toto je pracovní verze vzniklá převodem z texu, ještě potřebuje vyčistit

Algebry, homomorfismy, kongruence

Definice

Buď $A \,$ množina a $n\in\mathbb{N}_0 \,$. *Operací*  (arity $n \,$ nebo $n \,$-ární) rozumíme zobrazení $\alpha:A^n\to A \,$.

Označení

$n=0,A^0\to A, \alpha_0()=a_0 \,$, běžně píšeme $\alpha_0 \,$ namísto $a_0 \,$.

Definice

Buď $\alpha_i \,$, $i\in I \,$, operace na množině A. Pak *algebrou*  nazvu každou takovou uspořádanou dvojici $A(\alpha_i|i\in I) \,$.

Příklad

1. $\mathbb{Z}(+)$, $\mathbb{Z}(+,-,0)$, $\mathbb{Z}(+,\cdot ,-,0,1)$

2. $T$ je těleso s operacemi $+$, $\cdot$ ($-,0,1$), potom $T(+,\cdot )$ a $T(+,\cdot ,-,0,1)$ jsou algebry

3. $T$ je těleso s operacemi $+$, $\cdot$, buď $V$ vektorový prostor s operacemi $+$ a $\cdot t|t\in T$,

        potom $V(+,\cdot t) \,$ je algebra	
   

Definice

Buď $A \,$ množina, $B\subseteq A \,$.
Je-li $\alpha \,$ $n \,$-ární operace, $n\in\mathbb{N}_0 \,$, na $A \,$, řekneme, že $B \,$ je *uzavřená*  na $\alpha \,$,

pokud $\forall b_1,\ldots,b_n\in B \,$ $\alpha(b_1,\ldots,b_n)\in B \,$.
Je-li $A(\alpha_i|i\in I) \,$ algebra, potom $B\subseteq A \,$ nazveme *podalgebrou*  (algebry $A(\alpha_i|i\in I) \,$),

pokud $B \,$ je uzavřená na operace $\alpha_i \,$ $\forall i\in I \,$.  

Příklad

1. $k\in \mathbb{Z}k\mathbb{Z}=\{kz|z\in \mathbb{Z}\}$, podalgebry $\mathbb{Z}(+)$ a $\mathbb{Z}(+,-,0)$.

2. $\mathbb{Z}$ je podalgebrou tělesa $\mathbb{Q}(+,\cdot )$, $\mathbb{Q}(+,\cdot ,-,0,1)$

3. $A=\{1\}$ je podalgebrou $\mathbb{Z}(\cdot )$, není podalgebrou $\mathbb{Z}(+)$

4. podprostor je podalgebrou vektorového prostoru $V(+,\cdot t)$, $\varnothing$ je také podalgebrou

Poznámka

Buď $A(\alpha_i|i\in I) \,$ algebra a $B \,$ její podalgebra. $\beta_i:B^{n_i}\to B \,$, je-li $\alpha_i \,$ $n_i \,$-ární operace
$\beta_i(b_1,\ldots,b_n)=\alpha_i(b_1,\ldots,b_n)\in B\ \forall i\in I\ \forall b_1,\ldots,b_n\in B \,$, potom $B(\beta_i|i\in I) \,$ je algebra.

Poznámka 1.1

Buď $A(\alpha_i|i\in I) \,$ algebra a $B_j,j\in J \,$ nechť jsou její podalgebry. Pak $\bigcap_{j\in J}B_j \,$ je opět podalgebra algebry $A(\alpha_i|i\in I) \,$.

Důkaz

	$\alpha_i \,$ operace na $A \,$, $b_1,\ldots,b_{n_i}\in\bigcap_{j\in J}B_j\subseteq B_j\ \forall j \,$ ($n_i \,$ arita operace $\alpha \,$).

	$\alpha_i(b_1,\ldots,b_{n_i})\in B_j\forall j \,$, protože $B_j \,$ je podalgebra, tedy $\alpha_i(b_1,\ldots,b_{n_i})\in\bigcap_{j\in J}B_j \,$.

