<b>Otázky & odpovede</B>

  • Ako použiť Lagrangián a Hamiltonián v kovariantnom popise častice v poli? Nekovariantne to nie je problém. Pohyb častice medzi pevnými časmi <I>t_1, t_2</I> minimalizuje účinok

<math> S_{12} = \int_{t_1}^{t_2} L dt,

</math> kde obyčajný Lagrangián je

<math> L = -mc^2\sqrt{1-\frac{\mathbf v^2}{c^2}} - q\phi + q\mathbf A \cdot \mathbf v.

</math> Prechod k Hamiltonovskému popisu je jednoduchý - Hamiltonián je

<math> H = \mathbf p \cdot \mathbf v - L = \sqrt{(\mathbf p - q\mathbf A)^2 c^2 + m^2c^4} + q\phi

</math> a správne pohybové rovnice sú

kde <math>

\frac{d\mathbf r}{dt} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf p}~~~,~~~\frac{d\mathbf p}{dt} = - \frac{\partial H}{\partial \mathbf r}. </math>

Lenže ak túto procedúru skúsime zopakovať kovariantne, narazíme na problém. Ako vôbec sformulovať princíp účinku kovariantne? Ak budeme integrovať cez vlastný čas, účinok je

<math> S_{12} = \int_{\tau_1}^{\tau_2} -mc\sqrt{-u_\mu u^\mu} + qA_\mu u^\mu d\tau.

</math> Ak teraz <I>zmeníme</I> pôvodný princíp účinku na predpoklad, že pri fixovaných hraniciach tau je variácia tohoto integrálu nulová, dostaneme hybnosť

<math> p_\mu = \frac{mc\frac{dx_\mu}{d\tau}}{\sqrt{-u_\mu u^\mu}} + qA_\mu

</math> a pohybové rovnice

<math> \frac{d}{d\tau} \left( \frac{mc\frac{dx_\mu}{d\tau}}{\sqrt{-u_\nu u^\nu}} \right) = q ( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu ) u^\nu.

</math>

Lenže pohybové rovnice sú zle, pretože správne rovnice sú bez tej odmocniny a <I>c</I>: <math>

\frac{d}{d\tau} \left( m\frac{dx_\mu}{d\tau} \right) = q ( \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu ) u^\nu. </math>

V knižkách sa tento problém odlfákne tým, že sa po odvodení rovníc povie <math>u_\mu u^\mu = -c^2</math>. Lenže to je opravovanie rovnice a zakrývanie faktu, že Lagrangián a princíp účinku nám nedali správne rovnice. Väzba <math>u_\mu u^\mu = -c^2</math> by mala plynúť z Lagrangiánu. Ďalšou námietkou je, že ak by sme väzbu zobrali skôr, už v Lagrangiáne, dostali by sme

<math> L = -mc^2 + qA_\mu u^\mu

</math> z ktorého by sme dostali hybnosť

<math> p_\mu = qA_\mu

</math> a rovnice

<math> (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) u^\nu = 0,

</math> ktoré sú zle.

Hamiltonovská formulácia nie je na tom vôbec lepšie: keďže Lagrangián je homogénny prvého rádu v rýchlostiach, podľa Eulerovej vety platí

<math> L = p_\mu u^\mu

</math> a Hamiltonián

<math> H = p_\mu u^\mu - L

</math> je nulový (tzn. nezávisí na hybnostiach a polohách), čo dá úplne nesprávne rovnice

<math> \mathbf r = const., \mathbf p = const.

</math>

Hlavný problém vzniká, keď sa snažíme použiť vlastný čas - vtedy sa nám do problému dostáva spomenutá väzba. Ak ostaneme pri starom dobrom súradnicovom čase, žiadnu väzbu nemáme - dostaneme rovno rovnice <math>

\frac{d}{d\tau} \left( \frac{m\mathbf v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right) = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B). </math>

Ako to teda správne chápať? Z celej tejto bolestivej procedúry mám pocit, že myšlienka kovariantného zápisu nie je príliš užitočná.


  • Predstavme si polguľu na drsnej rovine, takže nedochádza k prešmykovaniu. Polguľa sa môže iba odvaľovať a kmitať. Ako správne napísať pohybovú rovnicu? Z Lagrangiánu

<math>L = \frac{1}{2} I_\phi (\dot \phi)^2 + mgr_T \cos \phi</math>

dostaneme pohybovú rovnicu

<math>\frac{d}{dt} \left( I_\phi \dot \phi \right) = \frac{1}{2}I_\phi^\prime\dot{\phi}^2-mgr_T \sin\phi</math>,

zatiaľčo z druhej impulzovej vety (časová zmena momentu hybnosti = moment sily) máme

<math>\frac{d}{dt} \left( I_\phi \dot \phi \right) = -mgr_T \sin\phi</math>.

Ktorý prístup je správne a ako sa má správne urobiť ten druhý?

  • V skutočnosti je správne rovnica z Lagrangiánu. Postup cez moment sily je tiež dobrý, ale zrada je v momente hybnosti: jeho zmenu treba počítať vzhľadom na pevný bod podložky; po infinitezimálnom posunutí dotykového bodu z bodu 1 do bodu 2 na podložke o <math>\mathbf a</math> je už moment hybnosti zvýšený o príspevok pohybu ťažiska: <math>\mathbf L _2 = I_\phi \mathbf \omega + \mathbf a \times m\mathbf{v_T}</math>, čo po vyjadrení z geometrie dá rovnakú pohybovú rovnicu ako Lagrangián.


  • V klasickej mechanike pre účinok S častice, ktorý chápeme ako funkciu jej aktuálnej polohy a času - <math>dS(q,t) = L dt = p dq - H dt</math> - platia rovnice <math>\frac{\partial S}{\partial x^i} = p_i</math>, <math>\frac{\partial S}{\partial t} = -E</math>. Ako je možné, že je táto rovnica správne kovariantne (dá sa zapísať ako <math>\partial_\mu S = p_\mu</math>) už v klasickej mechanike, kde by sa metrika <math>-+++</math> nemala nikde objaviť (to je až výsledok relativity)?

<p>.</p>


  • Predstavme si pravidelný mnohosten, napríklad kocku. Každý taký mnohosten má nejaký počet stien 'F', hrán 'E' a vrcholov 'V', pričom tieto tri čísla vždy spĺňajú vzťah <math>F + V - E = 2</math>. Je ešte jedna oblasť, kde sa objavuje podobný vzťah - termodynamika. image:kocka.PNGGibbsovo pravidlo fáz tvrdí, že pre počet fáz f, zložiek z a počet stupňov voľnosti sústavy s platí vzťah <math>f + z - s = 2</math>. Existuje tu nejaký súvis, alebo je to všetko iba náhoda ?

  • Myslím, že to je jen náhoda. Výraz <math>V+F-E</math> se nazývá Eulerova charakteristika a závisí na topologii tělesa, takže může mít i jinou hodnotu než 2.