Title: Matfyz / Lineární algebra 2 / Důkazové
Tags: no_proof

Q: Vyslovte a dokažte větu o linearitě determinantu (8/10).
A: Determinant matice je lineárně závislý na každém jejím řádku a sloupci, tj. vzhledem ke skalárnímu násobku řádku:
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {\textcolor{red}{t}\cdot a_{i1}} & {\textcolor{red}{t}\cdot a_{i2}} & \ldots & {\textcolor{red}{t}\cdot a_{in}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \textcolor{red}{t} \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix}\]a vzhledem ke sčítání řádků:
\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{red}{b_{i1}} + \textcolor{green}{c_{i1}} & \textcolor{red}{b_{i2}} + \textcolor{green}{c_{i2}} & \ldots & \textcolor{red}{b_{in}} + \textcolor{green}{c_{in}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{red}{b_{i1}} & \textcolor{red}{b_{i2}} & \ldots & \textcolor{red}{b_{in}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \textcolor{green}{c_{i1}} & \textcolor{green}{c_{i2}} & \ldots & \textcolor{green}{c_{in}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix}\]Důkaz pro skalární násobek:
\[\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \begin{multline*} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ {\textcolor{red}{t}\cdot a_{i1}} & {\textcolor{red}{t}\cdot a_{i2}} & \ldots & {\textcolor{red}{t}\cdot a_{in}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{p\in S_n}\sgn p\left(\left(\prod_{i=1}^na_{i,p(i)}\right)\cdot\textcolor{red}{t}\right) = \\ = \textcolor{red}{t}\cdot\sum_{p\in S_n}\sgn p\prod_{i=1}^na_{i,p(i)} = \textcolor{red}{t} \cdot \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{multline*}\]Důkaz pro součet:
Splňují-li matice \(A, B, C: \begin{cases} \textcolor{orange}{a_{ij}} = \textcolor{red}{b_{ij}} \textcolor{orange}{+} \textcolor{green}{c_{ij}} & \text{pro pevné } i\in\mathbb{N}, \forall j, \\ \textcolor{purple}{a_{kj}} = \textcolor{purple}{b_{kj}} = \textcolor{purple}{c_{kj}} & \text{pro } \forall k\neq i\text{ a }\forall j\text{, pak:} \end{cases}\)
\[\begin{align*} &\det A = \sum_{p\in S_n}\sgn(p)\prod_{k=1}^na_{k,p(k)} = \\ &= \sum_{p\in S_n}\sgn(p)a_{1,p(1)}\ldots a_{i-1,p(i-1)} \textcolor{orange}{a_{i,p(i)}} a_{i+1,p(i+1)}\ldots a_{n,p(n)} \\ &= \sum_{p\in S_n}\sgn(p)\textcolor{purple}{a_{1,p(1)}}\ldots \textcolor{purple}{a_{i-1,p(i-1)}} \textcolor{orange}{(} \textcolor{red}{b_{i,p(i)}} \textcolor{orange}{+} \textcolor{green}{c_{i,p(i)}} \textcolor{orange}{)} \textcolor{purple}{a_{i+1,p(i+1)}}\ldots \textcolor{purple}{a_{n,p(n)}} \\ &= \sum_{p\in S_n}\sgn(p)\textcolor{purple}{a_{1,p(1)}}\ldots \textcolor{purple}{a_{i-1,p(i-1)}} \textcolor{red}{b_{i,p(i)}}\phantom{b_{i,p(i)}} \textcolor{purple}{a_{i+1,p(i+1)}}\ldots \textcolor{purple}{a_{n,p(n)}} \\ &\textcolor{orange}{+} \sum_{p\in S_n}\sgn(p)\textcolor{purple}{a_{1,p(1)}}\ldots \textcolor{purple}{a_{i-1,p(i-1)}} \phantom{b_{i,p(i)}}\textcolor{green}{c_{i,p(i)}} \textcolor{purple}{a_{i+1,p(i+1)}}\ldots \textcolor{purple}{a_{n,p(n)}} \\ &= \sum_{p\in S_n}\sgn(p)\prod_{k=1}^nb_{k,p(k)}+\sum_{p\in S_n}\sgn(p)\prod_{k=1}^nc_{k,p(k)}=\det B+\det C \end{align*}\]

Q: Vyslovte a dokažte větu o determinantu součinu dvou matic (6/12).
A: Pro libovolné \(\mathbf{A}, \mathbf{B}\in T^{m\times n}: \det(\mathbf{AB})=\det\mathbf{A}\det\mathbf{B}\).
Bez újmy na obecnosti \(\mathbf{A}\) i \(\mathbf{B}\) jsou regulární, jinak dostaneme \(0=0\).
Součiny s elementárními maticemi zachovávají determinant \(\det(\mathbf{EB})=\det\mathbf{E}\det\mathbf{B}\), protože:
- pro přičtení \(i\)-tého řádku j \(j\)-tému: \(\det\mathbf{E}=1\),
- pro vynásobení \(i\)tého řádku \(t\): \(\det\mathbf{E}=t\).
(Z těchto dvou lze odvodit ostatní operace.)
Rozložíme regulární \(\mathbf{A}\) na elementární matice \(\mathbf{A}=\mathbf{E}_1\ldots\mathbf{E}_k\). \(\det(\mathbf{AB})\) = \(\det(\mathbf{E}_1\ldots\mathbf{E}_k\mathbf{B})\) = \(\det\mathbf{E}_1\det(\mathbf{E}_2\ldots\mathbf{E}_k\mathbf{B})\) = \(\det\mathbf{E}_1\ldots\det\mathbf{E}_k\det\mathbf{B}\) = \(\det(\mathbf{E}_1\ldots\mathbf{E}_k)\det\mathbf{B}\) = \(\det\mathbf{A}\det\mathbf{B}\)

Q: Vyslovte a dokažte větu o Laplaceově rozvoji determinantu (8/10).
A: \(\mathbf{A}^{ij}\) je podmatice získaná z \(\mathbf{A}\) odstraněním \(i\)-tého řádku a \(j\)-tého sloupce.
Pro \(\mathbf{A}\in T^{n\times n}\), kde \(n\geq2\), a každé \(i\in\{1, \ldots, n\}\) platí, že:\[\det\mathbf{A}=\sum_{j=1}^na_{ij}(-1)^{i+j}\det\mathbf{A}^{ij}\]Důkaz: Vyjádříme \(i\)-tý řádek jako lineární kombinaci vektorů kanonické báze (transponované do řádků) a použijeme linearitu: \((a_{i1}, a_{i2}, \ldots, a_{in})=a_{i1}\mathbf{e}_1^\top + a_{i2}\mathbf{e}_2^\top+\ldots+a_{in}\mathbf{e}_n^\top\)\[\begin{vmatrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \end{vmatrix} = a_{i1} \begin{vmatrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \end{vmatrix} + a_{i2} \begin{vmatrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \end{vmatrix} + \ldots + a_{in} \begin{vmatrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \end{vmatrix}\]\(j\)-tý člen:
\[\begin{multline*} \begin{vmatrix} \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \ldots & \ldots & \ldots \\ - & \mathbf{e}_j^\top & - \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \end{vmatrix} \overset{*}{=} (-1)^{i+1} \begin{vmatrix} - & \mathbf{e}_j^\top & - \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \end{vmatrix} \overset{\dagger}{=} \\ \overset{\dagger}{=} (-1)^{i+1+j+1} \begin{vmatrix} - & \mathbf{e}_j^\top & - \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots \\ \end{vmatrix} = (-1)^{i+j} \begin{vmatrix} 1 & 0^\top \\ 0 & \mathbf{A}^{ij} \end{vmatrix} = (-1)^{i+j}\det(\mathbf{A}^{ij}) \end{multline*}\]\(*\) přesuneme \(j\)-tý řádek nahoru, k tomu využijeme pravidlo o přerovnání řádků permutací s cyklem délky \(i\)
\(\dagger\) přesuneme sloupec s jedničkou na první sloupec podobným způsobem jako výše
Pro blokovou matici s 1 v levém horním rohu: Pouze permutace, které mají 1 jako pevný bod můžou přispět do determinantu blokové matice nějakým nenulovým příspěvkem. Ostatní permutace, které si z prvního řádku vyberou jiný člen jsou vynásobené 0 a tudíž ničím jiným nepřispějí.

Q: Vyslovte a dokažte malou Fermatovu větu (6/8).
A: Pro prvočíslo \(p\) a každé \(a\in\{1,\ldots,p-1\}:a^{p-1}\equiv 1\mod p\).
Zobrazení \(f_a:x\to ax\) je v \(\mathbb{Z}_p\) bijekcí na \(\{1,\ldots,p-1\}\):
Protože  \(f_a\) zobrazuje konečnou množinu na sebe samu, pak platí, že je surjektivní, právě když je prosté.
Pokud by pro spor  \(f_a\) nebylo prosté, pak  \(\exists b,c\) bez újmy na obecnosti  \(b>c\) takové, že  \(f_a(b)=f_a(c)\Rightarrow0=f_a(b)-f_a(c)\equiv ab-ac=a(b-c)\mod p\) , což je spor s tím, že  \(p\) je prvočíslo, neboť \(a,b-c\in\{1,\ldots,p-1\}\) .
Proto v \(\mathbb{Z}_p\) platí:\[\prod_{x=1}^{p-1}x=\prod_{x=1}^{p-1}f_a(x)=\prod_{x=1}^{p-1}ax=a^{p-1}\prod_{x=1}^{p-1}x\]a po zkrácení \(\prod_{x=1}^{p-1}x\) dostaneme \(1=a^{p-1}\).

