{{Sources| Ze zápisků k zkoušce z ZSV

09/10, 14/15: Aproximacní algoritmy a schémata.

}}

Aproximační algoritmy - definice a příklad (6×🎓)

{{Zkazky|

• Aproximacní algoritmy (2015) - Definice, chtel pomerovou i relativni chybu. Ukazal jsem algoritmus pro BIN PACKING, ktery je nejhure 2x horsi nez optimalni algoritmus. Pak definice aproximacniho schematu, polynomialniho apr. sch. i uplnepolynomialniho apr. schematu. Byl jsem dotazan, zda znam nejake schema (Batoh podle poznmek pana Kucery) a jake schema to je (uplne polynomialni nebo jen polynomialni).

• Aproximacni schemata (2014, konzultace) - definice Aproximační algoritmy a schémata a jejich souvislost s pseudopolynom. algoritmy, příklad schémata pro batoh nebo soucet podmnozin

• Aproximacni schemata (2014, Kučera) - definicia optimalizacnej ulohy, definicia aproximacneho algoritmu, aproximacneho pomeru, aproximacneho schema, PAS a UPAS, - schema pre BATOH

• Aproximacne alg a schemy (2009, Fiala) - Pripraveny papier posluzil na prvu minutu, kedy si to skusajuci precital. Mal som tam plus minus vsetko. Este sa opytal preco nemozem TSP aproximovat s lubovolne malou chybou (v nejakom rozumnom case). Nevedel som , tak mi pomohol otazkou: Co sa stane, ak mi niekto da graf na 100 vrcholoch a povoli chybu pod 1%? Musel by som najst optimalne riesenie. Velmi rychla odpoved.

• Aproximacne algoritmy (2009, Loebl?) - Pripravil som si 2 a4 s definiciami AA, pom. rel. chyba, AS, PAS, UPAS. Nakoniec som dal priklad vrch.pokrytie s dokazom ze pom.chyba je 2. Skusajuci to asi za 5s preletel ocami a spytal sa ci viem zlozitejsi algortimus, na co som odpovedal ze nie a on ze ok a koniec. Odhad:2

• Aproximační algoritmy a schémata (2009, Majerech) - Definice AA, poměrová a relativní chyba, AS, PAS, ÚPAS, ÚPAS pro SP (pozor na písmena v popisu PROŘEŽ (1-d)z < y < z), AA pro TSP

• Pseudopolynomiální algoritmy a aproximační schémata (2008, Trpělivý teoretik) - Napsal jsem špatnou definici pseudopolynomiálních algoritmů, aproximací, AS, a ÚPAS. Na dotaz jestli znám nějaké AS jsem zmínil UPAS pro SP, a to že patrně obsahuje nějakou proceduru co cosi prořezává. Posléze se mi podařilo přijít na správnou definici pseudopolynomiálních algoritmů, a to jak by zhruba měl vypadat pseudopolynomiální algoritmus pro problém batohu. Tou dobou ale už všichni ze zkoušky odešli tak mě nechal jít :-)

}} Optimalizační úloha A je buď maximalizační nebo minimalizační a skládá se z těchto tří částí:

1. Množina instancí D_A ⊆ {0, 1}*

2. Množina přípustných řešení S_A(I) ⊆ {0, 1}* , ∀I ∈ D_A

3. **Hodnota řešení **σ je fce μ_A(I, σ)_{'' ''}, která ∀I ∈ D_A a ∀přípustnému řešení σ ∈ S_A(I) přiřadí kladné racionální číslo μ_A(I, σ)

• Optimální řešení σ ∈ S_A(I), pro něž je μ_A(I, σ) maximální (pro maximalizační úlohu A) nebo minimální (pro minimalizační A)

  • 💡 tj. pro maximalizační: μ_A(I, σ) = max{ μ_A(I, σ) | σ ∈ S_A(I) }

  • 💡 tj. pro minimalizační: μ_A(I, σ) = min{ μ_A(I, σ) | σ ∈ S_A(I) }

  • OPT_A(I) je hodnota optimálního řešení instance I ∈ D_A

    • 💡 tj. OPT_A(I)** **= μ_A(I, σ), kde σ je optimální řešení intance I

• ALG je aproximačním algoritmem pro optimalizační úlohu A, pokud ∀vstup I ∈ D_A vrátí řešení σ ∈ S_A(I)

  • 💡 pro S_A(I) = ∅ ohlásí že přípustné řešení neexistuje

• ALG(I) je hodnota řešení ALG na instanci I ∈ D_A

  • 💡 v tj. ALG(I) = μ_A(I, σ), kde σ ∈ S_A(I) je přípustné řešení vrácené algoritmem ALG

• Aproximační poměr ε ≥ 1 algoritmu ALG pokud ∀I ∈ D_A platí: $\epsilon \ge max\left\{\frac{OPT(I)}{ALG(I)},\frac{ALG(I)}{OPT(I)}\right\}$

  • tj. OPT(I) ≤ ε·ALG(I) (maximalizační úlohy)

  • ALG(I) ≤ ε·OPT(I) (minimalizační úlohy)

  • 💡 nekdy se nazývá také poměrová chyba a značí se ρ(n)

• $\text{"relativnıˊ chyba"}\ge \frac{|ALG(I)-OPT(I)|}{OPT(I)}$

Příklad aproximačního algoritmu pro Bin Packing

Bin Packing – BP, úloha ::

• Instance : Konečná množina předmětů U = {u₁, .., uₙ}, s každým předmětem asociovaná velikost 0 ≤ s(u) ≤ 1, což je racionální číslo.

