Základní informace

poznámky: Studnice vědomostí

ZS 2006/7

Zkoušky: *Celkem 45 bodů, do 38 1, do 32 2, do 25 3. Za prvních pět dokopy je 20 bodů a za poslední příklad je 25.

*Čistýho času jsou 2 hodiny.

Zkouška 19. 1. 2007

*Mame n mereni X a prumer( $Xn‾\overline{X_n}$ ) - 4 otazky na rozhodnuti plati/neplati se zdůvodněním nebo důkazem:

** $Xn‾\overline{X_n}$ nezávisí na odlehlých hodnotách $X_i$ ** $Xn‾\overline{X_n}$ je nestrannym odhadem EX

** $var(Xn‾)=n∗var(Xi)var(\overline{X_n})=n*var(X_i)$ ** $∑(Xi−Xn‾)2=1\sum(X_i - \overline{X_n})^2 = 1$

*Pokud se nahodny hodnoty trefuji blizko do okoli stredni hodnoty, bude pak smerodatna odchylka:

**mala **velka

**velmi velka **nespocitatelna

*Hodnota, kterou n.v. s pravdepodobnosti p nepreleze se nazyva:

**median **p-kvantil

**p-kvartil **distribucni funkce v bode p

*Stredni hmotnost narozeneho ditete je 3,4kg, smerodatna odchylka je 450g, normální rozdělení, urcete pravdepodobnost narozeni ditete s vahou mensi nez 2.5kg a zdůvodněte:

**1% **2,5%

**10% **25%

*Popište:

**co je to chyba prvniho druhu **co je to kriticky obor

**co je to sila testu

*Stroj na generovani nahodnych cifer generuje cislice 0-9, kazde cislo se stejnou pravdepodobnosti **jakým rozdělením se řídí počet sudých číslic vygenerovaných strojem

**kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 1 sude **kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 2 sude

**kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 10 sudych **Mejme jev A, vygenerovana cislice je mensi nez 4

***Navrhnete test na alfa hladine 0.95, ktery overi hypotezu, ze cetnost pA vygenerovanych cislic mensich nez 4 neodpovida tvrzeni o idealnosti stroje (stroj je spatny) ***Ze 100 pokusu je 35 cislic mensich nez 4, zamitneme hypotezu?

***Co kdyz 10x zvetsime vyber a dostaneme 350 cislic mensich nez 4, zmeni se neco na nasem postoji vuci hypoteze?

Zkouška 22. 1. 2007

Doba telefonního hovoru se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 2 minuty. Jaká je pravděpodobnost že náhodný hovor bude trvat déle než dvě minuty?

[3 body]

$X_1,....X_n$ jsou z alternativního rozdělení s parametrem 0,3 a $Y=∑i=1nXiY=\sum\limits_{i=1}^n X_i$ .

**Jaké je rozdělení Y? **K čemu konverguje $Yn\frac{Y}{n}$ ?

**Jaké má rozdělení Y vztah k Poissonovu rozdělení? [po 2 bodech, celkem 6]

Teorie:

**Čebyševova nerovnost **nestranný odhad

**chyba 2.druhu **intreval spolehlivosti

[po 3 bodech, celkem 12]

Opilec má osm klíčů, které jsou nerozeznatelné a snaží se odemknout svůj dům. Po každém odemčení mu klíče upadnou a znova je sebere a zkouší to znova.
- Určete rozdělení toho, po kolika pokusech uspěje
- Určete pravděpodobnost, že uspěje nejhůře po šesti neúspěšných pokusech.
- Určete pravděpodobnost, že uspěje nejdříve po deseti neúspěších za předpokladu, že už 6 neuspěl.
- Určete střední hodnotu.

[1+3+3+3 body, celkem 10]

Počet spamů za den se řídí Poissonovým rozdělením $(λkk!)∗(e−λ)(\frac{\lambda^k}{k!})*(e^{-\lambda})$
- Ověřte, že $\lambda$ .
- $λ0=25\lambda_0 = 25$ , 100 dní - jaká je zhruba pravděpodobnost, že strávím za 100 dní méně než dvě hodiny mazáním spamu, když smazání jednoho trvá 3 sekundy?
- Ověřte na alfa=0,05 teorii, že při 100 dnech a celkovém počtu spamů 2650 je λ větší než $λ0\lambda_0$ ( $λ0=25\lambda_0=25$ ).

