Title: Matfyz / Lineární algebra 2 / Kvízy

Q: Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Kolik sčítanců s kladným znaménkem je v determinantu matic řádu 6?
a) 6   b) 12   c) 60   d) 120   e) 360   f) 720   g) 1 440
2. Pravda nebo lež? Obsahuje-li matice jen nezáporná čísla, pak je její determinant také nezáporný.
3. Pravda nebo lež? Otočíme-li čtvercovou matici o 90° po směru hodinových ručiček, pak se jejı́ determinant nezmění.
4. Pro \(A\in T^{n\times n}\) a \(t\in T\) je determinant matice \(tA\) roven:
a) \(t|A|\)   b) \(t^2|A|\)   c) \(nt|A|\)   d) \(t^n|A|\)   e) \(t^{2n}|A|\)
f) \(t^{n^2}|A|\)   g) \((t|A|)^2\)   h) \((t|A|)^n\)   i) \((t|A|)^{2n}\)   j) \((t|A|)^{n^2}\)
A: 1. e
2. lež
3. lež
4. d
1. Grupa \(S_6\) obsahuje \(6!=720\) permutací, z nichž polovina má kladné znaménko.
2. Např. \(\left|\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right|=-1\).
3. Viz předchozí matice, přičemž \(\det I_2=1\).
4. Z definice:\[\begin{multline} \det(tA)=\sum_{p\in S_n}\operatorname{sgn} p\prod_{i=1}^nta_{i,p(i)}=\sum_{p\in S_n}t^n\operatorname{sgn} p\prod_{i=1}^na_{i,p(i)} \\=t^n\sum_{p\in S_n}\operatorname{sgn} p\prod_{i=1}^na_{i,p(i)}=t^n\det A \end{multline}\]

Q: Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Má-li matice řádu dva nad tělesem \(\mathbb{Z}_5\) determinant hodnoty \(4\), pak determinant její třetí mocniny je roven:
a) 0   b) 1   c) 2   d) 3   e) 4   f) ani jedno z uvedených
2. Determinant matice \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\), \(n\in\mathbb{N}\), kde \(a_{ij}=i+j\) je
a) vždy roven nule   b) vždy nenulový
c) roven nule pro nekonečně mnoho hodnot \(n\)
d) nenulový pro nekonečně mnoho kodnot \(n\)
3. Vztah \(\det(A+B)=\det A+\det B\) pro matice stejného řádu:
a) neplatí pro žádnou dvojici matic
b) platí, pokud má \(A\) alespoň jeden sloupec nulový
c) platí, pokud má \(A\) nejvýše jeden sloupec nenulový
d) platí, pokud má \(A\) všechny sloupce nulové
A: 1. e
2. c
3. d
1. Z pravidla o determinantu součinu \(\det(A^3)=\det(AAA)=\det(A)\det(A)\det(A)=4^3=4\)
2. Rozdíl dvou po sobě jdoucích řádků je řádek se samými jedničkami. Pro \(n\geq3\) je \(A\) singulární a platí \(\det A=0\).
3. \(\det(\mathbf{0}+\mathbf{B})=\det\mathbf{B}=0+\det\mathbf{B}=\det\mathbf{0}+\det\mathbf{B}\). Zbylé dva případy neplatí, protipříkladem je např.: \(\left| \begin{matrix} 1+1 & 0+0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| = 2 \neq 0 + 1 = \left| \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{matrix} \right| + \left| \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix} \right|\)

Q: Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Kolik aritmetických operací je třeba na výpočet inverzní matice řádu \(n\) pomocí adjungované matice, když každý z determinantů počítáme Gaussovou eliminací?
a) \(\approx n^2\)   b) \(\approx n^3\)   c) \(\approx n^4\)   d) \(\approx n^5\)   e) \(\approx n!\)
2. Pravda nebo lež? Pokud je třeba jen jediná z matic \(A_{i\to b}\) singulární, pak příslušná soustava nemá řešení.
3. Pravda nebo lež? Celočíselná reálná matice \(A\) má celočíselnou inverzní matici, právě když \(\det A=\pm1\).
4. Adjungovaná matice k singulární čtvercové matici
a) neexistuje   b) je nulová   c) je singulární
d) může být singulární i regulární   e) je regulární
A: 1. d
2. lež
3. pravda
4. c