Definice

Buď $\alpha \,$ operace arity $n \,$ na množinách $A \,$ a $B \,$ a $f:A\to B \,$ zobrazení. Řekněme, že *$f \,$ je slučitelné s (operací) $\alpha \,$* ,

jestliže $\forall a_1,\ldots,a_n\in A \,$ platí <center>$
	f(\alpha(a_1,\ldots,a_n))=\alpha(f(a_1),\ldots,f(a_n)).

 \,$</center>

Definice

Nechť $A(\alpha_i|i\in I) \,$, $B(\alpha_i|i\in I) \,$ jsou algebry. Řekneme, že jsou *stejného typu* , pokud $\alpha_i \,$ je $n_i \,$-ární operací
na $A \,$ i na $B \,$.

Definice

O zobrazení $f:A\to B \,$ řekneme, že je *homomorfismus*  (algeber $A(\alpha_i|i\in I) \,$, $B(\alpha_i|i\in I) \,$), je-li $f \,$ *slučitelné* ,

s $\alpha_i\forall i\in I \,$.

Příklad

1. $V_1(+,\cdot t)$, $V_2(+,\cdot t)$ dva vektorové prostory nad tělesem $T$, pak homomorfismy algeber $V_1(+,\cdot t)$ a $V_2(+,\cdot t)$ jsou právě lineární zobrazení (tj. homomorfismy v lineárně algebraickém smyslu)

2. 1. $det$ je homomorfismus algeber

      ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 1: \̲[̲M_n(T)](\cdot) …

      a $T(\cdot )$ ($M_n(T)$ jsou čtvercové matice $n\times n$ nad tělesem $T$)

   2. $det$ je homomorfismus algeber

      ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 1: \̲[̲M_n(T)](\cdot, …

      a $T(\cdot ,1,0)$

3. ${\pi }_n:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$ ${\pi }_n(z)=(z)\mathrm{mod}n$, ${\pi }_n$ je homomorfismus $\mathbb{Z}(+,-,\cdot ,0,1)$ a ${\mathbb{Z}}_n(+,-,\cdot ,0,1)$

Poznámka 1.2.

Nechť $A(\alpha_i|i\in I) \,$, $B(\alpha_i|i\in I) \,$, $C(\alpha_i|i\in I) \,$ jsou algebry stejného typu a $f:A\to B \,$ a $g:B\to C \,$ jsou homomorfismy,
pak $gf:A\to C \,$ je také homomorfismus. Navíc, je-li $f \,$ bijekce, pak i $f^{-1} \,$ je homomorfismus.

Důkaz

	Nechť $\alpha_i \,$ je libovolná operace arity $n \,$, $a_1,\ldots,a_n\in A \,$, potom

	<center>$\begin{matrix}
		gf(\alpha_i(a_1,\ldots,a_n)) & = & g(f(\alpha_i(a_1,\ldots,a_n)))\\

		& = & g(\alpha_i(f(a_1),\ldots,f(a_n)))\\
		& = & \alpha_i(g(f(a_1)),\ldots,g(f(a_n))).

	\end{matrix} \,$</center>
	Nechť $f \,$ je bijekce, $f^{-1}:B\to A \,$, $b_1,\ldots,b_n\in B \,$, $\exists a_1,\ldots,a_n\in A \,$ že $f(a_i)=b_i \,$ a $f^{-1}(b_i)=a_i \,$, potom

	<center>$\begin{matrix}
		f^{-1}(\alpha_i(b_1,\ldots,b_n)) & = & f^{-1}(\alpha_i(f(a_1),\ldots,f(a_n)))\\

		& = & f^{-1}f(\alpha_i(a_1,\ldots,a_n))\\
		& = & \alpha_i(f^{-1}(b_1),\ldots,f^{-1}(b_n)).

	\end{matrix} \,$</center>

Poznámka 1.3.

Buď $A(\alpha_i|i\in I) \,$ a $B(\alpha_i|i\in I) \,$ algebry stejného typu, $f:A\to B \,$ homomorfismus a $C \,$ buď podalgebra $A(\alpha_i|i\in I) \,$ a $D \,$ podalgebra

$B(\alpha_i|i\in I) \,$. Pak $f(C) \,$ je podalgebra $B(\alpha_i|i\in I) \,$ a $f^{-1}(D)=\{a\in A|f(a)\in D\} \,$ je podalgebra $A(\alpha_i|i\in I) \,$.

