorem \(S_A\), ale oba jsou podprostorem společného aritmetického prostoru
d) \(S_{BA}\) a \(S_A\) nemusejí být podprostorem téhož prostoru.
3. Soustavy rovnic s maticemi \(A\) a \(A^\top\) mají stejný počet:
a) bázických proměnných   b) volných proměnných
c) volných v \(Ax=b\) je stejně jako bázických v \(A^\top y=c\)
4. Pokud \(A=BC\), kde \(C\) je regulární, potom:
a) \(R_a=R_b\)   b) \(S_A = S_B\)   c) \(\operatorname{ker}(A)=\operatorname{ker}(B)\)
d) ani jedna z uvedených rovností neplatí
A: 1. b, c, d
2. d
3. a
4. b
1. Matice \(A\) obsahuje alespoň jeden nenulový řádek, a proto má hodnost alespoň 1 a nejvýše 3. Transpozice hodnost nezmění.
2. Pokud \(A\in T^{m\times n}\) a \(B\in T^{p\times m}\). Matice mohou mít různě dlouhé sloupce: \(S_A\subseteq T^m\) a \(S_{BA}\subseteq T^p\).
3. Matice mají shodnou hodnost a ta odpovídá počtu bázických proměnných. Je-li \(A\in T^{m\times n}\) ryze obdélníková, pak se počty volných proměnných liší: \(n-\operatorname{rank}(A)\neq m-\operatorname{rank}(A^\top)\).
4. Součiny s regulární maticí zprava odpovídají sloupcovým úpravám a zachovávají sloupcový prostor a nikoli řádkový. Ani jádro není zachováno, např.: \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)