Q: Uveďte a dokažte Cramerovo pravidlo pro řešení soustav přes determinanty (8/10).
A: Nechť \(\mathbf{A}\in T^{n\times n}\) je regulární matice. Pro jakékoli \(\mathbf{b}\in T^n\) řešení \(x\) soustavy \(\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\) splňuje \(x_i=\frac{1}{\det\mathbf{A}}\det\mathbf{A}_{i\to\mathbf{b}}\), kde \(\mathbf{A}_{i\to\mathbf{b}}\) získáme z \(\mathbf{A}\) nahrazením \(i\)-tého sloupce vektorem \(b\).
Ukázka: Řešení soustavy \(\mathbf{Ax}=\mathbf{b}=(7, 4, 9)^\top\) lze získat výpočtem: \(\det\mathbf{A}_{\textcolor{1}{red}\to\mathbf{b}}=\begin{vmatrix} \textcolor{red}{7} & 2 & 5 \\ \textcolor{red}{4} & 3 & 0 \\ \textcolor{red}{9} & 5 & 3 \end{vmatrix}=4\), \(\det\mathbf{A}_{\textcolor{red}{2}\to\mathbf{b}}=\begin{vmatrix} 1 & \textcolor{red}{7} & 5 \\ 2 & \textcolor{red}{4} & 0 \\ 3 & \textcolor{red}{9} & 3 \end{vmatrix}=0\), \(\det\mathbf{A}_{\textcolor{red}{3}\to\mathbf{b}}=\begin{vmatrix} 1 & 2 & \textcolor{red}{7} \\ 2 & 3 & \textcolor{red}{4} \\ 3 & 4 & \textcolor{red}{9} \end{vmatrix}=2\)
Proto \(\mathbf{x}=\frac{1}{\det\mathbf{A}}\begin{pmatrix} \det\mathbf{A}_{1\to\mathbf{b}} \\ \det\mathbf{A}_{2\to\mathbf{b}} \\ \det\mathbf{A}_{3\to\mathbf{b}} \\ \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)
Zkouška: \(\mathbf{Ax} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 9 \end{pmatrix} = \mathbf{b}\)
Důkaz (kratší verze): Využijeme pravidlo pro determinant součinu.
Uvažme matici \(\mathbf{I}_{i\to\mathbf{x}}\) získanou z \(\mathbf{I}_n\) nahrazením \(i\)-tého sloupce vektorem \(x\).
Potom \(\mathbf{A}\cdot\mathbf{I}_{i\to\mathbf{x}}=\mathbf{A}_{i\to\mathbf{b}}\),
tedy \(\det\mathbf{A}\cdot\det\mathbf{I}_{i\to\mathbf{x}}=\det\mathbf{A}_{i\to\mathbf{b}}\),
proto \(x_i=\det\mathbf{I}_{i\to\mathbf{x}}=\frac{1}{\det\mathbf{A}}\det\mathbf{A}_{i\to\mathbf{b}}\)

Q: Vyslovte a dokažte větu o adjungované matici (8/10).
A: Pro regulární matici \(\DeclareMathOperator{\adj}{adj}\mathbf{A}\in T^{n\times n}, n\geq2\colon \mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det\mathbf{A}}\adj\mathbf{A}\)
Ukázka:\[|\mathbf{A}|= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 5 & 3 \end{vmatrix} = 9+50+0-45-0-12=2\]\[\adj\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 9 & 19 & -15 \\ -6 & -12 & 10 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\]\[\mathbf{A}^{-1}=\frac{1}{\det\mathbf{A}}\adj\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 9/2 & 19/2 & -15/2 \\ -3 & -6 & 5 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 \end{pmatrix}\]Zkouška: \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 0 \\ 3 & 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9/2 & 19/2 & -15/2 \\ -3 & -6 & 5 \\ 1/2 & 1/2 & -1/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\)
Důkaz: Laplaceovým rojvojem \(\det\mathbf{A}\):
\(\phantom{\text{pro }j\neq i: }(i\text{-tý řádek z }\mathbf{A})\cdot(i\text{-tý sloupec z }\adj\mathbf{A})=\det\mathbf{A}\)
\(\text{pro }j\neq i\colon (j\text{-tý řádek z }\mathbf{A})\cdot(i\text{-tý sloupec z }\adj\mathbf{A})=\det\mathbf{A}'=0\), kde \(\mathbf{A}'\) se získá z \(\mathbf{A}\) nahrazením \(i\)-tého řádku za \(j\)-tý.
Tedy: \(\mathbf{A}\cdot\adj\mathbf{A}=\det\mathbf{A}\cdot\mathbf{I}\Rightarrow\mathbf{A}\cdot\left(\frac{1}{\det\mathbf{A}}\adj\mathbf{A}\right)=\mathbf{I}\)
Ukázka: Prvek součinu na diagonále pro \(i=2\): \((\mathbf{A}\cdot\adj\mathbf{A})_{22}=\)
\[\textcolor{green}{2}\cdot(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} + \textcolor{green}{3}\cdot(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} + \textcolor{green}{0}\cdot(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ \textcolor{green}{2} & \textcolor{green}{3} & \textcolor{green}{0} \\ 3 & 5 & 3 \end{vmatrix} = |\mathbf{A}|\]Prvek součinu mimo diagonálu pro \(i=2\) a \(j=1\): \((\mathbf{A}\cdot\adj\mathbf{A})_{21}=\)
\[\textcolor{red}{1}\cdot(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} + \textcolor{red}{2}\cdot(-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} + \textcolor{red}{5}\cdot(-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 5 \\ \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{2} & \textcolor{red}{3} \\ 3 & 5 & 3 \end{vmatrix} = 0\]

Q: Vyslovte a dokažte větu o počtu koster grafu (8/14).
A: Každý multigraf \(G\) s \(|V_G|\geq2\) splňuje \(\kappa(G)=\det\mathbf{L}_G^{11}\).
Pro nesouvislé platí: \(0=0\). Jinak indukcí podle \(m=|E_G|\). Má-li \(G\) smyčku \(e\), pak \(\kappa(G)=\kappa(G-e)=\mathbf{L}_{G-e}^{11}=\mathbf{L}_{G}^{11}\).
Základ indukce: souvislý dvouvrcholový \(G\) bez smyček splňuje: \(\kappa(G)=|E_G|=\deg(v_2)=(\mathbf{L}_G)_{22}=\det\mathbf{L}_G^{11}\).
Indukční krok: Zvolme libovolnou \(e\in E_G\), bez újmy na obeconsti \(e=(v_1, v_2)\).
Označme \(\textcolor{red}{\mathbf{A}=\mathbf{L}_G^{11}}\), \(\textcolor{yellow}{\mathbf{B}=\mathbf{L}_{G-e}^{11}}\) a \(\textcolor{green}{\mathbf{C}=\mathbf{L}_{G\circ e}^{11}}\).
\(\mathbf{C}\) je podmatice \(\mathbf{L}_G\) odpovídající \(v_3,\ldots,v_n\), tedy \(\mathbf{C}=\mathbf{A}^{11}=\mathbf{B}^{11}\).
Z indukčního předpokladu \(\kappa(G-e)=\det\mathbf{B}\), \(\kappa(G\circ e)=\det\mathbf{C}\).
Matice \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\) jsou shodné kromě \(b_{11}=a_{11}-1\), protože vypuštěním \(e\) klesne stupeň \(v_2\) o jedna. První sloupec \(\mathbf{A}\) vyjádříme jako součet prvního sloupce \(\mathbf{B}\) a vektoru \(\mathbf{e}_1\) ze standardní báze.
Linearitou \(\det\mathbf{A}\) podél tohoto rozkladu prvního sloupce získáme \(\det\textcolor{red}{\mathbf{A}}=\det\textcolor{yellow}{\mathbf{B}}+\det\textcolor{green}{\mathbf{C}}\). Nyní dokončíme:\[\kappa(G)=\kappa(G-e)+\kappa(G\circ e)=\det\textcolor{yellow}{\mathbf{L}_{G-e}^{11}}+\det\textcolor{green}{\mathbf{L}_{G\circ e}^{11}}=\det\textcolor{red}{\mathbf{L}_{G}^{11}}\]

Q: Vyslovte a dokažte větu o Vandermondově matici (6/10).
A: Vandermondova matice \(\mathbf{V}_{n+1}(x_0, \ldots, x_n)\) je regulární, právě když \(x_0, \ldots, x_n\) jsou navzájem různá.
Odzadu odečteme od každého sloupce \(x_0\)-násobek předchozího (až na první). Poté rozvineme podle prvního řádku a pro každé \(i=1,\ldots,n\) vytkneme z \(i\)-tého řádku \(x_i-x_0\):
\[\begin{multline*} \begin{vmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \ldots & x_0^n \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \ldots & x_1^n \\ 1 & x_2 & x_2^2 & \ldots & x_2^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \ldots & x_n^n \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ 1 & x_1-x_0 & x_1(x_1-x_0) & \ldots & x_1^{n-1}(x_1-x_0) \\ 1 & x_2-x_0 & x_2(x_2-x_0) & \ldots & x_2^{n-1}(x_2-x_0) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n-x_0 & x_n(x_n-x_0) & \ldots & x_n^{n-1}(x_n-x_0) \\ \end{vmatrix} = \\ = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & \ldots & x_1^{n-1} \\ 1 & x_2 & \ldots & x_2^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & \ldots & x_n^{n-1} \\ \end{vmatrix} \end{multline*}\]Získali jsme následující rekurenci, již už lze snadno rozvést: \(\det(\mathbf{V}_{n+1}(x_0,\ldots,x_n))=\det(\mathbf{V}_n(x_1, \ldots, x_n))\prod_{i=1}^n(x_i-x_0)=\prod_{i<j}(x_j-x_i)\)

Q: Uveďte a dokažte správnost Lagrangeovy interpolace (8/10).
A: Na problém nalezení polynomu \(p(x)\) procházejícím \(n+1\) body \((x_0, y_0), (x_1, y_1),\ldots,(x_n, y_n)\) můžeme nahlížet pohledem vektorových prostorů. Polynomy \(1, x, x^2, \ldots, x^n\) tvoří standardní bázi vektorového prostoru \(\mathcal{P}^n\), a naším cílem vlastně je najít souřadnice \(a_0, a_1, \ldots, a_n\) hledaného polynomu \(p(x)\) vzhledem k této bázi.
Nyní se nabízí otázka, jestli bychom nenašli polynom snadněji, kdybychom zvolili jinou bázi prostoru \(\mathcal{P}^n\)? Odpověď zní "ano". Zvolíme následující bázi prostoru \(\mathcal{P}^n\). Pro \(i=0, 1, \ldots, n\) definujeme polynom\[p_i(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^n\frac{1}{x_i-x_j}(x-x_j)\]Tento polynom má v bově \(x_i\) hodnotu 1 a v ostatních bodech \(x_j, j\neq i\), hodnotu 0. Je snadné nahlédnout, že tyto polynomy jsou lineárně nezávislé: žádný polynom \(p_i(x)\) není lineární kombinací ostatních, protože ostatní polynomy mají v bodě \(x_i\) hodnotu 0. Tudíž polynomy \(p_0(x), \ldots, p_n(x)\) tvoří bázi prostoru \(\mathcal{P}^n\). Interpolační polynom \(p(x)\) se tak dá jednoznačně vyjádřit jako lineární kombinace těchto polynomů a souřadnice tvoří právě funkční hodnoty \(y_0, \ldots, y_n\). Tím dostáváme explicitní vyjádření interpolačního polynomu v tzv. Lagrangeově tvaru\[p(x)=\sum_{i=0}^ny_jp_i(x)\]Těnto výsledek dává rovněž alternativní zdůvodnění, že interpolační polynom je určen jednoznačně.