[3+5+6, celkem 14]

Zkouška 13. 2. 2007

Má-li doba obsluhy zákazníka ve spořitelně (v minutách) exponenciální rozdělení se střední hodnotou 5 minut, určete, jaká je pravděpodobnost, že
- náhodně vybraný zákazník bude obsluhován déle než 5 minut
- nejdelší z šestice nezávislých dob obsluhy nepřekročí 10 minut
- určete rozptyl aritmetického průměru dob obsluhy 100 zákazníků

[2+3+2]

Vysvětlete následující pojmy: vychýlený odhad, obor přijetí, chyba 1. druhu, intervalový odhad, zákon velkých čísel, Bayesova věta

[6x3 punkten]

V lisovně plastů vyrábějí obaly na CD. Tloušťka jednoho obalu je určena náhodnou veličinou s rozdělením N(10mm, 0,25mm^2). Obaly se vkládají do krabic (v jedné řadě jako knížka do knihovny), které dodává jiný výrobce. Vnitřní šířka krabice je popsána náhodnou veličinou s rozdělením N(1014mm, 24 mm^2). Předpokládejme, že šířky jednotlivých obalů jsou nezávislé jak navzájem, tak i šířkou krabice. Jaká je pravděpodobnost, že se do krabice nevejde 100 CD.

[fünf punkten]

Typický pražský Cajzl jezdí každý den krtkem do a z práce, kdy interval mezi jednotlivými vlaky je 4min - stejně i v době návratu domů. Jsou-li v uvažovaných denních dobách všechny okamžiky zaměstnancova vstupu na nástupiště stejně možné, je i jeho doba čekání na vlak (X) náhodnou veličinou.
- určete rozdělení veličiny X, její střední hodnotu a rozptyl
- určete přibližnou pravděpodobnost, že během 1. čtvrtletí (63 pracovních dnů) stráví při cestách do práce a zpět čekáním na vlak více než 3 a tři čtvrtě hodiny.
- Strávil-li onen cestující během posledního čtvrtletí čekáním na peróně 275 min, otestujte na hladině alpha=0,05, zda lze zpochybnit 4-minutový interval mezi jednotlivými vlaky udaný v jízdním řádu.
  - řádně zformulujte hypotézy
  - řádně zformulujte rozhodovací pravidlo
  - proveďte test

[4+5+6]

ZS 2005/6 a starší

už neplatí, systém zkoušení byl změněn
rozebíráno v diskusi mff.fear.cz
od zkoušky asi opravdu nejde "vyletět", človek z něhož toho Antoch dostane opravdu málo má při nejhorším za 3 (nebo si může zvolit možnost přijít příště, bez jakékoliv penalizace ;)

teoretické úlohy, které rozdával na zkoušce (z mff fear, ale (skoro) všechno hezky pohromadě)

Podmíněná pravděpodobnost, vsecko OK, az do chvile, nez se me zeptal na neco jako, kdyz mame dva nezavisle jevy A, B,... tak jesli nam muze byt k necemu vysledek prvniho pokusu, pri zkoumani toho dalsiho. No rekl jsem, ze ne, ze od toho jsou nezavisle. Nasledovala etida na tema at si to jeste rozmyslim, ktera skoncila nekde u nahodnych prochazek.
Věta o úplné pravděpodobnosti.
Náhodná procházka.
Bayesova veta. Ptal se i na pouziti, tak jsem mu vypravel o testech aids.
Pravděpodobnostní prostor.
Náhodná veličina - definice, význam, příklady spojité a diskrétní n.v.
Povězte mi co víte o spojité náhodné veličině.
- stačí nakreslit pár obrázku, uvést pár příkladů a popsat co to je střední hodnota apod.
neslucitelnost X nezavislost u nahodnych jevu a velicin. U nezavislosti nahodnych velicin jsem napsal pouze kovarianci a korelaci, coz mu stacilo. Jeste jsme resili jak vypada sjednoceni k nahodnych jevu (jevy nemusi byt disjunktni) - tam se pouzije princip inkluze a exkluze a jak vypada prunik tri nahodnych jevu (ne nutne nezavislych) - pomoci podminene psti.
Věta o konvoluci.
Vsechno co vim o Normalnim rozdeleni.
Čebyšeova nerovnost a věta - obojí s důkazem
Vytvořující funkce (definice, jak se používá, proč se zaváděla).
Centrální limitní věta, pouziti pro n.v. ~ bi(n,p).
Testování hypotéz (spis uvod, nulova hypoteza, alfa, sila testu).
statistická otázka - testování středních hodnot dvou nezávislých výběrů ( úloha z domácího úkolu - jak na základě naměřeného vzorku výšek mužů a žen určit, zda jsou muži stejně vysocí jako ženy ).
regrese
teoria odhadu

