Title: Matfyz / Lineární algebra 2 / Definiční

Q: Definujte permutaci.
A: Permutace na množině \(\{1, 2, \ldots, n\}\) je bijektivní zobrazení \(p: \{1, 2, \ldots, n\} \to \{1, 2, \ldots, n\}\).
Zapisujeme ji pomocí tabulky, zkráceně například \((1, 3, 2)\), pomocí bipartitního grafu, podle grafu jeho cyklů, jejich seznamem, nebo pomocí tzv. permutační matice \(P\).

Q: Definujte znaménko permutace.
A: Znaménko permutace \(p\) je \(\operatorname{sgn}(p)=(-1)^{\text{#inverzí $p$}}\)
Každá transpozice \((i, j)\) má záporné znaménko.
Pro libovolné \(p, q\in S_n: \operatorname{sgn}(q\circ p)=\operatorname{sgn}(p)\operatorname{sgn}(q)\).
Důsledky:
- \(\operatorname{sgn}(p^{-1})=\operatorname{sgn}(p)\)
... neboť \(\operatorname{sgn}(p)\operatorname{sgn}(p^{-1}) = \operatorname{sgn}(p^{-1}\circ p)=\operatorname{sgn}(\text{id})=1\)
- \(\operatorname{sgn}(p)=(-1)^{\text{#transpozic libovolného rozkldu $p$ na transpozice}}\)
- \(\operatorname{sgn}(p)=(-1)^{\text{#sudých cyklů $p$}}\)
... sudé cykly se rozloží na lichý počet transpozic.

Q: Definujte determinant.
A: Determinant matice \(A\in T^{n\times n}\) je dán výrazem\[\det A=\sum_{p\in S_n}\operatorname{sgn}p\prod_{i=1}^na_{i,p(i)}\]

Q: Definujte adjungovanou matici.
A: Laplaceův rozvoj: Pro \(A\in T^{n\times n}\) a každé \(i\in\{1, \ldots, n\}\) platí:\[\det A=\sum_{j=1}^na_{ij}(-1)^{i+j}\det A^{ij}\]kde \(A^{ij}\) je podmatice získaná z \(A\) odstraněním \(i\)-tého řádku a \(j\)-tého sloupce.
Ukázka: Rozvoj determinantu podle druhého řádku\[|A|=\left|\begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ {\color{purple}2} & {\color{purple}3} & {\color{purple}0} \\ 3 & 5 & 3 \end{matrix}\right| ={\color{purple}2}\cdot{\color{red}(-1)^{2+1}\left|\begin{matrix} 2 & 5 \\ 5 & 3 \end{matrix}\right|} +{\color{purple}3}\cdot{\color{green}(-1)^{2+2}\left|\begin{matrix} 1 & 5 \\ 3 & 3 \end{matrix}\right|} +{\color{purple}0}\cdot{\color{yellow}(1)^{2+3}\left|\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \end{matrix}\right|}\]
Definice: Pro matici \(A\in T^{n\times n}\) je adjungovaná matice \(\operatorname{adj}A\) definovaná \((\operatorname{adj}A)_{{\color{red}ji}}=(-1)^{i+j}\det A^{{\color{red}ij}}\).
...faktory Laplaceova rozvoje podél \(i\)-tého řádku \(A\) ukládáme do \(i\)-tého sloupce \(\operatorname{adj}A\).
Ukázka:\[\operatorname{adj}A=\begin{pmatrix} 9 & {\color{red}19} & -15 \\ -6 & {\color{green}-12} & 10 \\ 1 & {\color{yellow}1} & 1 \end{pmatrix}\]\[(\operatorname{adj}A)_{{\color{red}12}}=(1)^{2+1}\left|\begin{matrix} . & 2 & 5 \\ {\color{red}*} & . & . \\ . & 5 & 3 \end{matrix}\right|=-\left|\begin{matrix} 2 & 5 \\ 5 & 3 \end{matrix}\right| = {\color{red}19}\]

Q: Definujte Laplaceovu matici.
A: Definice: Laplaceova matice grafu \(G\) na \(V_G=\{v_1, \ldots, v_n\}\) je \(\mathbf{L}_G\in\mathbb{R}^{n\times n}\) taková, že:
\[(\mathbf{L}_G)_{ij}=\begin{cases} \deg(v_i) & \text{pro } i=j\\ -1 & \text{jestliže } i\neq j\text{ a } (v_i, v_j)\in E_G \\ 0 & \text{jinak} \end{cases}\]
Příklad:
\[\mathbf{L}_G=\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 3 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\]

Q: Definujte polynom nad tělesem.
A: Definice: Polynom stupně \(n\) v proměnné \(x\) nad tělesem \(T\) je výraz\[p(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0\]kde \(a_n\neq0\) a \(a_n,\ldots,a_0\in T\). Píšeme \(p\in T(x)\).