Důkaz

	Nechť $\alpha_i \,$ je libovolná operace arity $n \,$, $b_1,\ldots,b_n\in f(C) \,$ tj. $\exists c_1,\ldots,c_n\in C \,$ že $f(c_i)=b_i \,$, potom <center>$
		\alpha_i(b_1,\ldots,b_n)=f(\alpha_i(c_1,\ldots,c_n))\in f(C).

	 \,$</center>
	Nechť $a_1,\ldots,a_n\in f^{-1}(D) \,$, $f(a_i)\in D \,$, potom <center>$

		f(\alpha_i(a_1,\ldots,a_n))=\alpha_i(f(a_1),\ldots,f(a_n))\in D,
	 \,$</center> tj. $\alpha_i(a_1,\ldots,a_n)\in f^{-1}(D) \,$.

Poznámka

Je-li jasná struktura algebry $A(\alpha_i|i\in I) \,$, budeme často říkat *algebra $A \,$*  (namísto algebra $A(\alpha_i|i\in I) \,$).

\paragraph{Připomínka a označení.}(8)

$\varrho\subseteq A\times A \,$ nazveme *relací na $A \,$* , $(a,b)\in\varrho \,$ (ekvivalentně $a\varrho b \,$). Je-li $\varrho \,$ relace na $A \,$, potom
<center>$\begin{matrix}

	\varrho^{-1} & = & \{(a,b)\in A\times A|(b,a)\in\varrho\}\\
	\varrho^+ & = & \{(a,b)\in A\times A|\exists a_0,\ldots,a_n;a_0=a,a_n=b,(a_i,a_{i+1})\in\varrho\}\\

	id & = & \{(a,a)\in A\times A|a\in A\}.
\end{matrix} \,$</center>

Řekneme že relace $\varrho \,$ je symetrická, reflexivní, tranzitivní, jestliže $\varrho^{-1}\subseteq\varrho \,$, $id\subseteq\varrho \,$, $\varrho^+\subseteq\varrho \,$.
Ekvivalence je reflexivní, symetrická a tranzitivní relace.

Definice

Buď $\varrho \,$ ekvivalence na množině $A \,$. Pak faktorem $A \,$ podle $\varrho \,$ rozumíme $A/\varrho=\{\[a]_{\varrho}|a\in A\} \,$,

kde $\[a]_{\varrho}=\{b\in A|(a,b)\in\varrho\} \,$.

Poznámka

1. Nechť $\varrho$ je ekvivalence na množině $A$. Pak $A/\varrho$ tvoří rozklad $A$.

2. Je-li $\{B_i|i\in I\}$ rozklad množiny $A$, pak relace $\eta$ daná vztahem $(a,b)\in \eta \iff \exists i\in Ia,b\in B_i$ je ekvivalence

        ($A=\bigcup B_i \,$ a $B_i\cap B_j=\emptyset\ \forall i\neq j \,$).
   

Důkaz

1. ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 19: …bigcup_{a\in A}\̲[̲a]_{\varrho} \,

   , <center>$\begin{matrix}

                \emptyset\neq\[a]_{\varrho}\cap\[b]_{\varrho} & \Rightarrow & (a,c)\in\varrho,(b,c)\in\varrho\\
                & \Rightarrow & (a,c)\in\varrho,(c,b)\in\varrho \\
   
                & \Rightarrow & (a,b)\in\varrho
            \end{matrix} \,$</center> $\forall d\in\[b]_{\varrho} \,$ platí $d\in\[a]_{\varrho} \,$, tj. $\[b]_{\varrho}\subseteq \[a]_{\varrho} \,$ a symetricky $\[b]_{\varrho}\supseteq \[a]_{\varrho} \,$, tedy $\[b]_{\varrho}=\[a]_{\varrho} \,$.
   