praktické příklady, které rozdával na zkoušce

Jaká je pravděpodobnost, že pěticiferné číslo z rozsahu 00001-99999 neobsahujé žádné dvě stejné cifry.
V telefonní síti je průmerný počet výpadků za měsíc na jednoho účastníka 8. Jaká je pravděpodobnost, že jeden účastník zaznamená více než 4 výpadky.
Strelec strili do terce, zasah 0-10b, pst ze trefi v souctu 30b je 0.008, pst, ze trefi v jednom vystrelu P( x < 8 ) = 0.4, P( x = 8 ) = 0.15. Jaka je pst, ze trefi alespon 28b ve trech vystrelech.
máme 18 střelců, 5 z nich trefí cíl s pravděpodobností 90%, 7 z nich trefí cíl s pravděpodobností 80%, 4 z nich trefí cíl s pravděpodobností 60%, 2 z nich trefí cíl s pravděpodobností 50%. Náhodně vybereme střelce a on mine. Určete, v jaké skupině střelců nejpravděpodobněji je.
Mate navzajem disjunktni jevy A,B,C,D + prislusne psti, jaka je pravdepodobnost, ze nastane alespon jeden z jevu?
agregat se po m poruchach musi opravit s psti G(m) = 1 - ( 1 - 1/omega )^m . Omega urcuje prumerny pocet poruch. Pravdepodobnost poruchy za jeden cyklus (smenu?) je p. Dokazte, ze po n cyklech se agregat musi opravit s psti W = 1 - ( 1 - p/omega)^m .
spočítat pst, že náhodně vybrané celé číslo umocněné na druhou končí na jedničku. Pak ještě to samé na doplnění, ale s jedenáctkou na konci pro druhou, případně třetí mocninu
příklad na náhodnou procházku
- nevím doslovné zadání, ale celkem snadno se to dalo převést na příklad jež se dělal na přednášce, a jehož řešení je v úpravě vztahu na rekurzivní vyjádření za pomocí podmínění prvním pokusem
Je 2n lidí, z toho n mužů a n žen. Všichni se náhodně usadí ke stolu (s 2n židlemi). Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe?
- Naváděl mě na princip inkluze a exkluze, ale nakonec jsme to nějak společnými silami (víc jeho než mými :-) vyřešili bez toho.
- Jako podpříklad jsme vyřešili i toto: Je 10 manželských párů, jaká je pravděpodobnost, že když si sednou ke stolu s dvaceti místy, tak žádní dva manželé nebudou sedět vedle sebe? (toto už je na princip inkluze a exkluze)
Mam pytlik a v nem je bila a cerna kulicka. V kazdem tahu vytahnu jednu kulicku. Kdyz vytahnu cernou, hra konci. Kdyz vytahnu bilou, vratim ji a jeste jednu bilou pridam. Jaka je pst, ze v prvnich 50 tazich nevytahnu cernou kulicku. Pro overeni vysledek je 1/51.
2 manici hazi na stridacku minci (spravedlivou). Vyhrava ten, kdo prvni hodi lic. Jaka je pst, ze vyhraje prvni a jaka, ze vyhraje druhy.
Betinec: Procesor ma sirku X, patice ma sirku Y, kde X je n.v. s rozdelenim N(10, 4) a Y je n.v. s rozdelenim N(11,5). Jeden procesor stoji 1 dolar, vyrobite 1000 procesoru. Jaka je stredni hodnota ztraty (tzn. kolik vyrobite procesoru sirsich nez patice)? Pozn.: Temi parametry u X a Y si nejsem jisty...ale na tom ostatne az tak nezalezi.
Betinec: V rybnice plave celkem k kapru. Z techto k je m oznacenych. Nahodne vylovim n kapru a vidim, ze z nich je x oznacenych. Jaka je stredni hodnota poctu kapru v rybnice. Jak se zmeni, kdyz taham kapry po jednom (tedy Polyovo urnove schema s delta = -1, neboli spocitat stredni hodnotu hypergeometrickeho rozdeleni). (Pro ujasneni: k neznam; m, n a x znam)
Betinec: Mame n mereni IQ: X_1,X_2,...,X_n. Jsou to nezavisle nahodne veliciny z rozdeleni N(x,15^2) (stredni hodnotu nevime). Navrhnete, jak byste testovali hypotezu, ze prumerne IQ (tedy ta stredni hodnota) je vetsi rovno 120 oproti alternative, ze IQ je mensi nez 120. Plus pro danych 6 hodnot (pamatuju se jen, ze soucet byl 696) se melo overit, zda hypotezu zamitame/nezamitame (nezamitala se).

Externí odkazy

Category:Matematika%20pro%20informatiky