Q: Definujte kořen polynomu a jeho násobnost.
A: Definice: Kořen polynomu \(p\in T(x)\) je \(r\in T\) takové, že \(p(r)=0\).
Definice: Násobnost kořene \(r\) z \(p\in T(x)\) je největší kladné celé číslo \(k\) takové, že \((x-r)^k\) dělí \(p\).

Q: Definujte algebraicky uzavřené těleso.
A: Definice: Pokud každý polynom \(p\in T(x)\) stupně alespoň jedna má alespoň jeden kořen, pak je těleso \(T\) algebraicky uzavřené.

Q: Definujte Vandermondovu matici.
A: Problém: Je dáno \(n+1\) dvojic \((x_i, y_i)\) pro \(i=0,\ldots,n\), určete \(p\in T(x)\) stupně nejvýše \(n\) takový, že \(p(x_i)=y_i\) pro každé \(i\).
Pozorování: Koeficienty \(a_0,\ldots,a_n\) z \(p\) jsou řešením soustavy:\[\begin{pmatrix} 1 & x_0 & x_0^2 & \ldots & x_0^n \\ 1 & x_1 & x_1^2 & \ldots & x_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & x_n & x_n^2 & \ldots & x_n^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_0 \\ a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_0 \\ y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}\]Matice této soustavy je Vandermondova matice \(\mathbf{V}_{n+1}(x_0,\ldots,x_n)\)

Q: Definujte vlastní číslo a vlastní vektor lineárního zobrazení.
A: Pro vektorový prostor \(V\) nad tělesem \(T\) a lineární zobrazení \(f\colon V\to V\), vlastní číslo zobrazení \(f\) je jakékoliv \(\lambda\in T\), pro které existuje vektor \(\mathbf{v}\in V\setminus\mathbf{0}\) takový, že \(f(\mathbf{v})=\lambda\mathbf{v}\).
Vlastní vektor odpovídající vlastnímu číslu \(\lambda\) je libovolný vektor \(\mathbf{v}\in V\) takový, že \(f(\mathbf{v})=\lambda\mathbf{v}\).

Q: Definujte vlastní číslo a vlastní vektor matice.
A: Má-li \(V\) konečnou dimenzi \(n\), pak \(f\) může být reprezentováno maticí \(\mathbf{A}=[f]_{B,B}\in T^{n\times n}\) vzhledem k nějaké bázi \(B\) prostoru \(V\).
Obdobně tak můžeme nadefinovat vlastní čísla \(\lambda\in T\) a vlastní vektory \(\mathbf{v}\in T^n\) matic - ty musejí splňovat \(\mathbf{Av}=\lambda\mathbf{v}\).

Q: Definujte charakteristický polynom.
A: Charakteristický polynom matice \(\mathbf{A}\in T^{n\times n}\) je \(p_{\mathbf{A}}(x)=\det(\mathbf{A}-x\mathbf{I}_n)\)

Q: Definujte algebraickou násobnost vlastního čísla.
A: Algebraická násobnost vlastního čísla \(\lambda_i\) matice \(\mathbf{A}\) je rovna násobnosti kořene \(\lambda_i\) v charakteristickém polynomu \(p_\mathbf{A}(x)\).

Q: Definujte geometrickou násobnost vlastního čísla.
A: Geometrická násobnost vlastního čísla je dimenze podprostoru jeho vlastních vektorů.

Q: Definujte podobné matice.
A: Matice \(\mathbf{A}, \mathbf{B}\in T^{n\times n}\) jsou si podobné, pokud existuje regulární matice \(\mathbf{R}\) taková, že \(\mathbf{A}=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{BR}\).