2. zřejmé

Definice

Buď $f:A\to B \,$ zobrazení a $\varrho \,$ ekvivalence, <center>$
	\ker{f} = \{(a,b)\in A\times A|f(a)=f(b)\}

 \,$</center> je *jádro*  zobrazení $f \,$, $\pi_{\varrho}:A\to A/\varrho \,$ budiž *přirozená projekce* , tj. zobrazení $\pi_{\varrho}(a)=\[a]_\varrho \,$.

Poznámka 1.4.

Nechť $f:A\to B \,$ je zobrazení a $\varrho \,$ ekvivalence na $A \,$. Potom platí:

1. $\ker f$ je ekvivalence

2. $f$ je prosté právě tehdy, když $\ker f=id$

3. $\ker {\pi }_{\varrho }=\varrho$

4. zobrazení $g:A/\varrho \to B$ takové, že $g{\pi }_{\varrho }=f$ existuje právě tehdy, když $\varrho \subseteq \ker f$

Důkaz

1. $f(a)=f(a)\forall a\in A$, tedy $(a,a)\in \ker f$ (reflexivita)

#:$f(a)=f(b)$ (tj. $(a,b)\in \ker f$), tedy $f(b)=f(a)$ tj. $(b,a)\in \ker f$ (symetrie) #:$f(a)=f(b)=f(c)$, tedy $f(a)=f(c)$ tj. $(a,c)\in \ker f$ (tranzitivita)

1. $f$ je prosté $a,b\in A$ $f(a)=f(b)\Rightarrow a=b\iff (a,b)\in \ker f\Rightarrow a=b\iff \ker f=id$

2. ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 40: …)\in A\times A|\̲[̲a]_\varrho=\pi_…

"$\Rightarrow$" :: mějme $g:A/\varrho \to B$,

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 3: g(\̲[̲a]_\varrho)=g(\…

; $(a,b)\in \varrho$ tj.

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 1: \̲[̲a]_\varrho=\[b]…

,

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 3: g(\̲[̲a]_\varrho)=f(a…

"$\Leftarrow$" :: $\varrho \subseteq \ker f$ je-li $g{\pi }_{\varrho }=f$ je $g$ korektně definována, tedy

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 3: g(\̲[̲a]_\varrho)=f(a…

,

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 1: \̲[̲a]_\varrho=\[b]…

tj. $(a,b)\in \varrho \Rightarrow (a,b)\in \ker f$ tj.

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 24: …)\Rightarrow g(\̲[̲a]_\varrho)=g(\…

Definice

{{TODO|doplnit-uplne nove}} Nechť � ⊆ � jsou dvě ekvivalence na A. Definujme relaci �/� na A/�

následovně: ([a]�, [b]�) ∈ �/� ⇔ (a, b) ∈ �.

Poznámka 1.5.

(1) Nechť � ⊆ � jsou dvě ekvivalence na A. Pak �/� je dobře definovaná ekvivalence na A/�.

(2) Nechť � je ekvivalence na množině A a � je ekvivalence na A/�. Potom existuje právě jedna ekvivalence � na A, pro níž � = �/�.

Důkaz

(1) viz [D, 1.8] a (2) viz [D, 1.9]. �

Definice

Buď $\varrho \,$ ekvivalence na $A \,$, $\alpha \,$ je $n \,$-ární operace na $A \,$. Řekneme, že $\varrho \,$ je *slučitelná s $\alpha \,$* , platí-li $a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\in A \,$,
kde $n \,$ je arita operace $\alpha \,$, jestliže $(a_i,b_i)\in\varrho\ \forall i=1,\ldots,n \,$ potom $(\alpha(a_1,\ldots,a_n),\alpha(b_1,\ldots,b_n))\in\varrho \,$.

Řekneme, že ekvivalence $\varrho \,$ na algebře $A(\alpha_i|i\in I) \,$ je *kongruence* , jesliže je $\varrho \,$ slučitelná s $\alpha_i\forall i\in I \,$.

Poznámka 1.6.

Buď $f:A\to B \,$ homomorfismus dvou algeber stejného typu. Pak $ker f \,$ je kongruence (na $A \,$).