Q: Vyslovte a dokažte větu o lineární nezávislosti vlastních vektorů (6/8).
A: Nechť \(f\colon V\to V\) je lineární zobrazení, \(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\) jsou různá vlastní čísla \(f\) a \(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\) odpovídající netriviální vlastní vektory. Potom \(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\) jsou lineárně nezávislé.
Předpokládejme pro spor, že \(k\) je nejmenší číslo, pro které existují \(\lambda_1,\ldots,\lambda_k\) a \(\mathbf{v}_1,\ldots,\mathbf{v}_k\) odporující větě, t.j. existují koeficienty \(a_1, \ldots,a_k\in T\setminus0\) takové, že \(\sum_{i=1}^ka_i\mathbf{v}_i=0\).
Vektor \(0\) vyjádříme poprvé: \(0=\lambda_k0=\lambda_k\sum_{i=1}^ka_i\mathbf{v}_i=\sum_{i=1}^k\lambda_{\textcolor{red}{k}}a_i\mathbf{v}_i\), a podruhé: \(0=f(0)=f\left(\sum_{i=1}^ka_i\mathbf{v}_i\right)=\sum_{i=1}^ka_if(\mathbf{v}_i)=\sum_{i=1}^k\lambda_{\textcolor{red}{i}}a_i\mathbf{v}_i\), odtud \(0=0-0=\sum_{i=1}^k\lambda_{i}a_i\mathbf{v}_i-\sum_{i=1}^k\lambda_k a_i\mathbf{v}_i=\sum_{i=1}^{\textcolor{red}{k-1}}(\lambda_i-\lambda_k)a_i\mathbf{v}_i\).
Protože \(\lambda_i\neq\lambda_k\) dostaneme \((\lambda_i-\lambda_k)a_i\neq0\). Již \(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_{k-1}\) jsou lineárně závislé, což je spor s minimalitou \(k\).

Q: Vyslovte a dokažte větu o kořenech charakteristického polynomu matice (6/8).
A: Číslo \(\lambda\in T\) je vlastním číslem matice \(\mathbf{A}\in T^{n\times n}\), právě když je \(\lambda\) kořenem jejího charakteristického polynomu \(p_\mathbf{A}(x)\).
Důkaz: \(\lambda\) je vlastní číslo \(\mathbf{A}\) \(\Leftrightarrow\) \(\exists\mathbf{v}\in T^n\setminus\mathbf{0}\colon \mathbf{Av}=\lambda\mathbf{v}\) \(\Leftrightarrow\) \(\exists\mathbf{v}\in T^n\setminus\mathbf{0}\colon \mathbf{0}=\mathbf{Av}-\lambda\mathbf{v}=\mathbf{Av}-\lambda\mathbf{I}_n\mathbf{v}=(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}_n)\mathbf{v}\) \(\Leftrightarrow\) matice \(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}_n\) je singulární \(\Leftrightarrow\) \(0=\det(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I}_n)=p_\mathbf{A}(\lambda)\)

Q: Vyslovte a dokažte větu o konstrukci matice s předepsaným charakteristickým polynomem (8/10).
A: Pro libovolní \(b_0, b_1,\ldots,b_{n-1}\in T\) má matice\[\begin{pmatrix} 0 & 0 & \ldots & 0 & -b_0 \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & -b_1 \\ 0 & 1 & \ldots & 0 & -b_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & -b_{n-1} \\ \end{pmatrix} \in T^{n\times n}\]charakteristický polynom \((x^n+b_{n-1}x^{n-1}+\ldots+b_1x+b_0)(-1)^n\).
Důkaz: Rozvoj podle prvního řádku dává rekurenci:\[\begin{vmatrix} -x & 0 & \ldots & 0 & -b_0 \\ 1 & -x & \ddots & \vdots & -b_1 \\ 0 & 1 & \ddots & 0 & -b_2 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & -b_{n-1}-x \end{vmatrix} = -x \begin{vmatrix} -x & 0 & \ldots & 0 & -b_1 \\ 1 & -x & \ddots & \vdots & -b_2 \\ 0 & 1 & \ddots & 0 & -b_3 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ldots & 0 & 1 & -b_{n-1}-x \end{vmatrix} + (-1)^nb_0\]Uvedený polynom je řešením této rekurence. (Také lze provést přímo rozvoj podle posledního sloupce.)
Důsledky: Každý polynom \(\sum_{i=0}^nb_ix^i\) s \(b_n=(-1)^n\) je charakteristickým polynomem vhodné matice. Vypočet kořenů polynomu lze převést na výpočet vlastních čísel.

Q: Vyslovte a dokažte pozorování o hodnotách tří koeficientů charakteristického polynomu matice (10/12).
A: Označme \(p_\mathbf{A}(x)=\sum_{i=0}^nb_ix^i\textcolor{gray}{=\det(\mathbf{A}-x\mathbf{I}_n)}\), pak platí:
- \(b_n=(-1)^n\) ... pouze součin podél diagonály v \(\mathbf{A}-x\mathbf{I}_n\) může dát \(x^n\), každý z jeho činitelů má u \(x\) koeficient \(-1\).
- \(b_0=\det(\mathbf{A})\) ... dosadíme \(x=0\) do \(p_\mathbf{A}(x)\)
- \(b_{n-1}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^na_{ii}\)
člen \(x^{n-1}\) lze získat pouze ze součinu \(n\) lineárních členů \((a_{11}-x)(a_{22}-x)\ldots(a_{nn}-x)\) na diagonále \(\mathbf{A}-x\mathbf{I}_n\) tak, že vybereme \(n-1\) krát výraz \(-x\) a jedenkrát \(a_{ii}\). Výběr lze provést \(n\) způsoby, kde sčítance \(a_{ii}\) v koeficientu \(b_{n-1}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^{n}a_{ii}\) odpovídají různým výběrům \((-x)^{n-1}\).
Navíc, má-li charakteristický mnohočlen rozklad \(p_\mathbf{A}(x)=(\lambda_1-x)^{r_1}(\lambda_2-x)^{r_2}\ldots(\lambda_k-x)^{r_k}\), \(r_1+\ldots+r_k=n\), pak:
- \(b_0=\det(\mathbf{A})=\prod_{i=1}^k\lambda_{i}^{r_i}\) ... opět dosadíme \(x=0\) do \(p_\mathbf{A}(x)\)
- \(b_{n-1}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^na_{ii}=(-1)^{n-1}\sum_{i=1}^k\underbrace{\lambda_i+\ldots+\lambda_i}_{r_i}\)
... analogicky ze součinu \((\lambda_1-x)^{r_1}(\lambda_2-x)^{r_2}\ldots(\lambda_k-x)^{r_k}\)

Q: Vyslovte a dokažte větu o Geršgorinových kruzích (8/10).
A: Nechť \(\mathbb{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}\). Pro každé vlastní číslo \(\lambda\) existuje index řádku \(i\in\{1, \ldots, n\}\) takový, že \(|\lambda-a_{ii}|\leq\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\).
Čili \(\lambda\) náleží kruhu komplexních čísel, která jsou nejvýše \(\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\) vzdálena od \(a_{ii}\), tzv. Geršgorionovu kruhu.
Každé \(\lambda\) náleží sjednocení těchto kruhů, což lze využít na odhady.
Důkaz: Uvažme netriviální vlastní vektor \(\mathbf{u}\in\mathbb{C}^n\) příslušný k \(\lambda\). Nechť \(u_i\) je složka \(u\) s největší absolutní hodnotou. Položíme \(\mathbf{v}=\frac{1}{u_i}\mathbf{u}\). Nyní \(v_i=1\) a \(|v_j|\leq1\) pro \(j\neq i\).
V \(i\)-té rovnici soustavy \(\mathbf{Av}=\lambda\mathbf{v}\), neboli v \(\sum_{j=1}^na_{ij}v_j=\lambda v_i\) odečteme od obou stran \(a_{ii}\) a dostaneme \(\sum_{j\neq i}a_{ij}v_j=\lambda-a_{ii}\). Z trojúhelníkové nerovnosti (\(\forall x, y\in\mathbb{C}\colon |x+y|\leq|x|+|y|\)) pak plyne:\[|\lambda - a_{ii}|=\left|\sum_{j\neq i}a_{ij}v_j\right|\leq\sum_{j\neq i}\left|a_{ij}v_j\right|=\sum_{j\neq i}|a_ij||v_j|\leq\sum_{j\neq i}|a_{ij}|\]

Q: Uveďte a dokažte Cayleyovu-Hamiltonovu větu (8/14).
A: Pro matici \(\mathbf{A}\in T^{n\times n}\) a její charakteristický polynom
\(p_\mathbf{A}(x) = (-1)^nx^n + b_{n-1}x^{n-1} + \ldots + b_2 x^2 + b_1 x + b_0\) platí:
\(\textcolor{gray}{p_\mathbf{A}(x)} = (-1)^n\mathbf{A}^n + b_{n-1}\mathbf{A}^{n-1} + \ldots + b_2 \mathbf{A}^2 + b_1 \mathbf{A} + b_0\mathbf{I}_n=\mathbf{0}_{n,n}\).
Symbol \(\mathbf{0}_{n,n}\) značí nulovou čtvercovou matici řádu \(n\).
\[\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}, \qquad p_\mathbf{A}(x)=\textcolor{purple}{-x^3+2x^2+x-2}\]\[\begin{multline} p_\mathbf{A}(\mathbf{A})= -\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}^3 +2 \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix}^2 +\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} -2\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \\ = -\begin{pmatrix} 13 & 2 & 12 \\ 9 & -1 & 9 \\ -5 & -2 & -4 \end{pmatrix} +2\begin{pmatrix} 7 & 0 & 6 \\ 3 & 1 & 3 \\ -3 & 0 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & 3 \\ 1 & -2 & 2 \end{pmatrix} -2\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{multline}\]Důkaz je dlouhý, není obsažen v kartičce.

