{{TIN065 Prednášky}}
Vieme klasifikovať množiny a predikáty podľa ich aritmetického tvaru. Triedime ich do skupín a podľa ich prefixu. Keď urobíme zjednotenie cez všetky , dostaneme aritmetickú hierarchiu.
Tiež vieme, že nemajú univerzálny (ani ) predikát, ale vyššie už univerzálny predikát máme. Tým máme výhodu oproti zložitosti a ich polynomiálnej hierarchii pretože tam nemajú univerzálny polynóm. Tiež ešte vieme, že je neprázdne.
Minule sme si definovali úplnosť a povedali si vetu o hierarchii, tak ich tu skopírujem:
úplnosť :: A je úplná ak je v a hocijaká B zo sa dá 1-previesť na A.
Veta o hierarchii:
# je úplná. #A je rekurzívne spočetná v
#
Táto veta nám zväzuje aritmetickú hierarchiu s operáciou skoku.
Dôkaz: Časť 3 vyplýva z časti 2 a z postovej vety. Majme množinu A:
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 47: …, \overline{A} \̲m̲b̲o̲x̲{ sú rekurzívne…
. Prvá ekvivalencia je z postovej vety, druhá z časti 2 tejto vety a tretia z toho, že ak , tak .Je možné sa niekedy stretnúť so značením . To je synonymum pre .
Časť 1 opäť vyplýva z časti 2. Pre je rekurzívne spočetné v kvôli operácii skoku a podľa druhej časti vety je v . Opačným smerom ak máme niečo v , tak podľa časti 2 je to rekurzívne spočetné v a podľa vlastnosti skoku je to 1-prevoditeľné na .
Takže nám treba dokázať druhú časť vety o hierarchii. To sa urobí indukciou podľa . Pre to vieme. Ak je A rekurzívne spočetná, tak sa zapíše pomocou existenčného kvantifikátoru na rekurzívny predikát. A opačne.
Tak sa pozrime na indukčný krok. najprv jedným smerom.
Majme množinu . A sa dá teda vyjadriť v tvare . Odrežme to za prvým kvantifikátorom. To, čo dostaneme je v . Negácia toho je v a podľa indukčného predpokladu je rekurzívne spočetná v . z vlastnosti skoku je rekurzívna v . Keď je negácia rekurzívna v , tak aj bez negácie je to rekurzívne v a po pridaní odtrhnutého kvantifikátoru späť je to rekurzívne spočetné v .
Opačným smerom si ukážeme dva postupy.
Predpokladajme, že A je rekurzívne spočetné v A je teda definičným oborom pre nejaké z. Teda . je rekurzíva podmienka, takže nám zostáva niečo tvaru: a potrebujeme zistiť, aká zložitá je táto vec. je vlastne konečná konjunkcia dĺžky a hovorí nám: a pre každé . Tu použijeme indukčný predpoklad a to taký, že to, že je a je (pretože je rekurzívne spočetná v a z indukčného predpokladu je to a preto aj je . Takže naše je vlastne , kde to vnútri je konjunkcia mnohých () a vecí. Prenexnými operáciami môžeme vytiahnúť zo jeden kvantifikátor vonku a zvyšok je .
Druhá možnosť je použiť vetu o limitnej vyčísliteľnosti. Ak máme
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 3: A=\̲m̲b̲o̲x̲{dom}(\Phi_z(\e…
, tak podľa vety o limitnej vyčísliteľnosti: , kde je ORF. Takže a to je práve vtedy, keď existuje tá limita. To je práve vtedy, keď . Tá vec v poslednej zátvorke je rekurzívna v a podľa indukčného predpokladu je v prieniku , čiže aj v . Máme . Všeobecný kvantifikátor necháme pohltiť v a existenčný z toho vyrobí .Relativizácia funguje aj na túto vetu: a je rekurzívne spočetná v práve vtedy, keď .
Tým skončila teória prednášky a nasledovali dva príklady, kde sa ukazovalo, že Tot je úplná a že Rek je úplná. Snáď to tu ešte dopíšem.
Príklad: Tot je úplná.
Vieme, že Tot je v za menej ako s krokov.). Ak vezmeme ľubovoľnú , tak potrebujeme ukázať, že sa dá 1-previesť na Tot. Naša sa dá zapísať ako
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 58: …ace{Q(x,y,s)}_{\̲m̲b̲o̲x̲{rekurzívne}})
. Tak si vytvoríme pomocnú ČRF . Ak máme prvok , tak pre každé existuje , také, že platí (tiež sa hovorí, že existuje svedok alebo že nastane udalosť (tieto pojmy neznamenajú to isté, treba skontrolovať, čo to presne je). Ak , tak sa také aby platilo, pre nejaké nájsť nepodarí. A naše také hľadá. Podľa s-m-n vety je , kde je ORF (dokonca by to mala byť PRF), ktorá prevádza na Tot (ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 23: … \iff g(x) \in \̲m̲b̲o̲x̲{Tot}
). Podrobnejšie: Ak , tak pre každý nájde svedka , teda sa zastaví (aParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 10: g(x) \in \̲m̲b̲o̲x̲{Tot}
) a pre svedka pre nejaké nenájde, takže tam nezastaví (a pretoParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 13: g(x) \notin \̲m̲b̲o̲x̲{Tot}
).Nakoniec sme si povedali a zosumarizovali, že
Fin je -úplná.
Tot, Inf sú -úplné/
Rek je -úplná.
Tak sa pozrime na Rek a ukážme, že je úplná.
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 1: \̲m̲b̲o̲x̲{Rek}=\{x:W_x \…
.Dôkaz: Nech , teda , kde je -svedok.
Majme
čaká na svojho svedka
každý stĺpec je závislý počiatočný úsek, ak to platí pre , tak to platí aj pre menšie od .
Ak , potom v existuje stĺpec , ktorý je plný, lebo potom to platí pre všetky . Ak , potom všetky stĺpce v sú konečné.
stĺpce rastú smerom doprava, s bodmi z pridaj do aj .
Ak , potom na začiatku niekoľko konečných stĺpcov a potom všetko nekonečné totálne stĺpce.
Ak , potom všetky stĺpce sú konečné (aj keď neklesajúce).
ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \mbox at position 46: …n K \And j \leq\̲m̲b̲o̲x̲{ počet krokov …
. je niekoľko konečných a zvyšok nekonečné až totálne - rekúrzivne. sú všetky stĺpce konečné v , ale je nerekurzívna.
Ak by bola rekurzívna, tak musí existovať ORF , ktorá dáva min. . padne do za menej ako krokov potom je rekurzívna, čo je spor.
je rekurzívna.
Dôkaz si treba pár krát sparsovať, uvedomiť si čo spraví , keď ju pridáme, atď.