Q: Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Pravda nebo lež? Pro libovolné \(p\) platí, že dva polynomy nad \(\mathbb{Z}_p\) mají stejné kořeny, právě když mají stejné koeficienty.
2. Kolik polynomů \(p\) nad \(\mathbb{Z}_5\) stupně nejvýše \(4\) splňuje \(p(3)=4\)?
a) žádný   b) 1   c) 5   d) 20   e) 25   f) 125   g) 625   h) 3 125
3. Mějme čtvercovou matici \(\mathbf{A}\) řádu \(4\), která má na \(10\) pozicích reálné číslo a na \(6\) pozicích proměnnou \(x\) . Pokud vyjádříme \(\det\mathbf{A}\) jako polynom v proměnné \(x\), pak může mít stupeň:
a) -1, čili jde o nulový polynom   b) 0   c) 1   d) 2
e) 3   f) 4   g) 5   h) 6   i) 10   j) 16   k) 24   l) i víc
4. Máme-li nad \(\mathbb{Z}_5\) navrhnout \(8\) klíčů, aby \(4\) určily kód, je třeba:
a) polynom stupně \(3\) a \(p\geq8\)   b) polynom stupně \(7\) a \(p\geq4\)
c) polynom stupně \(5\) a \(p\geq8\)   d) polynom stupně \(9\) a \(p\geq 4\)
A: 1. lež
2. g
3. a, b, c, d, e, f
4. a
1. Neplatí už ani pro lineární polynomy: \(p(x)=x\) a \(q(x)=2x\), nad \(\mathbb{Z}_2\) lze místo \(q\) vzít \(q'(x)=x^2\).
2. Koeficienty splňují rovnici \(3^4a_4+3^3a_3+3^2a_2+3a_1+a_0=4\), jejímž řešením je afinní prostor dimenze \(4\) a ten má \(5^4\) prvků.
3. Nejvyšší možný stupeň je \(4\), protože každý součin v determinantu má \(4\) činitele. Pro ostatní stupně je možné zkonstruovat trojúhelníkovou matici s \(0\) až \(3\) výskyty \(x\) na diagonále, případně matici s nulovým řádkem.
4. Klíče odpovídají bodům, kterými má být polynom proložen. Polynom stupně \(n\) je určen \(n + 1\) body a pro \(p\) různých bodů je třeba mít těleso o alespoň \(p\) prvcích.

Q: Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Pravda nebo lež?
Má-li prostor \(V\) bázi složenou z vlastních vektorů zobrazení \(f: V\to V\), potom jsou všechna jeho čísla různá.
2. Je-li \((1, 1, \ldots, 1)^\top\) vlastním vektorem \(\mathbf{A}\), pak \(\mathbf{A}\) má stejné:
a) sloupce   b) sloupcové součty   c) sloupcové součiny
d) řádky   e) řádkové součty   f) řádkové součiny
3. Množina vlastních vektorů matice \(A\in T^{n\times n}\) obsahuje všechny vektory standardní báze prostoru \(T^n\), právě když matice \(\mathbf{A}\) je
a) jednotková   b) diagonální   c) symetrická   d) regulární
4. Kolik je lineárních zobrazení f: \mathbb{Z}_5^2\to\mathbb{Z}_5^2 s vlastním číslem 3 geometrické násobnosti 2?
a) žádné   b) 1   c) 2   d) 5   e) 25
A: 1. lež
2. e
3. b
4. b
1. Např. standardní báze pro identitu má jen \(\lambda=1\).
2. V \(i\)-tém řádu součinu \(\mathbf{A}(1, \ldots, 1)^\top\) je řádkový součet \(a_{i1}+\ldots+a_{in}\) a ten je roven \(\lambda\cdot1\).
3. Rovnosti \(\mathbf{Ae}_i=\lambda_i\mathbf{e}_i\) udává, že \(i\)-tý sloupec matice \(\mathbf{A}\) obsahuje \(\lambda_i\) na diagonále a jinak nuly. První a poslední možnost neplatí, protože vlastní číslo \(\lambda_i\) nemusí být 1 a může být 0.
4. Z geometrické násobnosti 2 vyplývá, že každý vektor ze \(\mathbb{Z}_5^2\) je vlastní vektor zobrazení \(f\). To je pak jediné: \(f(\mathbf{u})=3\mathbf{u}\).