Q: Uveďte a dokažte dvě pozorování a související důsledky o násobnostech vlastních čísel podobných matic (6/8).
A: Matice téhož zobrazení vůči různým bázím mají stejná vlastní čísla.
Definice: Matice \(\mathbf{A}, \mathbf{B}\in T^{n\times n}\) jsou si podobné, pokud existuje regulární matice \(\mathbf{R}\) taková, že \(\mathbf{A}=\mathbf{RAR}^{-1}\).
Pozorování: Pokud je \(\mathbf{A}\) podobná \(\mathbf{B}\), t.j. \(\mathbf{B}=\mathbf{RAR}^{-1}\), a vlastní číslo \(\lambda\) příslusí vlastnímu vektoru \(\mathbf{v}\) v \(\mathbf{A}\), pak \(\lambda\) je také vlastní číslo \(\mathbf{B}\) příslusné vektoru \(\mathbf{Rv}\).
Důkaz: Pro \(\mathbf{u} = \mathbf{Rv}\) platí \(\mathbf{Bu}=\mathbf{RAR}^{-1}\mathbf{Rv}=\mathbf{RAv}=\lambda\mathbf{Rv}=\lambda\mathbf{u}\).
Důsledek: Je-li \(\lambda\) vlastní číslo \(\mathbf{A}\) a matice \(\mathbf{A}\) je podobná \(\mathbf{B}\), pak \(\lambda\) má v matici \(\mathbf{B}\) shodnou geometrickou násobnost jako v \(\mathbf{A}\) ... \(\mathbf{v}\to\mathbf{Rv}\) je isomorfismus podprostorů vlastních vektorů
Pozorování: Pokud \(\mathbf{B}=\mathbf{RAR}^{-Q}\), pak \(p_\mathbf{B}(x)=p_\mathbf{A}(x)\).
Důkaz: \(p_\mathbf{B}(x)=\det(\mathbf{B}-x\mathbf{I})=\det(\mathbf{RAR}^{-1}-\mathbf{R}(x\mathbf{I})\mathbf{R}^{-1})=\det(\mathbf{R}(\mathbf{A}-x\mathbf{I})\mathbf{R}^{-1})=\det\mathbf{R}\det(\mathbf{A}-x\mathbf{I})\det\mathbf{R}^{-1}p_\mathbf{A}(x)\)
Důsledek: Je-li \(\lambda\) vlastní číslo \(\mathbf{A}\) a matice \(\mathbf{A}\) je podobná \(\mathbf{B}\), pak \(\lambda\) má v matici \(\mathbf{A}\) shodnou algebraickou násobnost jako v \(\mathbf{A}\).

Q: Vyslovte a dokažte větu o vztahu geometrické a algebraické násobnosti vlastního čísla (6/10).
A: Věta: Pro každé vlastní číslo \(\lambda\) matice \(\mathbf{A}\) platí, že geometrická násobnost \(\lambda\) je menší nebo rovna jeho algebraické násobnosti.
Důkaz: Vezměme \(\mathbf{A}\in T^{n\times n}\) jako matici lineárního zobrazení \(f\colon T^n\to T^n\) vzhledem ke standardní bázi \(E\), tzn. \(\mathbf{A}=[f]_{E, E}\). Necht \(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\) je bází prostoru vlastních vektorů příslusných \(\lambda\), čili \(k\) je geometrická násobnost vlastního čísla \(\lambda\). Doplníme \(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k\) na bázi \(B\) prostoru \(T^n\).
Potom \([f]_{B, B}=[id]_{B, E}^{-1}\mathbf{A}[id]_{B, E}\) je podobná \(\mathbf{A}\) a přitom \([f]_{B, B}\) má v prvních k sloupcích na diagonále \(\lambda\) a jinak nuly. Odtud \((\lambda - x)^k\) dělí \(p_{[f]_{B, B}}(x)\). Protože \(\mathbf{A}\) a \([f]_{B, B}\) mají stejné charakteristické polynomy, má \(\lambda\) algebraickou násobnost alespon \(k\).

Q: Uveďte a dokažte nezbytnou a postačující podmínku, kdy je matice diagonalizovatelná (6/8).
A: Pozorování: Matice \(\mathbf{A}\in T^{n\times n}\) je podobná diagonální matici, právě když prostor \(T^n\) má bázi sestávající se z vlastních vektorů \(\mathbf{A}\).
Důkaz: \(\mathbf{AR}=\mathbf{RD}\) s diagonální maticí \(\mathbf{D}\), pokud pro každé \(i\) platí, že existuje vektor \(\mathbf{v}\) (\(i\)-tý sloupec \(\mathbf{R}\)) takový, že \(\mathbf{Av}=\lambda\mathbf{v}=d_{ii}\mathbf{v}\).
Definice: Matice podobná diagonální matici je diagonalizovatelná.
Důsledek: Pro čtvercovou matici řádu \(n\) platí, že má-li \(n\) různých vlastních čísel, pak je diagonalizovatelná.
Důsledek: Když \(p_\mathbf{A}(x)=\prod_{i}(x-\lambda_i)^{r_i}\), pak:
\(\mathbf{A}\) je diagonalizovatelná \(\Leftrightarrow \forall i\colon\dim(\ker(\mathbf{A}-\lambda_i\mathbf{I}))=r_i\)

Q: Uveďte a dokažte tvrzení o zobecněných vlastních vektorech (8/8).
A: Tvrzení: Nechť \(\mathbf{AR=RJ}_\lambda\). Označíme-li \(i\)-tý sloupec \(\mathbf{R}\) jako \(\mathbf{v}_i\), pak splňuje \((\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})^iv_i=0\).
Důkaz:

Q: Vyslovte a dokažte Cauchyovu-Schwarzovu nerovnost (6/10).
A: Věta: Skalární součin libovolných dvou vektorů \(\mathbf{u}\) a \(\mathbf{v}\) ve vektorovém prostoru nad \(\mathbb{C}\) splňuje: \(|\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle|\leq\sqrt{\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{u}\rangle\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{v}\rangle}\).
Jinými slovy, vzhledem související normě: \(\vert\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle\vert\leq\lVert\mathbf{u}\rVert\cdot\lVert\mathbf{v}\rVert\).
Důkaz: Pro \(\mathbf{u}=\mathbf{0}\) nebo \(\mathbf{v}=\mathbf{0}\), dostaneme \(0\leq0\). Pro jakékoli \(t\in\mathbb{C}\) platí, že \(\lVert\mathbf{u}+t\mathbf{v}\rVert^2\geq0\), ale také: \(\lVert\mathbf{u}+t\mathbf{v}\rVert^2=\langle\mathbf{u}+t\mathbf{v}\vert\mathbf{u}+t\mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{u}\rangle+t\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{u}\rangle+\overline{t}\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle+t\overline{t}\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{v}\rangle\)
Pro vzájemné odečtení posledních dvou členů zvolíme \(t=-\frac{\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{v}\rangle}\).
\(\begin{alignat*}{2} 0 &\leq \langle\mathbf{u}\vert\mathbf{u}\rangle-\frac{\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle}{\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{v}\rangle}\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{u}\rangle &\quad& \ldots\cdot\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{v}\rangle>0 \\ \langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{u}\rangle &\leq \langle\mathbf{u}\vert\mathbf{u}\rangle\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{v}\rangle && \ldots \text{na $\mathbb{C}$ platí $z\overline{z}=\lvert z\rvert^2$} \\ \lvert\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle\rvert^2 &\leq \lVert\mathbf{u}\rVert^2\cdot\lVert\mathbf{v}\rVert^2 && \ldots \text{odmocníme} \\ \lvert\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle\rvert &\leq \lVert\mathbf{u}\rVert\cdot\lVert\mathbf{v}\rVert \\ \end{alignat*}\)

Q: Vyslovte a dokažte vztah mezi aritmetickým a kvadratickým průměrem (8/8).
A: Věta: Pro libovolný \(\mathbf{u}\in\mathbb{R}^n\colon \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nu_i\leq\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nu_i^2}\)
Důkaz: Zvolíme \(\mathbf{v}=(1, 1, \ldots, 1)^\top\) a použijeme Cauchyho-Schwarzovu nerovnost pro standardní skalární součin:
\[\sum_{i=1}^nu_i=\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle\leq\lvert\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle\rvert\leq\lVert\mathbf{u}\rVert\cdot\lVert\mathbf{v}\rVert=\sqrt{\sum_{i=1}^nu_i^2}\cdot\sqrt{n}\]