Q: Definujte diagonalizovatelnou matici.
A: Matice podobná diagonální matici je diagonalizovatelná.

Q: Definujte Jordanův blok.
A: Jordanův blok je čtvercová matice ve tvaru\[\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \ldots & 0 & \lambda \end{pmatrix}\](jedno vlastní číslo na diagonále, horní sekundární diagonála 1, jinak 0).

Q: Definujte Jordanův normální tvar matice.
A: \[\mathbf{J}= \begin{pmatrix} \mathbf{J}_{\lambda_{1}} \\ & \ddots \\ & & \mathbf{J}_{\lambda_{k}} \end{pmatrix}\]Každá čtvercová komplexní matice \(\mathbf{A}\) je podobná blokové matici v takzvané Jordanově normální formě.
Každý Jordanův blok \(\mathbf{J}_{\lambda_{i}}\) odpovídá vlastnímu číslu \(\lambda_i\) matice \(\mathbf{A}\). Více Jordanových bloků (i různých velikostí) může odpovídat \(\lambda_i\).

Q: Definujte zobecněný vlastní vektor.
A: Definice: Zobecněný vlastní vektor matice \(\mathbf{A}\) k vlastnímu číslu \(\lambda\) je libovolný vektor \(\mathbf{v}\) splnující \((\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})^i\mathbf{v}=\mathbf{0}\) pro nějaké \(i\in\mathbb{N}\).
Lze je řadit do řetězců \(\mathbf{v}_k, \ldots, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_1, \mathbf{0}\), kde \((\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}_i=\mathbf{v}_{i-1}\).
Totéž pro lineární zobrazení \(f\) odpovídá výrazu \(f(\mathbf{v}_i)-\lambda\mathbf{v}_i=\mathbf{v}_{i-1}\).
V jiné notaci: \(\mathbf{v}\in\ker((\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})^i)\), resp. \(\mathbf{v}\in\ker((f-\lambda\text{id})^i)\)

Q: Definujte hermitovskou matici.
A: Hermitovská transpozice komplexní matice \(\mathbf{A}\in\mathbb{R}^{m\times n}\) je matice \(\mathbf{A}^\mathsf{H}\in\mathbb{C}^{n\times n}\) kde \((\mathbf{A}^\mathsf{H})_{ij}=\overline{a_{ij}}\).
Matice \(\mathbf{A}\) je hermitovská, pokud \(\mathbf{A}=\mathbf{A}^\mathsf{H}\).

Q: Definujte unitární matici.
A: Matice \(\mathbf{A}\) je unitární, pokud \(\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^\mathsf{H}\).

Q: Definujte skalární součin pro vektorové prostory nad komplexními čísly.
A: Pruhem značíme komplexně sdružené číslo \(\overline{a+bi}=a-bi\).
Definice: Skalární součin na vektorovém prostoru \(V\) nad \(\mathbb{C}\) je zobrazení, které přiřadí každé dvojici vektorů \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V\) skalár \(\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle\in\mathbb{C}\) tak, že jsou splněny následující axiomy
1. \(\forall\mathbf{u}\in V\colon \langle\mathbf{u}\vert\mathbf{u}\rangle\in\mathbb{R}^+_0\)
2. \(\forall\mathbf{u}\in V\colon\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{u}\rangle=0\Leftrightarrow\mathbf{u}=\mathbf{0}\)
3. \(\forall\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V\colon \langle\mathbf{v}\vert\mathbf{u}\rangle=\overline{\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle}\)
4. \(\forall \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\in V\colon \langle\mathbf{u} + \mathbf{v}\vert\mathbf{w}\rangle=\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{w}\rangle+\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{w}\rangle\)
5. \(\forall\mathbf{u}\in V, \forall t\in\mathbb{C}\colon \langle t\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=t\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle\)
(Formálně je každý skalární součin zobrazení \(V\times V\to\mathbb{C}\).)
Skalární součin na \(V\) nad \(\mathbb{R}\) se omezuje na \(\mathbb{R}\), tj. obor hotnot je \(\mathbb{R}\), přičemž platí \(\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{u}\rangle=\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle\) ve třetím axiomu a \(t\in\mathbb{R}\) v posledním.

