Title: Matfyz / Lineární algebra 1 / Definiční

Q: Definujte rozšířenou matici soustavy.
A: Matice \(A\) je matice soustavy,
vektor \(b\) je vektor pravých stran,
matice \((A|b) \in \mathbb{R}^{m\times(n+1)}\) je rozšířená matice soustavy.

Q: Definujte elementární řádkové operace.
A: \(A\sim A'\) píšeme, pokud lze \(A'\) získat z \(A\) jakoukoliv z následujících elementárních ekvivalentních řádkových úprav:
1. Vynásobení \(i\)-tého řádku nenulovým \(t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\),
formálně: \(a'_{kl}=\begin{cases} a_{kl} & \text{pro } k \neq i\\ ta_{il} & \text{pro } k = i \end{cases}\)
2. Přičtení \(j\)-tého řádku k \(i\)-tému řádku,
formálně: \(a'_{kl}=\begin{cases} a_{kl} & \text{pro } k \neq i\\ a_{il} + a_{jl} & \text{pro } k = i \end{cases}\)
Z výše uvedených dvou lze odvodit následující dvě:
1. Přičtení \(j\)-tého řádku vynásobeného \(j\in\mathbb{R}\) k \(i\)-tému řádku.
2. Záměna dvou řádků
\[\begin{pmatrix} \vdots \\ u_i \\ \vdots \\ u_j \\ \vdots \end{pmatrix} \begin{matrix} \phantom{\vdots}\\ + r_j \\ \phantom{\vdots}\\ \\ \phantom{\vdots} \end{matrix} \sim \begin{pmatrix} \vdots \\ u_i + u_j \\ \vdots \\ u_j \\ \vdots \end{pmatrix} \begin{matrix} \phantom{\vdots}\\ \\ \phantom{\vdots}\\ -r_i\\ \phantom{\vdots} \end{matrix} \sim \begin{pmatrix} \vdots \\ u_i + u_j \\ \vdots \\ -u_i \\ \vdots \end{pmatrix} \begin{matrix} \phantom{\vdots}\\ +r_j\\ \phantom{\vdots}\\ \\ \phantom{\vdots} \end{matrix}\]\[\begin{pmatrix} \vdots \\ u_j \\ \vdots \\ -u_i \\ \vdots \end{pmatrix} \begin{matrix} \phantom{\vdots}\\ \\ \phantom{\vdots}\\ \cdot(-1)\\ \phantom{\vdots} \end{matrix} \sim \begin{pmatrix} \vdots \\ u_j \\ \vdots \\ u_i \\ \vdots \end{pmatrix}\]

Q: Definujte odstupňovaný tvar matice.
A: Matice \(A\) je v řádkově odstupňovaném tvaru (REF z row echelon form), pokud jsou nenulové řádky seřazeny podle počtu počátečních nul a nulové řádky jsou pod nenulovými.
Označme \(j(i):=\text{min}\{j:a_{ij}\neq0\}\).
Matice \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) je v REF, když \(\exists r\in\{1,\ldots,m\}\):
- \(j(1) < j(2) < \ldots < j(r)\),
- \(\forall i>r,\forall j:a_{ij}=0\)
První nenulový prvek \(a_{i,j(i)}\) v \(i\)-tém řádku se nazývá pivot.

Napište pseudokód pro Gaussovu eliminaci.

Q: Definujte pivot a to slovně i formálně.
A: Pivot je první nenulový prvek v řádku matice. \(j(i):=\text{min}\{j:a_{ij}\neq 0\}\), \(a_{i,j(i))}\) v \(i\)-tém řádku je pivot.

Q: Definujte volné a bazické proměnné.
A: Pro soustavu \(A'x=b'\) s \(A'\) v REF jsou proměnné odpovídající sloupcům s pivoty bázické, ostatní jsou volné.