Q: Uveďte a dokažte trojúhelníkovou nerovnost (6/10).
A: Tvrzení: Každá norma odvozená ze skalárního součinu splňuje trojúhelníkovou nerovnost: \(\lVert\mathbf{u}+\mathbf{v}\rVert\leq\lVert\mathbf{u}\rVert+\lVert\mathbf{v}\rVert\)
Důkaz:\[\begin{multline*} \lVert\mathbf{u}+\mathbf{v}\rVert=\sqrt{\langle\mathbf{u}+\mathbf{v}\vert\mathbf{u}+\mathbf{v}\rangle}=\sqrt{\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle+\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{v}\rangle} \leq \\ \leq \sqrt{\lVert\mathbf{u}\rVert^2+2\lvert\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle\lvert+\lVert\mathbf{v}\rVert^2}\leq\sqrt{\lVert\mathbf{u}\rVert^2+2\lVert\mathbf{u}\rVert\cdot\lVert\mathbf{v}\rVert+\lVert\mathbf{v}\rVert^2}=\lVert\mathbf{u}\rVert+\lVert\mathbf{v}\rVert \end{multline*}\]

Q: Vyslovte a dokažte pozorování o navzájem kolmých vektorech (6/8).
A: Pozorování: Množina netriviálních vzájemně kolmých vektorů je lineárně nezávislá.
Důkaz: Nechť \(\mathbf{v}_0,\ldots,\mathbf{v}_k\) jsou kolmé a \(\mathbf{v}_0=\sum_{i=1}^ka_i\mathbf{v}_i\).
Pak:\[\langle\mathbf{v}_0\vert\mathbf{v}_0\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^ka_i\mathbf{v}_i\middle\vert\mathbf{v}_0\right\rangle=\sum_{i=1}^ka_i\langle\mathbf{v}_i\vert\mathbf{v}_0\rangle=\sum_{i=1}^ka_i\cdot0=0\Rightarrow v_0=\mathbf{0}\]

Q: Vyslovte a dokažte tvrzení o Fourierových koeficientech (6/8).
A: Tvrzení: Nechť \(B=(\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n)\) je ortonormální báze prostoru \(V\). Pro každé \(\mathbf{v}\in V\) platí: \(\mathbf{v}=\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{b}_1\rangle\mathbf{b}_1+\ldots+\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{b}_n\rangle\mathbf{b}_n\).
Koeficienty \(\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{b}_i\rangle\) se nazývají Fourierovy koeficienty.
Důkaz: \(\mathbf{v}=\sum_{i=1}^na_i\mathbf{b}_i\Rightarrow\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{b}_j\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^na_i\mathbf{b}_i\middle\vert\mathbf{b}_j\right\rangle=\sum_{i=1}^na_i\langle\mathbf{b}_i\vert\mathbf{b}_j\rangle=a_j\)
Souřadnice vektoru \(\mathbf{v}=(3,3,3)^\top\) vzhledem k bázi \(\definecolor{fyellow}{RGB}{255, 164, 0}\definecolor{fred}{RGB}{255, 0, 0}\definecolor{fgreen}{RGB}{0, 200, 0}B=(\textcolor{fyellow}{\mathbf{b}_1}, \textcolor{fred}{\mathbf{b}_2}, \textcolor{fgreen}{\mathbf{b}_3})\) jsou:
\([\mathbf{v}]_B=(\langle\mathbf{v}\vert\textcolor{fyellow}{\mathbf{b}_1}\rangle, \langle\mathbf{v}\vert\textcolor{fred}{\mathbf{b}_2}\rangle, \langle\mathbf{v}\vert\textcolor{fgreen}{\mathbf{b}_3}\rangle)^\top=(5, 1, -1)^\top\)
\(\langle\mathbf{v}\vert\textcolor{fyellow}{\mathbf{b}_1}\rangle=3\cdot\tfrac{2}{3}+3\cdot\tfrac{1}{3}+3\cdot\tfrac{2}{3}=5\)
\(\langle\mathbf{v}\vert\textcolor{fred}{\mathbf{b}_2}\rangle=3\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)+3\cdot\tfrac{2}{3}+3\cdot\tfrac{1}{3}=1\)
\(\langle\mathbf{v}\vert\textcolor{fgreen}{\mathbf{b}_3}\rangle=3\cdot\left(-\tfrac{1}{3}\right)+3\cdot\left(-\tfrac{2}{3}\right)+3\cdot\tfrac{2}{3}=-1\)
Zkouška: \(5\cdot\textcolor{fyellow}{\mathbf{b}_1}+1\cdot\textcolor{fred}{\mathbf{b}_2}+(-1)\cdot\textcolor{fgreen}{\mathbf{b}_3}=5\cdot\textcolor{fyellow}{(\tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{3})^\top}+1\cdot\textcolor{fred}{(-\tfrac{2}{3}, \tfrac{2}{3}, \tfrac{1}{3})^\top}+(-1)\cdot\textcolor{fgreen}{(-\tfrac{1}{3}, -\tfrac{2}{3}, \tfrac{2}{3})^\top}=(3, 3, 3)^\top=\mathbf{v}\)

Q: Vyslovte a dokažte větu o výpočtu skalárního součinu z Fourierových koeficientů (8/10).
A: Věta: Nechť \(B\) je ortonormální báze prostoru \(V\) se skalárním součinem. Pro každé \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V\) platí: \(\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=[\mathbf{v}]^\mathsf{H}_B[\mathbf{u}]_B\).
Důkaz: Víme, že: \(\mathbf{u}=\sum_{i=1}^n\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{b}_i\rangle\mathbf{b}_i\) a \(\mathbf{v}=\sum_{j=1}^n\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{b}_j\rangle\mathbf{b}_j\).
Pak \(\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle = \left\langle\sum_{i=1}^n\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{b}_i\rangle\mathbf{b}_i\middle\vert\sum_{j=1}^n\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{b}_j\rangle\mathbf{b}_j\right\rangle = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{b}_i\rangle\overline{\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{b}_j\rangle}\langle\mathbf{b}_i\vert\mathbf{b}_j\rangle = \sum_{i=1}^n\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{b}_i\rangle\overline{\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{b}_i\rangle}=[\mathbf{v}]_B^\mathsf{H}[\mathbf{u}]_B\)

Q: Vyslovte a dokažte tvrzení o kolmé projekci a normě (8/10).
A: Tvrzení: Vektor \(p_B(\mathbf{u})\) je vektor z \(\DeclareMathOperator{\span}{span}V=\span(B)\), který je nejbližší k \(\mathbf{u}\) v tom smyslu, že minimalizuje \(\lVert\mathbf{u}-p_B(\mathbf{u})\rVert\).
Důkaz: Pro \(\mathbf{v}\in V\), \(\mathbf{v}\neq p_B(\mathbf{u})\) vezměme \(\textcolor{#00c800}{\mathbf{z}=\mathbf{u}-p_B(\mathbf{u})}\), \(\textcolor{#ffa400}{\mathbf{w}=p_B(\mathbf{u})-\mathbf{v}\neq0}\). Protože \(\mathbf{w}\in V\), máme \(\langle\mathbf{w}\vert\mathbf{z}\rangle=0\).
Nyní: \(\begin{multline*} \lVert\mathbf{u}-\mathbf{v}\rVert=\textcolor{#9f1fef}{\lVert\mathbf{w}+\mathbf{z}\rVert} \\=\sqrt{\langle\mathbf{w}+\mathbf{z}\vert\mathbf{w}+\mathbf{z}\rangle} \\=\sqrt{\langle\mathbf{w}\vert\mathbf{w}\rangle + \langle\mathbf{w}\vert\mathbf{z}\rangle + \langle\mathbf{z}\vert\mathbf{w}\rangle + \langle\mathbf{z}\vert\mathbf{z}\rangle} \\=\sqrt{\langle\mathbf{w}\vert\mathbf{w}\rangle+\langle\mathbf{z}\vert\mathbf{z}\rangle} \\>\sqrt{\langle\mathbf{z}\vert\mathbf{z}\rangle} \\=\textcolor{#00c800}{\lVert\mathbf{z}\rVert}=\lVert\mathbf{u}-p_B(\mathbf{u})\rVert \end{multline*}\)

Q: Uveďte a dokažte správnost Gramovy-Schmidtovy ortonormalizace (6/8).
A: - Díky lemmatu o odečtení projekcí platí pro 1.: \(\mathbf{c}_i\perp\mathbf{d}_j\) pro každé \(j<i\), odtud \(\mathbf{d}_i\perp\mathbf{d}_j\) pro \(j\neq i\).
- Díky linearitě normy 2.: \(\lVert\mathbf{d}_i\rVert=\left\lVert\frac{1}{\lVert\mathbf{c}_i\rVert}\mathbf{c}_i\right\rVert=\frac{\lVert\mathbf{c}_i\rVert}{\lVert\mathbf{c}_i\rVert}=1\).
- Díky lemmatu o výměmě: \(\DeclareMathOperator{\span}{span}\span(\mathbf{d}_1, \ldots, \mathbf{d}_{i-1}, \mathbf{b}_i)=\span(\mathbf{d}_1, \ldots, \mathbf{d}_{i-1}, \mathbf{c}_i)=\span(\mathbf{d}_1, \ldots, \mathbf{d}_{i-1}, \mathbf{d}_i)\).