Q: Definujte normu spojenou se skalárním součinem.
A: Je-li \(V\) prostor se skalárním součinem (nad \(\mathbb{C}\) nebo \(\mathbb{R}\)), pak norma odvozená ze skalárního součinu je zobrazení \(V\to\mathbb{R}_0^+\) přiřazující vektoru \(\mathbf{u}\) jeho normu \(\lVert\mathbf{u}\rVert=\sqrt{\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{u}\rangle}\).

Q: Definujte kolmé vektory.
A: Vektory \(\mathbf{u}, \mathbf{v}\) z prostoru se skalárním součinem jsou kolmé, pokud \(\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=0\). Kolmé vektory značíme \(\mathbf{u}\perp\mathbf{v}\).

Q: Definujte ortonormální bázi.
A: Bázi \(B=\{\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n\}\) prostoru \(V\) se skalárním součinem nazveme ortonormální bází, pokud platí:
- \(\mathbf{b}_i\perp\mathbf{b}_j\) pro každé dva různé vektory \(\mathbf{b}_i, \mathbf{b}_j\in B\),
- \(\lVert\mathbf{b}_i\rVert=1\) pro každé \(\mathbf{b}_i\in B\).

Q: Definujte Fourierovy koeficienty.
A: Tvrzení: Nechť \(B=(\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n)\) je ortonormální báze prostoru \(V\). Pro každé \(\mathbf{v}\in V\) platí: \(\mathbf{v}=\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{b}_1\rangle\mathbf{b}_1+\ldots+\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{b}_n\rangle\mathbf{b}_n\).
Koeficienty \(\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{b}_i\rangle\) se nazývají Fourierovy koeficienty.

Q: Definujte kolmou projekci.
A: Definice: Nechť \(U\) je prostor se skalárním součinem a \(V\) je jeho podprostor s ortonormální bazí \(B=(\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n)\).
Zobrazení \(p_B\colon U\to V\) definované \(p_B(\mathbf{u})=\sum_{i=1}^n\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{b}_i\rangle\mathbf{b}_i\) je ortogonální projekce \(U\) na \(V\).

Q: Definujte isometrii.
A: Lineární zobrazení \(f\) mezi prostory \(V\) a \(W\) je isometrie, zachovává-li skalární součin, tj. \(\forall\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V\colon \langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=\langle f(\mathbf{u})\vert f(\mathbf{v})\rangle\).
Ukázka: Identita zachovává vektory, tedy i skalární součin.
Ukázka: Osová souměrnost zachovává skalární součin.

Q: Definujte ortogonální doplněk.
A: Ortogonální doplněk podmnožiny \(V\) prostoru \(U\) se skalárním součinem je \(v^\top=\{\mathbf{u}\in U\colon \forall\mathbf{v}\in V\colon \mathbf{u}\perp\mathbf{v}\}\).
Ukázka:

Q: Definujte Gramovu matici.
A: Věta: Nechť \(V\) je prostor se skalárním součinem a bází \(B=(\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n)\). Potom takzvaná Gramova matice \(\mathbf{A}\) definovaná \(a_{ij}=\langle\mathbf{b}_i\vert\mathbf{b}_j\rangle\) splňuje: \(\forall\mathbf{u}, \mathbf{v}\in V\colon\langle\mathbf{u}\vert\mathbf{v}\rangle=[\mathbf{v}]_B^\mathsf{H}\mathbf{A}^\top[\mathbf{u}]_B\)
Vlastnosti Gramovy matice:
- Z \(\langle\mathbf{b}_i\vert\mathbf{b}_j\rangle=\overline{\langle\mathbf{b}_j\vert\mathbf{b}_i\rangle}\) máme \(a_{ij}=\overline{a_{ji}}\), t.j. matice je hermitovská
- Z \(\langle\mathbf{v}\vert\mathbf{v}\rangle>0\) pro \(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\) máme \([\mathbf{v}]_B^\mathsf{H}\mathbf{A}^\top[\mathbf{v}]_B>0\).

Q: Definujte pozitivně definitní matici.
A: Hermitovská matice \(\mathbf{A}\) řádu \(n\) se nazývá pozitivně definitní, pokud pro ni platí: \(\forall\mathbf{v}\in\mathbb{C}^n\setminus\mathbf{0}\colon \mathbf{v}^\mathsf{H}\mathbf{Av}>0\).
Ukázka: \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}\)

Q: Definujte Choleského rozklad matice.
A: Věta: Pro každou pozitivně definitní matici \(\mathbf{A}\) existuje jednoznačná horní trojúhelníková matice \(\mathbf{U}\) s kladnou diagonálou taková, že \(\mathbf{A}=\mathbf{U}^\mathsf{H}\mathbf{U}\). Matice \(\mathbf{U}\) se nazývá Choleského rozklad.