Q: Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Pravda nebo lež? Má-li matice řádu \(q\) jediné vlastní číslo \(\lambda\) algebraické násobnosti \(n\), pak je diagonální s \(\lambda\) na diagonále.
2. Kolik různých vlastních vektorů má matice ze \(\mathbb{Z}_5^{3\times3}\), která má dvě různá vlastní čísla s geometrickými násobnostmi \(1\) a \(2\)?
a) 2   b) 5   c) 9   d) 10   e) 25   f) 29   g) 30   h) 125
3. Každá singulární matice:   a) má všechna vlastní čísla \(\lambda=0\),
b) má alespoň jedno \(\lambda=0\)   c) může a nemusí mít \(\lambda=0\)
d) má všechna \(\lambda\neq0\)   e) má alespoň jedno \(\lambda\neq0\).
4. Jakou posloupnost tvoří koeficienty charakteristického polynomu matice \(-\mathbf{I}_{10}\)?
a) samých 1   b) samých −1   c) binomických koeficientů
d) aritmetickou   e) geometrickou   f) faktoriálů
A: 1. lež
2. f
3. b
4. c
1. Kromě diagonálních může jít např. i o trojúhelníkové matice.
2. Jde o sjednocení dvou podprostorů dimenze 1 a 2, které jsou až na počátek disjunktní.
3. Determinant singulárních matic je 0, a proto \(x\) dělí charakteristický polynom. Matice \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}\) má i vlastní číslo 1.
4. Přímo z definice dostaneme: \(p_{-\mathbf{I}_{10}}(x)\) = \(\det(-\mathbf{I}_{10}-x\mathbf{I}_{10})\) = \((-1-x)^{10}\) = \((1+x)^{10}\) = \(\sum_{i=0}^{10}\binom{10}{i}x^i\).

Q: Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Vyhodnotíme-li maticový polynom s koeficienty z \(p_{\mathbf{I}_n}(x)\) na matici \(2\mathbf{I}_n\) (někdy psáno "p_{\mathbf{I}_n(2\mathbf{I}_n)}"), dostaneme matici:
a) 0   b) \(\mathbf{I}_n\)   c) \(-\mathbf{I}_n\)   d) \((-1)^n\mathbf{I}_n\)   e) \(2\mathbf{I}_n\)   f) \(2^n\mathbf{I}_n\)
2. Jsou oba součiny \(\cdot\) ve výrazu \(\DeclareMathOperator{\adj}{adj}(\det\mathbf{M})\cdot\mathbf{I}_n=\mathbf{M}\cdot\adj\mathbf{M}\) stejné binární operace?
a) ano   b) ne   c) jen pro matice řádu nejvýše 2.
3. Pravda nebo lež?
Pro každou matici \(\mathbf{A}\in T^{n\times n}\) jsou matice \(\mathbf{A}\), \(\mathbf{A}^2\), \(\ldots\), \(\mathbf{A}^n\) a \(\mathbf{I}\) lineárně závislé ve vektorovém prostoru \(T^{n\times n}\).
4. Charakteristický mnohočlen \(p_\mathbf{A}(x)\) lze zapsat jako \(p_\mathbf{A}(x)=x\cdot q(x)\), kde \(q\) má menší stupeň než \(p_\mathbf{A}\), pokud je \(\mathbf{A}\):
a) regulární   b) singulární   c) symetrická   d) jednotková.
A: 1. d
2. b
3. pravda
4. b
1. Třeba určit charakteristický polynom \(p_{\mathbf{I}_n}(x)=(1-x)^n\). Odtud \(p_{\mathbf{I}_n}(2\mathbf{I}_n)=(\mathbf{I}_n-2\mathbf{I}_n)^n=(-\mathbf{I}_n)^n=(-1)^n\mathbf{I}_n\).
2. První je skalární násobek, druhý je maticový součin. Jen u řádu 1 tvoří jediný prvek adjungované matice prázdný součin. Ten bývá definován jako jednotkový prvek tělesa.
3. Koeficienty lineární kombinace dokazující lineární závislost jsou podle Cayleyovy-Hamiltonovy věty koeficienty charakteristického polynomu \(p_\mathbf{A}\).
4. Koeficient \(b_0\) je nulový jen u singulárních matic, a z ostatních členů lze pak vytknout \(x\).