Q: Definujte hodnost matice.
A: Hodnost matice \(A\), značená jako \(\text{rank}(A)\) je počet pivotů v libovolné \(A'\) v REF takové, že \(A\sim\sim A'\).

Q: Definujte jednotkovou matici.
A: Pro \(n\in\mathbb{N}\) je jednotková matice \(I_n\in\mathbb{R}^{n\times n}\) definována vztahy \((I_n)_{ij} = 1\), právě když \(i = j\); a jinak \((I_n)_{ij} = 0\)

Q: Definujte transponovanou matici.
A: Transponovaná matice k matici \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) je matice \(A^\top\in\mathbb{R}^{n\times m}\) splňující \((A^\top)_{ij} = a_{ji}\)

Q: Definujte symetrickou matici.
A: Čtvercová \(A\) je symetrická, pokud \(A^\top = A\), tj. \((A^\top)_{ij} = a_{ji} = a_{ij}\)

Q: Definujte maticový součin.
A: Pro \(A\in\mathbb{R}^{m\times n}\) a \(B\in\mathbb{R}^{n\times p}\) je součin \((AB)\in\mathbb{R}^{m\times p}\) definován
\[(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj}\]

Q: Definujte inverzní matici.
A: Pokud pro \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) existuje \(B\in\mathbb{R}^{n\times n}\) taková, že \(AB=I_n\), pak se \(B\) nazývá inverzní matice a značí se \(A^{-1}\).

Q: Definujte regulární matici.
A: Matice \(A\) je regulární \(\Leftrightarrow \exists B\in\mathbb{R}^{n\times n}: AB=I_n\)

Q: Definujte singulární matici.
A: Matice \(A\) je singulární \(\Leftrightarrow \nexists B\in\mathbb{R}^{n\times n}: AB=I_n\)

Q: Definujte binární operaci.
A: Binární operace na množině \(X\) je zobrazení \(X \times X \to X\)

Q: Definujte komutativní a asociativní binární operace.
A: Komutativita: \(\forall a,b\in G: a\circ b=b\circ a\)
Asociativita: \(\forall a,b,c\in G: (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\)

Q: Definujte neutrální prvek v množině s binární operací.
A: Pro neutrální prvek \(e\) platí: \(\exists e\in G\ \forall a\in G: a\circ e=e\circ a=a\)
Neutrální prvek je jednoznačne určen: Pokud by \(e\) a \(e'\) byly oba neutrální, pak \(e = e\circ e' = e'\).

Q: Definujte inverzní prvek v množině s binární operací.
A: Pro inverzní prvek \(a\) platí: \(\forall a\in G\ \exists b\in G: a\circ b = b \circ a = e\)
Každé \(a\) jednoznačně určuje svůj inverzní prvek \(a^{-1}\). Pokud by \(b\) a \(b'\) byly oba inverzní k \(a\), pak \(b=b\circ e=b\circ(a\circ b')=(b\circ a)\circ b'=e\circ b'=b'\).

Q: Definujte grupu.
A: Grupa \((G, \circ)\) je množina \(G\) spolu s binární operací \(\circ\) na \(G\) splňující následující axiomy:
- \(\forall a,b,c\in G: (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)\) ... operace \(\circ\) je asociativní
- \(\exists e\in G\ \forall a\in G: a\circ e=e\circ a=a\) ... \(e\) se nazývá neutrální prvek
- \(\forall a\in G\ \exists b\in G: a\circ b = b \circ a = e\) ... \(b\) se nazývá inverzní prvek k prvku a, značíme jej \(a^{-1}\)

Q: Definujte Abelovskou grupu.
A: Abelovská grupa je grupa \((G, \circ)\), jejíž operátor \(\circ\) je navíc komutativní, tj.
- \(\forall a,b\in G:a\circ b=b\circ a\)

Q: Definujte permutaci.
A: Permutace na množině \(\{1, 2, \ldots, n\}\) je bijektivní zobrazení \(p: \{1, 2, \ldots, n\} \to \{1, 2, \ldots, n\}\).
Zapisujeme ji pomocí tabulky, zkráceně například \((1, 3, 2)\), pomocí bipartitního grafu, podle grafu jeho cyklů, jejich seznamem, nebo pomocí tzv. permutační matice \(P\).

