{{Předmět|Numerická matematika|Jiří Felcman|MAI042}}

Otázky ke zkoušce

1. Chyba Lagrangeovy interpolace

2. Konstrukce přirozeného kubického spline

3. Řád kvadraturní formule

4. Odvoďte Newton-Cotesův vzorec

5. Odvoďte Rombergův kvadraturní vzorec, který aproximuje hodnotu I(f) s chybou O(h4). Vysvětlete význam Lagrangeova interpolačního polynomu při konstrukci Rombergova kvadraturního vzorce.

6. Odvoďte Gaußův kvadraturní vzorec řádu 2n + 1 na intervalu [a, b]. Odvoďte Gaußův kvadraturní vzorec řádu 3 na intervalu [−1, 1] (uvažujte ortogonální polynomy $\left\{1, x, x^2 - \frac{1}{3}\right\}$).

7. Odvoďte Newtonovu metodu pro soustavy nelineárních rovnic a její algoritmizaci. Popište algoritmus v případě jedné skalární rovnice.

8. Dokažte větu o konvergenci Newtonovy metody.

9. Odvoďte Newtonovu-Hornerovu metodu nalezení kořene polynomu.

10. Zdůvodněte odhad počtu operací v Gaußově eliminaci.

11. Odvoďte vzorce pro konstrukci LU rozkladu matice A.

12. Odvoďte Jacobiho, Gaußovu–Seidelovu a SOR metodu pro řešení úlohy Ax = b. Zapište je maticově a rozepsané do složek bez použití inverze matic.

13. Dokažte konvergenci mocninné metody pro výpočet dominantního vlastního čísla matice A.

14. Odvoďte Eulerovu metodu pro pro řešení úlohy $y' = f(x, y)$

15. Odvoďte Rungeovu–Kuttovu metodu 2. řádu.

Úlohy na zápočet

Z výše uvedeného seznamu úlohy (2), (6) a (15). Experimentálně ověřeno, že nestačí popsat pouze jak, ale musí se napsat i proč to funguje...

Materiály

• http://www.karlin.mff.cuni.cz/~felcman/nm.pdf - skripta

Category:Informatika

Category:Matematika%20pro%20informatiky