Q: Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Pravda nebo lež?
Jednotková matice je podobná jen sama sobě.
2. Pravda nebo lež?
Reálné matice \(\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) a \(\mathbf{B}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)si jsou podobné.
3. Pravda nebo lež?
Reálné matice \(\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) a \(\mathbf{B}=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\) si jsou podobné.
4. Kolik tříd ekvivalence má relace podobnosti na diagonizovatelných maticích ze \(\mathbb{Z}^{3\times3}_5\)?
a) 1   b) 5   c) 10   d) 25   e) 35   f) 50   g) 125
5. Singulární matice může být podobná:
a) jen nulové matici   b) nulové i nenulové matici
c) jen singulární matici   d) regulární i singulární matici
e) jen nediagonální matici   f) diagonální i nediagonální matici
A: 1. pravda
2. pravda
3. lež
4. e
5. b, c, f
1. Pro každou regulární \(\mathbf{R}\) dostaneme: \(\mathbf{R}^{-1}\mathbf{IR}=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{R}=\mathbf{I}\).
2. Trojúhelníková \(\mathbf{A}\) má dvě různá vlastní čísla 1 a 2 a diagonále, proto je diagonalizovatelná a podobná \(\mathbf{B}\).
3. Vlastní číslo 2 má v maticích \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\) různou geometrickou násobnost, proto si nemohou být podobné.
4. Počet tříd odpovídá různým možnostem výběru vlastních čísel. Neuspořádaných výběrů 3 prvků z 5-prvkové množiny je \(\binom{7}{3}\).
5. b,f) matice \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) je singulární nenulová diagonální; c) součin se singulární maticí nemůže dát regulární výsledek

Q: Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. 1. Každá permutační matice je:
a) symetrická   b) hermitovská   c) ortogonální   d) unitární
2. Hermitovské matice stejného řádu jsou uzavřeny na:
a) součty   b) reálné násobky   c) komplexní násobky,
d) součiny   e) transpozice   f) inverze
3. Unitární stejného řádu jsou uzavřeny na:
a) součty   b) reálné násobky   c) komplexní násobky
d) součiny   e) transpozice   f) inverze
4. Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla:
a) různá   b) ne nutně ryze komplexní   c) nenulová
d) se shodnou algebraickou a geometrickou násobností
A: 1. c, d
2. a, b, e, f
3. d, e, f
4. b, d
1. Permutační jsou reálné. Matice pro \((2, 3, 1)\) není symetrická.
Prvek \((\mathbf{A}^\top\mathbf{A})_{ij}\) je součin transpozice \(i\)-tého sloupce \(\mathbf{A}\) s \(j\)-tým. Různé sloupce permutační \(\mathbf{A}\) mají 1 v různých řádcích.
2. a,d,e) Ukáže se stejně jako pro symetrické matice, např.
\((\mathbf{A}+\mathbf{B})^H=\mathbf{A}^H+\mathbf{B}^H=\mathbf{A}+\mathbf{B}\), f) \((\mathbf{A}^{-1})^H=(\mathbf{A}^H)^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\),
b,c) \(((t\mathbf{A})^H)_{ij}=\overline{ta_{ji}}=\overline{t}\overline{a_{ji}}=\overline{t}a_{ij}\), neboli \((t\mathbf{A})^H=\overline{t}\mathbf{A}\).
Proto vztah \((t\mathbf{A})^H=\overline{t}\mathbf{A}=t\mathbf{A}\) platí jen pro reálná \(t\).
3. a) Např. \(\mathbf{I}\pm\mathbf{I}\), b,c) např. \(2\mathbf{I}\), d) viz pozorování,
e) \((\mathbf{A}^\top)^H=(\mathbf{A}^H)^\top=(\mathbf{A}^{-1})^\top=(\mathbf{A}^\top)^{-1}\).
f) podobně \((\mathbf{A}^{-1})^H=(\mathbf{A}^H)^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^{-1}\).
4. a,c) Např. nulová matice \(\mathbf{0}_{2,2}\) řádu 2; b) \(\mathbb{R}\subset\mathbb{C}\),
d) matice je diagonalizovatelná \(\Leftrightarrow\) násobnosti se shodují.