Důkaz

	$\ker{f} \,$ je ekvivalence dle 10. Nechť $\alpha_i \,$ je operace na $A \,$ (i na $B \,$), $a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\in A \,$ $(a_j,b_j)\in \ker{f} \,$ tj.
	$f(a_j)=f(b_j)\ \forall j=1,\ldots,n \,$, $f(\alpha_i(a_1,\ldots,a_n))=\alpha_i(f(a_1),\ldots,f(a_n))=\alpha_i(f(b_1),\ldots,f(b_n))=f(\alpha_i(b_1,\ldots,b_n)) \,$ tj.

	$(\alpha_i(a_1,\ldots,a_n),\alpha_i(b_1,\ldots,b_n))\in \ker{f} \,$

Definice

Nechť $A(\alpha_i|i\in I) \,$ je algebra a $\varrho \,$ budiž kongruence na $A \,$. Pak na $A/\varrho \,$ definujeme strukturu algebry <center>$

	\forall i\in I\ \alpha_i(\[a_1]_\varrho,\ldots,\[a_{n_i}]_\varrho)=\[\alpha_i(a_1,\ldots,a_{n_i})]_\varrho
 \,$</center> kde $n_i \,$ je arita operace $\alpha_i \,$.

Věta 1.7.

Definice struktury algebry na $A/\varrho \,$ je korektní, algebra $A/\varrho(\alpha_i|i\in I) \,$ je stejného typu jako $A(\alpha_i|i\in I) \,$ a $\pi_\varrho \,$ je

homomorfismus.

Důkaz

	$\[a_j]_\varrho=\[b_j]_\varrho\ j=1,\ldots,n_i \,$ tj. $(a_j,b_j)\in\varrho\Rightarrow (\alpha_i(a_1,\ldots,a_n),\alpha_i(b_1,\ldots,b_n))\in\varrho \,$,
	$\alpha_i(\[a_1]_\varrho,\ldots,\[a_{n_i}]_\varrho){=}^{\mathrm{def}}\[\alpha_i(a_1,\ldots,a_{n_i})]_\varrho \,$,

	$\alpha_i(\[b_1]_\varrho,\ldots,\[b_{n_i}]_\varrho){=}^{\mathrm{def}}\[\alpha_i(b_1,\ldots,b_{n_i})]_\varrho \,$.

Dokážeme že ${\pi }_{\varrho }$ je homomorfismus,

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 39: …1,\ldots,a_n))=\̲[̲\alpha_i(a_1,\l…

.

Příklad

1. $\mathbb{Z}(+,-,\cdot )$ $a,b\in \mathbb{Z}$ $n\in \mathbb{N}$, $a{\sim }_{n}b$ jesliže $n|a-b$ ($\iff a\mathrm{mod}n=b\mathrm{mod}n$)

   ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 1: \̲[̲a\equiv b\mod{n…

   .

        $\sim_n \,$ je zjevně ekvivalence, $\sim_n \,$ je slučitelná s $+ \,$, $a_1\sim_n b_1 \,$ tedy $n|a_1-b_1 \,$, $a_2\sim b_2 \,$ tedy $n|a_2-b_2 \,$, tedy $n|(a_1-b_1)+(a_2-b_2)=(a_1+a_2)-(b_1+b_2) \,$,
        podobně pro $-,\cdot \,$. $\mathbb{Z}/\sim_n(+,-,\cdot) \,$ $\mathbb{Z}/\sim_n=\{\[0]_{\sim_n},\[1]_{\sim_n},\ldots,\[n-1]_{\sim_n}\}=\{\[a]_{\sim_n}|a\in\mathbb{Z}_n\} \,$.
   
        $\[a]_{\sim_n}+\[b]_{\sim_n}=\[a+b]_{\sim_n}=\[(a+b)\mod{n}] \,$
   

2. $A({\alpha }_i|i\in I)$ algebra, $id,A\times A$ jsou kongruentní operace v této algebře

3. $A$ buď množina, $e$ je nulární operace, $\varrho$ ekvivalence je slučitelná s $e$, tedy $(e,e)\in \varrho$

Poznámka 1.8.

{{TODO|doplnit z izomorfismů}} Buď � kongruence na algebře A a � ekvivalence na A obsahující

�. Pak je � kongruence na algebře A právě tehdy, když je �/� kongruence na algebře A/�.