Q: Vyslovte a dokažte větu o izometrii a normě (6/10).
A: Věta: Lineární zobrazení mezi prostory \(V\) a \(W\) je isometrie, práve když zachovává příslušnou normu: \(\forall\mathbf{u}\in V\colon\lVert\mathbf{u}\rVert=\lVert f(\mathbf{u})\rVert\).
Důkaz: Protože norma závisí na skalárním součinu, máme \(\Rightarrow\).
Pro \(\Leftarrow\) porovnejme:
pro \(t=1\) máme: \(\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=\langle f(\mathbf{v})\vert f(\mathbf{u})\rangle+\langle f(\mathbf{u})\vert f(\mathbf{v})\rangle\)
pro \(t=i\) máme: \(\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{u}\rangle-\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=\langle f(\mathbf{v})\vert f(\mathbf{u})\rangle-\langle f(\mathbf{u})\vert f(\mathbf{v})\rangle\)
    \(\Rightarrow\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=\langle f(\mathbf{u})\vert f(\mathbf{v})\rangle\)

Q: Vyslovte a dokažte větu o charakterizaci izometrie pomocí její matice (8/10).
A: Věta: Nechť \(V\) a \(W\) jsou prostory se skalárním součinem konečné dimenze a \(B\), \(C\) jsou jejich ortonormální báze. Lineární zobrazení \(f\colon V\to W\) je bijektivní isometrie, právě když \([f]_{B, C}\) je unitární.
Důkaz: Lineární bijekce implikuje regularitu \([f]_{B,C}\) a naopak.
Protože \(B\) je ortonormální: \(\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=[\mathbf{v}]_B^\mathsf{H}[\mathbf{u}]_B\)
Protože \(C\) je ortonormální: \(\langle f(\mathbf{u})\vert f(\mathbf{v})\rangle=[f(\mathbf{v})]_C^\mathsf{H}[f(\mathbf{u})]_C=[\mathbf{v}]_B^\mathsf{H}[f]_{B, C}^\mathsf{H}[f]_{B, C}[\mathbf{u}]_B\)
Všimněte si, že maticová rovnost \(\mathbf{x}^\top \mathbf{y}=\mathbf{x}^\top \mathbf{Ay}\) platí pro všechny vhodné vektory \(x\) a \(y\) pouze v případě, je-li \(\mathbf{A}\) jednotková matice.
V našem případě je \(f\) isometrie pokud \([\mathbf{v}]_B^\mathsf{H}[\mathbf{u}]_B=[\mathbf{v}]_B^\mathsf{H}[f]_{B, C}^\mathsf{H}[f]_{B, C}[\mathbf{u}]_B\) platí pro všechna \(\mathbf{u}\) a \(\mathbf{v}\), což platí právě když \([f]_{B, C}^\mathsf{H}[f]_{B, C}=\mathbf{I}\), neboli je-li \([f]_{B, C}\) unitární.

Q: Vyslovte a dokažte větu o ortogonálním doplňku, mj. o jeho dimenzi (6/12).
A: Věta: Pro prostor \(U\) se skalárním součinem a konečné dimenze a jeho podprostor \(V\) platí: \((V^\top)^\top=V\) a \(\dim V+\dim V^\top=\dim U\).
Důkaz: Zvolíme nějakou ortonormální bázi \(B\) prostoru \(V\) a doplníme ji na ortonormální bázi \(H\) prostoru \(U\). Označme \(C=H\setminus B\), \(B=(\mathbf{b}_1,\ldots,\mathbf{b}_k)\), \(C=(\mathbf{c}_1, \ldots, \mathbf{c}_l)\).
Každé \(\DeclareMathOperator{\span}{span}\mathbf{u}\in\span(B)=V\) je kolmé ke každému \(\mathbf{v}\in\span C\): \(\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle = \left\langle\sum_{i=1}^ka_i\mathbf{b}_i\middle\vert\sum_{j=1}^ld_j\mathbf{c}_j\right\rangle = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^la_i\overline{d_j}\langle\mathbf{b}_i\vert\mathbf{c}_j\rangle=0\)
protože \(H\) je ortonormální báze. Jinak zapsáno: \(\span C\subseteq V^\top\).
Nyní vezměme \(\mathbf{w}\in V^\top\) a uvažme \([\mathbf{w}]_H\). Báze je \(H\) ortonormální, a tak koeficienty \(\mathbf{w}\) vzhledem k \(H\) jsou Fourierovy koeficienty dané skalárním součinem vektoru \(\mathbf{w}\) s prvky báze \(H\).
Protože \(\mathbf{w}\in V^\top\), pro každé \(\mathbf{b}_i\in B\colon \langle\mathbf{w}\vert\mathbf{b}_i\rangle=0\), čili \(\mathbf{w}\in\span C\). V důsledku platí: \(V^\top\subseteq\span C\) a následně i: \(V^\top=\span C\).
Nyní: \(\dim V+\dim V^\top=|B|+|C|=|H|=\dim U\) a také: \((V^\top)^\top=\span(H\setminus C)=\span B=V\).

Q: Vyslovte a dokažte větu o skalárním součinu dvou vektorů a Gramově matici (8/8).
A: Věta: Nechť \(V\) je prostor se skalárním součinem a bází \(B=(\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n)\). Potom takzvaná Gramova matice \(\mathbf{A}\) definovaná \(a_{ij}=\langle\mathbf{b}_i\vert\mathbf{b}_j\rangle\) splňuje: \(\forall\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V\colon\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=[\mathbf{v}]_B^\mathsf{H}\mathbf{A}^\top[\mathbf{u}]_B\)
Když \(B\) je ortonormální báze, pak \(\mathbf{A}=\mathbf{I}_n\).
Důkaz: Označme \([\mathbf{u}]_B=(c_1, \ldots, c_n)^\top\), \([\mathbf{v}]_B=(d_1, \ldots, d_n)^\top\), t.j. \(\mathbf{u}=\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{b}_i\) a \(\mathbf{v}=\sum_{j=1}^nd_j\mathbf{b}_j\). Dostáváme \(\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^nc_i\mathbf{b}_i\middle\vert\sum_{j=1}^nd_j\mathbf{b}_j\right\rangle=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nc_i\overline{d_j}\langle\mathbf{b}_i\vert\mathbf{b}_j\rangle=[\mathbf{v}]_B^\mathsf{H}\mathbf{A}^\top[\mathbf{u}]_B\)

Q: Uveďte a dokažte tři pozorování o vlastnostech pozitivně definitních matic vzhledem k maticovým operacím (6/9).
A: Pozorování: Pokud \(\mathbf{A}, \mathbf{B}\) jsou pozitivně definitní stejného řádu, pak \(\mathbf{A} + \mathbf{B}\) je také pozitivně definitní.
Důkaz: \(\mathbf{v}^\mathsf{H}(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{v}=\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{Av}+\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{Bv}>0\)
Pozorování: Pokud \(\mathbf{A}\) je pozitivně definitní a \(\mathbf{R}\) je regulární, pak \(\mathbf{R}^\mathsf{H}\mathbf{AR}\) je také pozitivně definitní.
Důkaz: Pro \(\mathbf{v}\neq0\) a \(\mathbf{u}=\mathbf{Rv}\neq0\) platí: \(\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{R}^\mathsf{H}\mathbf{ARv}=\mathbf{u}^\mathsf{H}\mathbf{Au}>0\).
Důsledek: Buď jsou pozitivně definitní \(\mathbf{A}\) i \(\mathbf{R}^\mathsf{H}\mathbf{Ar}\) nebo ani jedna.
Pozorovnání: Pokud \(\mathbf{A}\) je pozitivně definitní, pak je regulární a \(\mathbf{A}^{-1}\) je také pozitivně definitní.
Důkaz: Pro singulární \(\mathbf{A}\) existuje \(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\), že: \(\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{Av}=\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{0}=0\). Inverzní k hermitovské je hermitovská: \(\mathbf{A}^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^\mathsf{H}\), protože: \((\mathbf{A}^{-1})^\mathsf{H}=(\mathbf{A}^{-1})^\mathsf{H}\mathbf{AA}^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^\mathsf{H}\mathbf{A}^\mathsf{H}\mathbf{A}^{-1}=(\mathbf{AA}^{-1})^\mathsf{H}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\). Podle předchozího pozorování: \(\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{AA}^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^\mathsf{H}\mathbf{AA}^{-1}\).

Q: Vyslovte a dokažte tvrzení o pozitivní definitnosti blokové matice (8/8).
A: Tvrzení: Hermitovská bloková matice \(\begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{0}_{n,m} \\ \mathbf{0}_{m,n} & \mathbf{B} \end{pmatrix}\) je pozitivně definitní, právě když \(\mathbf{A}\) i \(\mathbf{B}\) jsou pozitivně definitní.
Důkaz: Pro \(\mathbf{w}=(v_1, \ldots, v_n, u_1, \ldots, u_m)^\top\in\mathbb{C}^{n+m}\), platí: \(\mathbf{w}^\mathsf{H} \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{0}_{n,m} \\ \mathbf{0}_{m,n} & \mathbf{B} \end{pmatrix} \mathbf{w}=\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{Av}+\mathbf{u}^\mathsf{H}\mathbf{Bu}\)
Oba sčítance pravé straně jsou nezáporné pro každé \(\mathbf{w}\) a je-li \(\mathbf{w}\) netriviální, pak alespoň jeden z nich je kladný.
Obráceně, pokud \(\mathbf{v}\in\mathbb{C}^n\setminus\mathbf{0}\) doplníme nulami na \(\mathbf{w}=(v_1, \ldots, v_n, 0, \ldots, 0)^\top\in\mathbb{C}^{n+m}\), pak dostaneme: \(\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{Av}=\mathbf{w}^\mathsf{H} \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{0}_{n,m} \\ \mathbf{0}_{m,n} & \mathbf{B} \end{pmatrix} \mathbf{w}>0\)
Pro matici \(\mathbf{B}\) lze postupovat obdobně.

Q: Vyslovte a dokažte větu o třech ekvivalentních podmínkách pro pozitivně definitní matice (6/9).
A: Věta: Pro hermitovskou \(\mathbf{A}\) jsou následující podmínky ekvivalentní:
1. Matice \(\mathbf{A}\) je pozitivně definitní
2. \(\mathbf{A}\) má všechna vlastní čísla kladná
3. existuje regulární matice \(\mathbf{U}\) taková, že \(\mathbf{A}=\mathbf{U}^\mathsf{H}\mathbf{U}\).
Důkaz: \(1\Rightarrow2\): Protože \(\mathbf{A}\) je hermitovská, má vlastní čísla reálná. Nechť \(\mathbf{v}\) je netriviální vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu \(\lambda\). Potom \(0<\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{Av}=\lambda\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{v}=\lambda\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{v}\rangle\). Z \(\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle>0\) máme \(\lambda>0\).
\(2\Rightarrow 3\): Protože \(\mathbf{A}\) je hermitovská, existují unitární \(\mathbf{R}\) a diagonální \(\mathbf{D}\) takové, že \(\mathbf{A}=\mathbf{R}^\mathsf{H}\mathbf{DR}\). Vezměme diagonální \(\tilde{\mathbf{D}}\colon \tilde{d_{ii}}=\sqrt{d_{ii}}\) a \(\mathbf{U}=\tilde{\mathbf{D}}\mathbf{R}\). Nyní \(\mathbf{U}^\mathsf{H}\mathbf{U}=(\tilde{\mathbf{U}}\mathbf{R})^\mathsf{H}\tilde{\mathbf{D}}\mathbf{R}=\mathbf{R}^\mathsf{H}\tilde{\mathbf{D}}^\mathsf{H}\tilde{\mathbf{D}}\mathbf{R}=\mathbf{R}^\mathsf{H}\mathbf{DR}=A\).
\(3\Rightarrow1\): Pokud \(\mathbf{v}\in\mathbb{C}^n\setminus\mathbf{0}\), pak \(\mathbf{Uv}\neq\mathbf{0}\), protože \(\mathbf{U}\) je regulární. Nyní: \(\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{Av}=\mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{U}^\mathsf{H}\mathbf{Uv}=(Uv)^\mathsf{H}\mathbf{Uv}=\langle\mathbf{Uv}\vert\mathbf{Uv}\rangle>0\).