Q: Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Kolik různých Jordanových tvarů má matice \(\mathbf{A}\in\mathbb{C}^{8\times8}\) se dvěma různými vlastními čísly algebraické násobnosti 4, kde jedno má geometrickou násobnost 3 a druhé 1?
a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 6   f) 8   g) 9   h) 10   i) 12   j) 24
2. Pravda nebo lež? Platí-li pro \(\mathbf{A}, \mathbf{B}\in\mathbb{C}^{n\times n}\), že \(p_\mathbf{A}(x)=p_\mathbf{B}(x)\) a každé vlastní číslo má v obou maticích stejnou geometrickou násobnost, pak si jsou matice \(\mathbf{A}\) a \(\mathbf{B}\) podobné.
3. Každá komplexní čtvercová matice \(\mathbf{A}\) je podobná
a) \(-\mathbf{A}\)   b) \(\mathbf{A}^\top\)    c) \(\mathbf{A}^H\)    d) \(\mathbf{A}^{-1}\)    e) \(\mathbf{A}^2\)
4. Zobecněné vlastní vektory použité při převodu matice do
Jordanova normálního tvaru jsou lineárně nezávislé: a) vždy,
b) jen když přísluší různým vlastním číslům,
c) jen když přísluší různým Jordanovým buňkám.
A: 1. i
2. lež
3. b
4. a
1. Počty bloků udávají geometrické násobnosti. Z nich jsou dva shodné. Tyto 4 bloky lze uspořádat \(\binom{4}{2,1,1}=12\) způsoby.
2. Geometrická násobnost určuje počet bloků nikoli jejich násobnost. Protipříkladem jsou matice se dvěma bloky a týmž vlastním číslem, kde velikosti v jedné jsou 1, 3 a v druhé 2, 2.
3. U transpozice stačí ukázat, že libovolný Jordanův blok je podobný své transpozici, což plyne z geometrické násobnosti. Ostatní operace mění vlastní čísla na \(-\lambda,\overline{\lambda},\lambda^{-1}\) a \(\lambda^2\), resp.
4. Zobecněné vlastní vektory tvoří sloupce matic použitých v převodu do Jordanova normálního tvaru. Tyto matice jsou regulární, a proto jsou jejich sloupce vždy lineárně nezávislé.

Q: Je-li u některých otázek více možností správných, vyberte všechny.
1. Standardní skalární součin \(\langle(1, 2+i, 3i)^\top\vert(3, 2-i, 1)^\top\rangle\) je roven:
a) \(8-3i\)   b) \(8+i\)   c) \(6-i\)   d) \(6+7i\)   e) 11
2. Pravda nebo lež?
Zobrazení \((\mathbf{u}, \mathbf{v})\to\mathbf{u}^H\mathbf{v}\) je skalární součin na \(\mathbb{C}^n\).
(Všimněte si obráceného pořadí vektorů v \(\mathbf{u}^H\mathbf{v}\).)
3. Jaká může být dimenze množiny \(\{\mathbf{u}\in\mathbb{R}^3\colon \langle u\vert(1, 2, 3)^\top\rangle=1\}\) (vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu na R3 )?
a) 0   b) 0   c) 2   d) 3   e) nelze určit
4. Pro nenulové \(\mathbf{u}\) má výraz \(\left\|\frac{1}{\left\|\mathbf{u}\right\|}\mathbf{u}\right\|\) hodnotu:
a) 0   b) \(-\|\mathbf{u}\|\)   c) 1   d) \(\|\mathbf{u}\|^{-1}\)   e) žádná z možností
5. Pravda nebo lež? Cauchyho-Schwarzova nerovnost platí i vzhledem ke sčítání: \(\vert\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle\vert\leq\sqrt{\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{u}\rangle+\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{v}\rangle}\).
A: 1. d
2. lež
3. c
4. c
5. lež
1. Přímým výpočtem: \(\begin{multline*} \langle(1, 2 + i, 3i)^\top\vert(3, 2 - i, 1)^\top\rangle = 1\cdot3+(2+i)(2+i)+3i\cdot1 = \\ = 3+4+4i-1+3i = 6+7i \end{multline*}\)
2. Zobrazení je lineární vůči skalárním násobkům ve druhé složce.
3. Jde o afinní prostor určený jednou rovnicí o třech neznámých: \(u_1+2_2+3u_3=1\) a ten má dimenzi 2.
4. Z linearity normy vůči skalárním násobkům nebo přímo: \(\left\|\frac{1}{\left\|\mathbf{u}\right\|}\mathbf{u}\right\|=\sqrt{\left\langle\frac{1}{\left\|\mathbf{u}\right\|}\mathbf{u}\right\vert\left.\frac{1}{\left\|\mathbf{u}\right\|}\mathbf{u}\right\rangle}=\sqrt{\frac{1}{\left\|\mathbf{u}\right\|^2}\langle\mathbf{u}|\mathbf{u}\rangle}=\frac{\|\mathbf{u}\|}{\|\mathbf{u}\|}=1\)
5. Protipříklad lze sestavit už v prostoru \(\mathbb{R}^1\), kde se skalární součin shoduje s obvyklým násobením: \(|\langle(4)^\top|(3)^\top\rangle|=12\nleq5=\sqrt{\langle(4)^\top|(4)^\top\rangle+\langle(3)^\top|(3)^\top\rangle}\)