Q: Definujte symetrickou grupu a určete její neutrální a inverzní prvky.
A: Množina \(S_n\) všech permutací na \(n\) prvcích s operací skládání \(\circ\) tvoří symetrickou grupu \((S_n, \circ)\).
identita \(\text{id}\in S_n\) daná \(\forall i: \text{id}(i)=i\), je neutrální prvek
Inverzní permutace se získá obrácením šipky: \(p(i)=j\Leftrightarrow p^{-1}(j)=i\).

Q: Definujte transpozici.
A: Transpozice v permutaci má pouze jeden netriviální cyklus o délce 2.
Cyklus \((1, \ldots, k)\) lze rozložit např. podle: \((1, 2, \ldots, k)=(1,k)\circ(1, 2, \ldots, k - 1)=(1,k)\circ(1,k-1)\circ\ldots\circ(1,2)\)

Q: Definujte inverzi v permutaci.
A: Inverze v \(p\) je dvojice \((i, j): i < j\) a \(p(i)>p(j)\).

Q: Definujte znaménko permutace.
A: Znaménko permutace \(p\) je \(\operatorname{sgn}(p)=(-1)^{\text{#inverzí $p$}}\)
Každá transpozice \((i, j)\) má záporné znaménko.
Pro libovolné \(p, q\in S_n: \operatorname{sgn}(q\circ p)=\operatorname{sgn}(p)\operatorname{sgn}(q)\).
Důsledky:
- \(\operatorname{sgn}(p^{-1})=\operatorname{sgn}(p)\)
... neboť \(\operatorname{sgn}(p)\operatorname{sgn}(p^{-1}) = \operatorname{sgn}(p^{-1}\circ p)=\operatorname{sgn}(\text{id})=1\)
- \(\operatorname{sgn}(p)=(-1)^{\text{#transpozic libovolného rozkldu $p$ na transpozice}}\)
- \(\operatorname{sgn}(p)=(-1)^{\text{#sudých cyklů $p$}}\)
... sudé cykly se rozloží na lichý počet transpozic.

Q: Definujte permutační matici.
A: permutační matice \(P\), kde \((P)_{ij}=\begin{cases} 1 & \text{když } p(i)=j \\ 0 & \text{jinak} \end{cases}\)
Pro matice \(A\) a \(P\) odpovídajících řádů, \(PA\) zamíchá řádky \(A\) podle p, zatímco \(AP\) mění pořadí sloupců:
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 4 & 6 & 5 \\ 7 & 9 & 8 \end{pmatrix}\]

Q: Definujte těleso.
A: Těleso je množina \(T\) spolu se dvěma komutativními binárními operacemi \(+\) a \(\cdot\), kde \(\color{green}(T, +)\) a \(\color{orange}(T\setminus0,\cdot)\) jsou (Abelovské) grupy a navíc \(\forall a, b, c\in T: a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\).
1. \(\color{green}\forall a,b\in T: a + b = b + a\)
2. \(\color{green}\forall a, b, c\in T:(a+b)+c=a+(b+c)\)
3. \(\color{green}\exists0\in T\ \forall a\in T: a + 0 = a\)
4. \(\color{green}\forall a\in T\ \exists -a\in T: a + (-a) = 0\)
5. \(\color{orange}\forall a,b\in T: a\cdot b=b\cdot a\)
6. \(\color{orange}\forall a, b, c\in T\setminus 0: (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)\)
7. \(\color{orange}\exists 1\in T\mathbin{\color{red}\setminus} {\color{red}0}\ \forall a\in T\setminus 0: a\cdot 1=a\)
8. \(\color{orange}\forall a\in T\setminus 0\ \exists a^{-1}\in T\setminus 0: a\cdot a^{-1}=1\)
9. \(\forall a, b, c\in T: a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)\)

Q: Definujte charakteristiku tělesa.
A: V tělese \(T\), pokud \(\exists n\in\mathbb{N}: \underbrace{1+1+\ldots+1}_{n\times}=0\), pak nejmenší takové \(n\) je charakteristika tělesa \(T\). Jinak má těleso \(T\) charakteristiku 0, Značí se \(\operatorname{char}(T)\).