• Cíl : Najít rozdělení všech předmětů do co nejmenšího počtu po dvou disjunktních množin U₁, .., Uₘ takové, že každá množina může mít velikost max 1.

:: 💡 Naším cílem je tedy minimalizovat m.

Algoritmus (First Fit pro Bin Packing – FF-BP - 💡 zřejmě polynomiální) ::

• Ber jeden předmět po druhém,

  • ∀ předmět u najdi první koš, do nějž se tento předmět ještě vejde,

  • pokud takový koš neexistuje, přidej nový koš obsahující jen předmět u

{{theorem

| ∀ instanci I ∈ DBP platí, že FF-BP(I) <2·OPT<sub>BP | Aproximační poměr FF-BP je 2 - tj. max 2x horší než optimum

}} {{collapse|Dk:|2=

:: V řešení, které vrátí $FF-BP$ je nejvýš jeden koš, který je zaplněn nejvýš z poloviny. Kdyby totiž existovaly dva koše $U_i$ a $U_j$ pro $i<j$, které jsou zaplněny nejvýš z poloviny, tak by $FF-BP$ nepotřeboval zakládat nový koš pro předměty z $U_j$, všechny by se vešly do $U_i$. :: Pokud $FF-BP(I)>1$, pak z toho plyne, že: $FF-BP(I)<\lceil 2{\Sigma }_{i=1}^{n}s(u_i)\rceil \le 2\lceil {\Sigma }_{i=1}^{n}s(u_i)\rceil$, kde první nerovnost plyne z toho, že po zdvojnásobení obsahu jsou všechny koše plné až na jeden, který může být zaplněn jen částečně. :: Rovnosti bychom přitom dosáhli jedině ve chvíli, kdy by byly všechny koše zaplněné právě z poloviny, což není podle našeho předpokladu možné. :: Druhá nerovnost plyne z vlastností zaokrouhlování. :: Na druhou stranu musí platit, že $OPT(I)\ge \lceil {\Sigma }_{i=1}^{n}s(u_i)\rceil$. :: Dohromady tedy dostaneme, že $FF-BP(I)<2.OPT(I)$. Pokud $FF-BP(I)=1$, pak i $OPT(I)=1$ a i v tomto případě platí ostrá nerovnost.

}}

Aproximační schémata (🎓)

ALG(I, ε) je aproximačním schématem pro úlohu A, pokud pro I ∈ D_A a racionální číslo ε > 0 vydá řešení σ ∈ S_A(I), jehož hodnota se od optimální liší s aproximačním poměrem $(1+\epsilon )\ge max\left\{\frac{OPT(I)}{ALG(I,\epsilon )},\frac{ALG(I,\epsilon )}{OPT(I)}\right\}$

• Tj. pro maximalizační úlohu platí, že: OPT(I) ≤ (1 + ε) ALG(I, ε)

• a pro minimalizační úlohu platí, že: ALG(I, ε) ≤ (1 + ε) OPT(I)

ALG_'''ε''' je instance algoritmu ALG se zafixovanou ε

• ALG je polynomiální aproximační schéma (PAS), pokud ALG_ε má časovou složitost polynomiální v <u>len(I)</u> (💡 tj. délce vstupu n, ∀ε)

• ALG je úplně polynomiální aproximační schéma (ÚPAS), pokud ALG má časovou složitost polynomiální v <u>len(I) a 1/ϵ</u>

  • 💡 tj. PAS může mít 1/ϵ v exponentu čas.složitosti (např. O(n^1/ϵ)) ale ÚPAS <u>nesmí</u>

Image:Schemes-input.jpg

Příklad ÚPAS pro Batoh - BAPX ::

• Vstup: Velikost batohu B, pole 0 <s[1..n] ≤ B velikostí předmětů a pole v[1..n] cen předmětů, racionální číslo ε > 0.

• Otázka: Množina M předmětů, jejichž souhrnná velikost nepřesahuje B, maximalizujeme celkovou cenu.

BAPX(s, v, B, ε)

1. urči v[m] největší cenu

2. if (1 + ε ≥ n) return {m} <font color="grey"> //nemá cenu pokračovat, zaokrouhlili bysme moc</font>

3. t = ⌊log₂( ε·v[m] / n )⌋ - 1

4. c je nové pole délky n

5. for (i = 1; i ≤ n; i++) c[i] = ⌊v[i] / 2ᵗ⌋

6. return Batoh(s, c, B) <font color="grey"> //volání původního pseudopolynomiálního algoritmu iterující přes V = Σv</font>

💡 není nutné znát všechny logaritmy v algoritmu, jenom nějak stručně vysvětlit myšlenku

💡 snažíme se omezit celkovou cenu V = Σv, algoritmus přeškáluje (normalizuje) ceny předmětů pomocí ε a v[m] a zaokrouhlí na ⌊⌋

💡 Předpokládáme, že (∀i ∈ {1, ..., n}) [0 < s[i] ≤ B]

• Schéma BAPX pracuje v čase O(n³ / ε)

{{Statnice I2}}