Q: Definujte bilineární formu.
A: Nechť \(V\) je vektorový prostor nad tělesem \(T\) a nechť zobrazení \(f\colon V\times V\to T\) splňuje:
1. \(\forall \mathbf{u}, \mathbf{v}\in V, \forall t\in T\colon f(t\mathbf{u}, \mathbf{v})=f(\mathbf{u}, t\mathbf{v})=tf(\mathbf{u}, \mathbf{v})\)
2. \(\forall \mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\in V\colon f(\mathbf{u}+\mathbf{v}, \mathbf{w})=f(\mathbf{u}, \mathbf{w})+f(\mathbf{v}, \mathbf{w})\)
3. \(\forall\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\in V\colon f(\mathbf{u}, \mathbf{v} + \mathbf{w})=f(\mathbf{u}, \mathbf{v})+f(\mathbf{u}, \mathbf{w})\)
Poté se \(f\) nazývá bilineární forma na \(V\).
Bilineární forma je symetrická, když \(\forall \mathbf{u}, \mathbf{v}\in V\colon f(\mathbf{u}, \mathbf{v})=f(\mathbf{v}, \mathbf{u})\).

Q: Definujte kvadratickou formu.
A: Zobrazení \(g\colon V\to T\) se nazývá kvadratická forma, pokud existuje bilineární forma \(f\) taková, že \(g(\mathbf{v})=f(\mathbf{v}, \mathbf{v})\) pro všechna \(\mathbf{v}\in V\).

Q: Definujte matici bilineární formy vzhledem k bázi.
A: Definice: Nechť \(V\) je vektorový prostor nad tělesem \(T\) s bází \(B=(\mathbf{b}_1, \ldots, \mathbf{b}_n)\). Matice bilineární formy \(f\) vzhledem k bázi \(B\) je matice \(\mathbf{A}\) o složkách \(a_{ij}=f(\mathbf{b}_i, \mathbf{b}_j)\).
Matice kvadratické formy \(g\) je matice symetrické bilineární formy \(f\) odpovídající \(g\), pokud taková symetrická \(f\) existuje.
Ukázka: Pro \(v=\mathbb{Z}_5^2\) a přirozenou bázi \(E\), má bilineární forma \(f(\mathbf{u}, \mathbf{v})=u_1v_1+2u_1v_2+4u_2v_1+3u_2v_2\) matici \(\mathbf{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\) a kvadratická forma \(g(\mathbf{v})=v_1^2+v_1v_2+3v_2^2\) má matici \(\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}\).
Na \(V=\mathbb{Z}_2^2\) odpovídá kvadratické formě \(f(\mathbf{v})=v_1v_2\) např. bilineární forma s maticí \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), ale žádná symetrická.

Q: Definujte analytické vyjádření bilineární formy vůči standardní bázi.
A: Definice: Analytické vyjádření bilineární formy \(f\) nad \(T^n\) s maticí \(\mathbf{A}\) je homogenní polynom \(f\) druhého stupně ve \(2n\) proměnných daný výrazem: \(f((u_1, \ldots, u_n)^\top, (v_1, \ldots, v_n)^\top)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}u_iv_j\). ...analogicky pro kvadratické formy a/nebo vzhledem k vázi \(V\).
Ukázka: Forma \(f\) s maticí \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\) má analytické vyjádření \(f(\mathbf{u}, \mathbf{v})=u_1v_1+2u_1v_2+4u_2v_1+3u_2v_2\).

Q: Definujte signaturu formy.
A: Nechť reální kvadratická forma \(g\) má diagonální matici \(\mathbf{D}\) obsahující pouze \(1\), \(-1\) a \(0\). Signatura formy \(g\) je trojice \((\#1, \#-1, \#0)\), počítáno na diagonále matice \(\mathbf{D}\).

Q: Definujte polární bázi.
A: Polární báze dává diagonální matici kvadratické formy.