Q: Definujte vektorový prostor.
A: Vektorový prostor \(\color{green}(V, +, {\color{red}\cdot})\) nad tělesem \(\color{orange}(T, +, \cdot)\) je množina \(\color{green}V\) spolu s binární operací \(\color{green}+\) na \(\color{green}V\) a binární operací skalárního násobku \({\color{red}\cdot}: {\color{orange}T}\times {\color{green}V}\to {\color{green}V}\), kde:
1. \(\color{green}(V, +)\) je Abelovská grupa
2. \(\forall {\color{orange}a},{\color{orange}b}\in {\color{orange}T}\ \forall {\color{green}v}\in {\color{green}V}: ({\color{orange}a\cdot b})\mathbin{\color{red}\cdot} {\color{green}v}={\color{orange}a}\mathbin{\color{red}\cdot}({\color{orange}b}\cdot {\color{green}v})\)
3. \(\forall {\color{green}v}\in {\color{green}V}: {\color{orange}1} \mathbin{\color{red}\cdot} {\color{green}v} = {\color{green}v}\)
4. \(\forall {\color{orange}a}, {\color{orange}b}\in {\color{orange}T}\ \forall {\color{green}v}\in {\color{green}V}: ({\color{orange}a + b}) \mathbin{\color{red}\cdot} {\color{green}v} = ({\color{orange}a} \mathbin{\color{red}\cdot} {\color{green}v}) \mathbin{\color{green}+} ({\color{orange}b} \mathbin{\color{red}\cdot} {\color{green}v})\)
5. \(\forall {\color{orange}a}\in {\color{orange}T}\ \forall {\color{green}u}, {\color{green}v}\in {\color{green}V}: {\color{orange}a} \mathbin{\color{red}\cdot} ({\color{green}u + v}) = ({\color{orange}a} \mathbin{\color{red}\cdot} {\color{green}u}) \mathbin{\color{green}+} ({\color{orange}a} \mathbin{\color{red}\cdot} {\color{green}v})\)

Q: Definujte podprostor vektorového prostoru.
A: Nechť \(V\) je vektorový prostor nad \(T\), potom podprostor \(U\) je neprázdná podmnožina \(V\) splňující:
- \(\forall u,v\in U: u+v\in U\)
- \(\forall v\in U\ \forall t\in T: tv \in U\)

Q: Definujte lineární kombinaci.
A: Lineární kombinace vektorů \(v_1,\ldots,v_k\in V\) nad \(T\) je libovolný vektor \(u=a_1v_1+\ldots+a_kv_k\), kde \(a_1,\ldots,a_k\in T\).

Q: Definujte podprostor generovaný množinou (lineární obal).
A: Podprostor prostoru \(V\) generovaný množinou \(M\) je průnik všech podprostorů \(U\) z \(V\), které obsahují \(M\). Značí se \(\operatorname{span}(M)\).\[\operatorname{span}(M)=\bigcap\left\{U:M\subseteq U, U \text{ je podprostor }V\right\}\]

Q: Definujte řádkový prostor matice a to slovně i formálně pomocí maticového součinu.
A: Řádkový prostor je podprostor \(T^n\) generovaný transpozicemi řádků \(A\).\[R_a=\{v\in T^n:\exists d\in T^m: v=A^\top d\}\]

Q: Definujte sloupcový prostor matice a to slovně i formálně pomocí maticového součinu.
A: Sloupcový prostor je podprostor \(T^m\) generovaný sloupci \(A\).\[S_a=\{Ac:c\in T^n\}=\{u\in T^m:\exists c\in T^n: u=Ac\}\]

Q: Definujte jádro matice.
A: Jádro \(A\) je množina řešení \(Ax=0\), značí se \(\operatorname{ker}A\).
Jádro \(\operatorname{ker}A=\{x\in T^n: Ax=0\}\) je podprostor \(T^n\).

