Pokus o sepsání a vysvětlení pojmů z logiky - především podle cvičení Jana Hrice. Upravujte dle libosti. Též diskutujte na diskusní stránce (nahoře discussion). Může být velmi nepřesné, mělo by sloužit pro intuitivní pochopení :-) Za správnost se zde neručí.

Celé to vlastně dobře pokrývají Štěpánkova skripta - velmi čtivé popsání základních definic. Takže tahle stránka je dost zbytečná...

• jazyk L - množina konstant, relačních symbolů, funkčních symbolů a predikátových symbolů

• L-formule - formule v jazyce L

  • uzávěr formule $\phi$ kde $x_1,\dots ,x_n$ jsou její volné proměnné je formule $\forall x_1,\dots ,\forall x_n(\phi )$

• L-Teorie - množina axiomů v jazyce L

  • sporná/bezesporná - všechny formule jsou dokazatelné - jde dokázat spor/opak

  • úplná - bezesporná a v jazyce L je dokazatelná každá formule nebo její komplement (negace)

  • kompletní - má právě jeden model

  • k-kategorická - má právě jeden model kardinality k ($\omega$-kategorická - má jeden nekonečný model)

  • ektivalentní teorie - jsou teorie, které jsou extenze jedna druhé

  • henkinovská - množina D henkinovských konstant T je množina konstant z T takových, že pro každou L-formuli $\phi$s jednou volnou proměnnou existuje konstantní symbol d z D tak, že $\exists x\phi \to \phi (x/d)$ je v T dokazatelná, henkinovská teorie je pak teorie jejíž konstantní symboly tvoří množinu henkinovských konstant této teorie

  • formule a T

    • dokazatelná v T - existuje důkaz (posloupnost formulí tvořených formulemi z T, axiomy a pravidlem modus ponens) formule

    • vyvratitelná v T - negace je dokazatelná

    • nezávislá v T- je dokazatelná ale je dokazatelná i její negace

    • konzistentní v T- negace není dokazatelná

• Fm - množina formulí

• struktura - interpretace jazyka (univerzum, relace, funkce, predikáty)

  • kanonická

    • pro L bez rovnosti je to struktura to je struktura obsahující pouze konstantní funkce a relace na nich ??

    • pro L s rovností se musí dodefinovat relace ekvivalence a pak je to struktura s termy faktorizovanými touto relací

• model(D) - struktura jazyka L taková, že všechny formule z množiny D jsou pravdivé, např. ohodnocení proměnných (u výrokové logiky)

• Thm(T) - množina všech dokazatelných formulí nad teorií

• axiomatika - množina formulí neobsahující logické axtiomy (mimologické axiomy)

• axiomatizovatelná teorie - je ekvivalentní nějaké axiomatice

  • konečně axiomatizovatelná teorie - ekvivalentní konečné axiomatice

• rozšíření/extenze jazyka a teorie * maximální * bezesporná - nevytvoříme spornou teorii * jednoduchá - nerozšiřujeme jazyk * konzervativní - všechno co platilo, platí i potom * jazyka $L\to L^{\prime }$ - přidání symbolů do jazyka (funkčních i/nebo relačních) * teorie $T\to T^{\prime }$ - přidáme axiom(y) do teorií :: potom platí: $T\subseteq T^{\prime }$ :: $Thm(T)\subseteq Thm(T^{\prime })$ :: $M(T,\phi )\supseteq M(T^{\prime },\phi )$

• zkratka $M(T,\phi )==M(T\cup \phi )$

• Delo - teorie hustých uspořádání

  • lineární uspořádání $\forall x,yx\le y\vee yx$

  • druhý směr není v jazyce '>=' .. je třeba definovat x>=y := y<=x

  • diskrétní

---- <!-- další cviko -->

• term

• konstatní designátory (?)

  • designátor - nositel významu = výraz

  • desginát - význam (jeden konkrétní) výrazu

• herbrandovo universum

  • $\mathcal{A}=s^1,0$ ... 0, s0, ss0, sss0, ...

  • $\mathcal{A}={+}^2,0$ ... 0; 0+0; 0+(0+0), (0+0)+0, (0+0)+(0+0);

• faktorizace - (značí se x/~) x rozseká pomocí ~ (rovnítka) do tříd ekvivalence

• robinsonova aritmetika

  • konstatní symbol: nula 0 a funkční symbol s aritou 1: následník s(x) :: (Q1) 0+x = x :: (Q4) 0+s0 = s(0+0)

  • za použití výše uvedených pravidel platí: 0 + ss0 = s(0+s0) + ss(0+0) = ss(0)

---- <!-- další cviko -->

• aritmetizace -

• funkce je rekurzivní - lze je zapsat dajú sa naprogramovať a sú všade definované (pozri Vyčíslitelnost I)

• relace definuje podmnožinu $R\subseteq N^k$, tam kde charakteristická funkce f(R) = 1 --> relace i char.fce jsou to samé, obě též rekurzivní

Zdroj: Logika pro právníky - slovníček