Q: Uveďte a dokažte větu o Choleského rozkladu včetně správnosti algoritmu pro výpočet (10/8).
A: Věta: Pro každou pozitivně definitní matici \(\mathbf{A}\) existuje jednoznačná horní trojúhelníková matice \(\mathbf{U}\) s kladnou diagonálou taková, že \(\mathbf{A}=\mathbf{U}^\mathsf{H}\mathbf{U}\). Matice \(\mathbf{U}\) se nazývá Choleského rozklad.
\(\Leftarrow\): Pokud algoritmus uspěje, pak součin \(\mathbf{U}^\mathsf{H}\mathbf{U}\) ověřuje rozklad.
\(\Rightarrow\): Předpokládejme, že algoritmus selže při výpočtu \(u_{ii}\ \textcolor{#ff0000}{*}\).
Prvních \(i-1\) řádků a sloupců \(\mathbf{A}\) označme \(\textcolor{#ffa400}{\mathbf{B}}\), prvních \(i-1\) prvků \(i\)-tého sloupce \(\mathbf{A}\) zas \(\textcolor{#00c800}{\mathbf{b}}\). Podobně \(\mathbf{C}\) a \(\mathbf{c}\) pro dosud spočtenou část \(\mathbf{U}\).
Tyto objekty splňují: \(\textcolor{#ffa400}{\mathbf{B}=\mathbf{C}^\mathsf{H}\mathbf{C}}\) a \(\textcolor{#00c800}{\mathbf{b}=\mathbf{C}^\mathsf{H}\mathbf{c}}\).
\(\textcolor{#ff0000}{*}\) Protože nelze určit \(u_{ii}\), máme \(a_{ii}\leq\mathbf{c}^\mathsf{H}\mathbf{c}\).
Položme \(\mathbf{v}^\top=\)[$]\begin{array}{|c|c|c|}    \hline    \textcolor[RGB]{255, 0, 0}{\mathbf{w}^\top} & 1 & \textcolor[HTML]{cccccc}{\mathbf{0}^\top_{n-i}} \\ \hline\end{array}[/$]\(\in\mathbb{C}^n\), kde \(\textcolor{#ff0000}{\mathbf{w}=-\mathbf{C}^{-1}\mathbf{c}}\).
Nyní dostáváme: \[\begin{multline*} \mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{Av} = \\ = \textcolor{#ff0000}{\mathbf{w}^\mathsf{H}}\textcolor{#ffa400}{\mathbf{B}}\textcolor{#ff0000}{\mathbf{w}}+\textcolor{#ff0000}{\mathbf{w}^\mathsf{H}}\textcolor{#00c800}{\mathbf{b}}+\textcolor{#00c800}{\mathbf{b}}+\textcolor{#00c800}{\mathbf{b}^\mathsf{H}}\textcolor{#ff0000}{\mathbf{w}}+a_{ii} = \\ = \textcolor{#ff0000}{(-\mathbf{C}^{-1}\mathbf{c})^\mathsf{H}}\textcolor{#ffa400}{(\mathbf{C}^\mathsf{H}\mathbf{C})}\textcolor{#ff0000}{(-\mathbf{C}^{-1}\mathbf{c})}+ \\ \textcolor{#ff0000}{(-\mathbf{C}^{-1}\mathbf{c})^\mathsf{H}}\textcolor{#00c800}{(\mathbf{C}^\mathsf{H}\mathbf{c})}+ \textcolor{#00c800}{(\mathbf{C}^\mathsf{H}\mathbf{c})^\mathsf{H}}\textcolor{#ff0000}{(-\mathbf{C}^{-1}\mathbf{c})}+a_{ii} = \\ = \mathbf{c}^\mathsf{H}\mathbf{c}-\mathbf{c}^\mathsf{H}\mathbf{c}-\mathbf{c}^\mathsf{H}\mathbf{c}+a_{ii}=a_{ii}-\mathbf{c}^\mathsf{H}\mathbf{c}\leq0 \end{multline*}\]
Proto \(\mathbf{A}\) není pozitivně definitní.

Q: Vyslovte a dokažte větu o rekurentní podmínce pro pozitivně definitní matice (10/8).
A: Věta: Bloková matice [$]
\mathbf{A}=
\begin{array}{|c|c|}
\hline
a_{11} & \mathbf{b}^\mathsf{H} \\ \hline
\mathbf{b} & \mathbf{B} \\[4pt] \hline
\end{array}
[/$] je pozitivně definitní, právě když \(a_{11}\in\mathbb{R}^+\) a matice \(\mathbf{B}-\tfrac{1}{a_{11}}\mathbf{bb}^\mathsf{H}\) je pozitivně definitní.
Důkaz: Gaussova eliminace prvního sloupce \(\mathbf{A}\) odpovídá součinu:
[$]\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & \mathbf{0}^\mathsf{H} \\ \hline
-\tfrac{1}{a_{11}}\mathbf{b} & \mathbf{I} \\[4pt] \hline
\end{array}
\cdot\begin{array}{|c|c|}
\hline
a_{11} & \mathbf{b}^\mathsf{H} \\ \hline
\mathbf{b} & \mathbf{B} \\[4pt] \hline
\end{array}
=
\begin{array}{|c|c|}
\hline
a_{11} & \mathbf{b}^\mathsf{H} \\ \hline
\mathbf{0} & \mathbf{B}-\tfrac{1}{a_{11}}\mathbf{bb}^\mathsf{H} \\[4pt] \hline
\end{array}[/$]
Následovně dostáváme:
[$]\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & \mathbf{0}^\mathsf{H} \\ \hline
-\tfrac{1}{a_{11}}\mathbf{b} & \mathbf{I} \\[4pt] \hline
\end{array}
\cdot
\begin{array}{|c|c|}
\hline
a_{11} & \mathbf{b}^\mathsf{H} \\ \hline
\mathbf{b} & \mathbf{B} \\[4pt] \hline
\end{array}
\cdot
\begin{array}{|c|c|}
\hline
1 & -\tfrac{1}{a_{11}}\mathbf{b}^\mathsf{H} \\ \hline
\mathbf{0} & \mathbf{I} \\[4pt] \hline
\end{array}
=
\begin{array}{|c|c|}
\hline
a_{11} & \mathbf{0}^\mathsf{H} \\ \hline
\mathbf{0} & \mathbf{B}-\tfrac{1}{a_{11}}\mathbf{bb}^\mathsf{H} \\[4pt] \hline
\end{array}[/$]
Matice elementárních uprav je regulární, a tak \(\mathbf{A}\) je pozitivně definitní, právě když výsledná bloková matice je pozitivně definitní.
To nastává, právě když má oba nenulové bloky pozitivně definitní.

Q: Vyslovte a dokažte větu o pozitivně definitních maticích a determinantech (8/10).
A: Věta: Hermitovská matice \(\mathbf{A}\) řádu \(n\) je pozitivně definitní, právě když matice \(\mathbf{A}_1, \ldots, \mathbf{A}_n\) mají kladné determinanty, kde \(\mathbf{A}_i\) se sestává z prvních \(i\) řádků a sloupců \(\mathbf{A}\).
Ukázka:
\[|\mathbf{A}|=|\mathbf{A}_4|= \begin{vmatrix} 4 & 2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 5 & 7 \\ -1 & 2 & 7 & 20 \end{vmatrix} = 38 > 0\]
\[|\mathbf{A}_3| = \begin{vmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} =4>0\]\[|\mathbf{A}_2| = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} =4>0\]\[|\mathbf{A}_1|=\det(4)=4>0\]Všechny determinanty jsou kladné, proto je A je pozitivně definitní.
Důkaz: Použijeme Gaussovu eliminaci \(\mathbf{A}\sim\sim\mathbf{A}'\) pro test, zda je A pozitivně definitní. Necht \(a_{11}',\ldots,a_{nn}'\) jsou prvky na diagonále výsledné horní trojuhelníkové matice \(\mathbf{A}'\). Protože jsme eliminovali řádky shora dolů, máme \(\det\mathbf{A}_i=\det\mathbf{A}'_i=\prod_{j\leq i}a_{jj}'=\det\mathbf{A}_{i-1}a_{ii}'\).
\(\mathbf{A}\) je pozitivně definitní \(\Leftrightarrow a_{11}', \ldots, a_{nn}'>0\Leftrightarrow\det\mathbf{A}_1, \ldots, \det\mathbf{A}_n>0\).
Ukázka:

Q: Vyslovte a dokažte větu o diagonalizovatelnosti matic forem (8/14).
A: Věta: Pro jakoukoli symetrickou matici \(\mathbf{A}\in T^{n\times n}\) s \(\DeclareMathOperator{\char}{char}\char(T)\neq 2\) existuje regulární matice \(\mathbf{R}\) taková, že \(\mathbf{R}^\top\mathbf{AR}\) je diagonální.
Důkaz je dlouhý, není obsažen v kartičce.