Q: Definujte množinu lineárně nezávislých vektorů.
A: Množina vektorů \(B\) je lineárně nezávislá, právě když pro každou \(n\)-tici vektorů \(v_1,\ldots,v_n\in B\) platí, že \(\sum_{i=1}^na_iv_i=0\) má pouze triviální řešení \(a_1=\ldots=a_n=0\).

Q: Definujte bázi vektorového prostoru.
A: Báze vektorového prostoru \(V\) je lineárně nezávislá množina \(B\), která generuje prostor \(V\).

Q: Definujte dimenzi vektorového prostoru.
A: Dimenze konečně generovaného vektorového prostoru \(V\) je mohutnost kterékoliv z jeho bází. Značí se \(\operatorname{dim}(V)\).

Q: Definujte vektor souřadnic.
A: Nechť \(B=(b_1,\ldots,b_n)\) je uspořádaná báze vektorového prostoru \(V\) nad \(T\). Vektor souřadnic \(v\in V\) vzhledem k bázi \(B\) je \([v]_B=(a_1,\ldots,a_n)^\top\in T^n\), kde \(v=\sum_{i=1}^na_ib_i\).

Q: Definujte lineární zobrazení.
A: Nechť \(U\) a \(\color{red}V\) jsou vektorové prostory nad stejným tělesem \(T\). Zobrazení \(f:U\to \color{red}V\) nazveme lineární, pokud splňuje:
1. \(\forall u,v\in U:f(u+v)=f(u)\mathbin{\color{red}+}f(v)\)
2. \(\forall u\in U\ \forall t\in T: f(t\cdot u)=t\mathbin{\color{red}\cdot}f(u)\)

Q: Definujte afinní prostor a jeho dimenzi.
A: Nechť \(W\) je podprostor vektorového prostoru \(U\) a \(u\in U\). Afinní prostor značený \(u+W\) je množina \(\{u+w: w\in W\}\). Dimenzí afinního prostoru \(u+W\) se rozumí hodnota \(\operatorname{dim}(W)\).

Q: Definujte jádro lineárního zobrazení.
A: Jádro lineárního zobrazení \(f:U\to V\) je \(\operatorname{ker}(f)=\{w\in U:f(w)=0\}\).

Q: Definujte matici lineárního zobrazení.
A: Nechť \(U\) a \(V\) jsou vektorové prostory nad tělesem \(T\) s uspořádanými bázemi \(B=(b_1,\ldots,b_n)\) a \(C=(c_1,\ldots,c_m)\).
Matice lineárního zobrazení \(f:U\to V\) vzhledem k bázím \(B\) a \(C\) je \([f]_{B,C}\in T^{m\times n}\), jejíž sloupce jsou vektory souřadnic obrazů vektorů báze \(B\) vzhledem k bázi \(C\).
Formálně: \([f]_{B,C}=\begin{pmatrix} | & & | \\ [f(b_1)]_C & \ldots & [f(b_n)]_C \\ | & & | \end{pmatrix}\)

Q: Definujte matici přechodu.
A: Nechť \(B\) a \(C\) jsou dvě konečné uspořádané báze vektorového prostoru \(U\). Matice přechodu od \(B\) k \(C\) je \([id]_{B,C}\).

Q: Definujte isomorfismus vektorových prostorů
A: Isomorfismus je bijektivní lineární zobrazení.