Q: Uveďte a dokažte Sylvesterův zákon setrvačnosti - o diagonalizaci kvadratických forem (10/14).
A: Věta: Každá kvadratická forma na konečně generovaném reálném vektorovém prostoru má vzhledem k vhodné bázi diagonální matici pouze s 1, -1 a 0. Všechny takové diagonální matice odpovídající téže formě mají stejný počet 1 a stejný počet -1.
Důkaz je dlouhý, není obsažen v kartičce.

Q: Vyslovte a dokažte větu o počtu přímek svírajících stejný úhel (6/8).
A: Problém: Kolik nejvíce může být přímek v \(d\)-dimenzionálním euklidovském prostoru \(\mathbb{R}^d\) takových, že každá dvojice těchto přímek svírá stejný uhel \(\varphi\)?
Ukázky:
V \(\mathbb{R}^2\) lze vzít 3 přímky s \(\varphi=60^\circ\).
V \(\mathbb{R}^3\) lze vzít 6 přímek spojujících protilehlé vrcholy dvacetistěnu.
Věta: V \(\mathbb{R}^d\) může nejvýše \(\binom{d+1}{2}\) přímek svírat stejný úhel.
Důkaz: Předpokládejme existenci \(n\) takových přímek. Z každé zvolíme vektor jednotkové délky. Pro tyto vektory \(\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_n\) platí: \(\langle\mathbf{v}_i\vert\mathbf{v}_j\rangle= \begin{cases} 1 & \text{pro } i=j, \\ \cos\varphi & \text{jinak.} \end{cases}\)
Ukážeme, že matice \(\mathbf{v}_1\mathbf{v}_1^\top, \mathbf{v}_2\mathbf{v}_2^\top,\ldots,\mathbf{v}_n\mathbf{v}_n^\top\in\mathbb{R}^{d\times d}\) jsou lineárně nezávislé. Pak \(n\leq\binom{n+1}{2}\), protože prostor symetrických matic řádu \(d\) má dimenzi \(\binom{d+1}{2}\). (Je „generován“ prvky na diagonále a nad ní.)
Lineární nezávislost matic \(\mathbf{v}_1\mathbf{v}_1^\top, \mathbf{v}_2\mathbf{v}_2^\top,\ldots,\mathbf{v}_n\mathbf{v}_n^\top\):
Předpokládejme, že \(\sum_{i=1}^na_i\mathbf{v}_i\mathbf{v}_i^\top=\mathbf{0}_{d, d}\) (matice \(d\times d\) plná nul).
Pro každé \(j\in\{1, \ldots, n\}\): \[\begin{multline*} 0 = \mathbf{v}_j^\top\mathbf{0}_{d, d}\mathbf{v}_j = \mathbf{v}_j^\top\left(\sum_{i=1}^na_i\mathbf{v}_i\mathbf{v}_i^\top\right)\mathbf{v}_j = \\ = \sum_{i=1}^na_i\mathbf{v}_j^\top\mathbf{v}_i\mathbf{v}_i^\top\mathbf{v}_j = \sum_{i=1}^na_i\langle\mathbf{v}_i\vert\mathbf{v}_j\rangle^2 = a_j+\cos^2(\varphi)\sum_{i\neq j}a_i \end{multline*}\]Tyto podmínky na koeficienty \(a_1, \ldots, a_n\) zapsané soustavou rovnic:\[\begin{pmatrix} 1 & \cos^2\varphi & \ldots & \cos^2\varphi \\ \cos^2\varphi & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \cos^2\varphi \\ \cos^2\varphi & \ldots & \cos^2\varphi & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\]Matice této soustavy je regulární, proto \(a_1=\ldots=a_n=0\). Tudíž \(\mathbf{v}_1\mathbf{v}_1^\top, \mathbf{v}_2\mathbf{v}_2^\top,\ldots,\mathbf{v}_n\mathbf{v}_n^\top\) jsou lineárně nezávislé.

Q: Vyslovte a dokažte větu o diagonalizaci speciálních komplexních matic (6/14).
A: Věta: (ekvivalentní formulace věty o Jordanově normální formě) Je-li \(f\colon V\to V\) lineární a \(V\) je konečné dimenze nad \(\mathbb{C}\), pak má bázi \(B\) z řetězců zobecněných vlastních vektorů zobrazení \(f\).
Poznámka: Platí i nad \(T\), mají-li vlastní čísla v součtu algebraickou násobnost \(\dim V\), t.j. lze-li \(p_{[f]_{B,B}}(x)\) rozložit na lineární členy.
Ukázka:
Matice \(\mathbf{A}=\begin{pmatrix} -1 & 7 & -5 \\ -2 & 7 & -4 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}\) je podobná matici v Jordanově normálním tvaru se dvěma bloky \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\), protože
\[\mathbf{AR}= \begin{pmatrix} -1 & 7 & -5 \\ -2 & 7 & -4 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\mathbf{RJ}\]
\((3, 2, 1)^\top\) je vlastní vektor pro 2, čili \((\mathbf{A}-2\mathbf{I}_3)(3, 2, 1)^\top=\mathbf{0}\) a
\((1, 1, 1)^\top\) je vlastní vektor pro 1, čili \((\mathbf{A}-1\mathbf{I}_3)(1, 1, 1)^\top=\mathbf{0}\).
Prostřední sloupec matice \(\mathbf{R}\) ovšem splňuje
\(\mathbf{A}\cdot(2, 2, 1)^\top=(3, 2, 1)^\top+2\cdot(2, 2, 1)^\top\) \(\Rightarrow\) \((\mathbf{A}-2\mathbf{I}_3)\cdot(2, 2, 1)^\top=(3, 2, 1)\) \(\Rightarrow\) \((\mathbf{A}-2\mathbf{I}_3)^2\cdot(2, 2, 1)^\top=(\mathbf{A}-2\mathbf{I}_3)\cdot(3, 2, 1)^\top=\mathbf{0}\).
Důkaz je dlouhý, není obsažen v kartičce.

Q: Vyslovte a dokažte větu o ortogonalitě a prostorech určených maticí (6/8).
A: Věta: Pro \(\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}\) libovolné \(\mathbf{u}\in R_{\mathbf{A}}\) a \(\mathbf{v}\in\ker\mathbf{A}\) splňují \(\mathbf{u}\perp\mathbf{v}\) vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu, čili \(\ker\mathbf{A}=(R_{\mathbf{A}})^\perp\).
Ukázka: \(\mathbf{u}=\mathbf{b}_1-2\mathbf{b}_2=(1, 2, 4, 5)^\top-2(0, 0, 1, -2)^\top=(1, 3, 2, 9)^\top\)
\(\mathbf{v}=\mathbf{c}_1+3\mathbf{c}_2=(-13, 0, 2, 1)^\top+3(-3, 1, 0, 0)^\top=(-22, 3, 2, 1)^\top\)
\(\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=1\cdot(-22)+3\cdot3+2\cdot2+9\cdot1=0\)
\(\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=\langle\mathbf{b}_1-2\mathbf{b}_2\vert\mathbf{c}_1+3\mathbf{c}_2\rangle=\langle\mathbf{b}_1\vert\mathbf{c}_1\rangle+3\langle\mathbf{b}_1\vert\mathbf{c}_2\rangle-2\langle\mathbf{b}_2\vert\mathbf{c}_1\rangle-6\langle\mathbf{b}_2\vert\mathbf{c}_2\rangle=0\)
Pro reálnou matici \(\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 6 & 3 & 0 \\ 3 & 9 & 15 & 9 \end{pmatrix} \sim\ldots\sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)
Proto \(\DeclareMathOperator{\span}{span}R_\mathbf{A}=\span\{(1, 3, 4, 5)^\top, (0, 0, 1, -2)^\top\}=\span\{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2\}\), a také \(\ker\mathbf{A}=\span\{(-13, 0, 2, 1)^\top, (-3, 1, 0, 0)^\top\}=\span\{\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2\}\).
Důkaz: Označme \(\DeclareMathOperator{\rank}{rank}\rank\mathbf{A}=r\). Nechť \(\mathbf{c}_1, \ldots,\mathbf{c}_{n-r}\) je báze \(\ker \mathbf{A}\). Bez újmy na obecnosti, nechť prvních \(r\) řádků \(\mathbf{A}\) tvoří bázi \(\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_r\) prostoru \(R_\mathbf{A}\). Pro každé \(\mathbf{b}_i\) a \(\mathbf{c}_j\) platí \(\mathbf{b}_i\perp\mathbf{c}_j\), protože \(\langle\mathbf{b}_i\vert\mathbf{c}_j\rangle=(\mathbf{Ac}_j)_i=\mathbf{0}_i=0\).
Potom libovolné vektory \(\mathbf{u}=\sum_{i=1}^ra_i\mathbf{b}_i\) a \(\mathbf{v}=\sum_{j=1}^{n-r}d_j\mathbf{c}_j\) splňují: \(\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=\left\langle\sum_{i=1}^ra_i\mathbf{b}_i\middle\vert\sum_{j=1}^{n-r}d_j\mathbf{c}_j\right\rangle=\sum_{i=1}^r\sum_{j=1}^{n-r}a_id_j\langle\mathbf{b}_i\vert\mathbf{c}_j\rangle=0\)

Q: Vyslovte a dokažte pozorování o podprostoru vlastních vektorů (6/8).
A: Vlastní vektory odpovídající stejnému vlastnímu číslu tvoří podprostor.
Důkaz: Uvažme vlastní číslo \(\lambda\) lineárního zobrazení \(f\colon V\to V\) a množinu \(U=\{\mathbf{v}\in V\colon f(\mathbf{v})=\lambda\mathbf{v}\}\)
Pro jakékoli \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in U\) a \(t\in T\) dostaneme:
- \(f(t\mathbf{u})=tf(\mathbf{u})=t\lambda\mathbf{u}=\lambda(t\mathbf{u})\)
- \(f(\mathbf{u}+\mathbf{v})=f(\mathbf{u})+f(\mathbf{v})=\lambda\mathbf{u}+\lambda \mathbf{v}=\lambda(\mathbf{u}+\mathbf{v})\)
Proto je \(U\) uzavřen na sčítání a skalární násobky. t.j. \(U\) je podprostor prostoru \(V\).