====Důkaz.==== Viz [D, 3.4]. �

Poznámka 1.9. (Věta o homomorfismu)

Buď f : A → B homomorfismus dvou

algeber stejného typu a nechť � je kongruence na algebře A. Pak existuje homo- morfismus g : A/� → B splňující podmínku g�� = f právě tehdy, když � ⊆ ker f.

Navíc, pokud g existuje, je g izomorfismus, právě když f je na a ker f = �. ====Důkaz.==== Viz [D, 3.7]. �

Věta 1.10 (1. věta o izomorfismu).

Nechť f : A → B je homomorfismus dvou

algeber stejného typu. Pak f(A) je podalgebra B (tedy algebra stejného typu) a A/ker f je izomorfní f(A).

Důkaz. Viz [D, 3.9]. � 4

Příklad.

Mějme homomorfismus fn : Z → Zn algebry Z(+, ·,−, 0) do algebry

Zn(+, ·,−, 0) s počítáním modulo n daný předpisem fn(k) = (k)mod n. Pak podle

1. věty o izomorfismu je Z/ker fn ∼=

Zn, navíc je zjevně (a − b) ∈ ker fn, právě když n/(a − b).

Věta 1.11 (2. věta o izomorfismu).

Nechť � ⊆ � jsou dvě kongruence na algebře

A. Pak algebra A/� je izomorfní algebře (A/�)/(�/�). ====Důkaz.==== Viz [D, 3.10].

Algebry s jednou binární operací

Definice

Algebru $G(\cdot) \,$ nazveme *grupoidem*  je-li $\cdot \,$ binární operace. Prvek $e\in G \,$ nazveme neutrálním prvkem operace $\cdot \,$, platí-li
$\forall g\in G\ g\cdot e=e\cdot g=g \,$. Řekneme, že algebra $G(\cdot, e) \,$ je *monoid* , je-li $\cdot \,$ asociativní operace

($\forall a,b,c\in G\ a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c \,$) a $e \,$ je neutrální prvek. *Podgrupoid*  (*podmonoid* ) bude podalgebrou grupoidu (monoidu).

Poznámka

Buď $G(\cdot) \,$ grupoid a $e,f \,$ jeho dva neutrální prvky. Pak platí $e=f \,$.

Důkaz

	$e=e\cdot f=f \,$

Příklad

$G \,$ je lib. množina pro kterou platí $|G|>1 \,$, $a*b=a\ \forall a,b\in G \,$. Potom $G(*) \,$ neobsahuje žádný neutrální prvek.

Příklad

1. $X$ je množina písmen, $M(X)$ množina slov, tj. konečné posloupnosti prvků z $X$, $x_1,x_2,\dots ,x_k\in X$;

        místo $(x_1,x_2,\ldots,x_k) \,$ píšeme $x_1x_2\ldots x_k \,$, definujeme operaci $\cdot \,$ jako
        $x_1\ldots x_k\cdot y_1\ldots y_l=x_1\ldots x_ky_1\ldots y_l \,$, $\lambda \,$-prázdná posloupnost; potom $M(X)(\cdot,\lambda) \,$ je monoid
   

2. $X$ je množina $T(X)=\{f:X\to X\}$, $\circ$ skládání zobrazení, potom $T(X)(\circ ,id)$ je tzv. transformační monoid

3. $M_n(T)(\cdot ,I_n)$ je monoid

4. $A$ buď algebra (nebo např. graf, topologický prostor, "geometrický útvar"), $End(A)=\{f:A\to A|f$je homomorfismus$\}(\subseteq T(A))$,

        potom $End(A)(\circ,id) \,$ je monoid, např. $A \,$ je vektorový prostor dimenze $n \,$ (v lineární algebře $M_n(T)(\cdot, I_n) \,$ a $End(A)(\circ, id) \,$)
   

Poznámka

Je-li $S(\cdot, 1) \,$ monoid a platí, že $a\cdot b=1=c\cdot a \,$ pro nějaké $a,b,c\in S \,$, pak $b=c \,$.

Důkaz

	$c=c\cdot 1=c\cdot(a\cdot b)=(c\cdot a)\cdot b=1\cdot b=b \,$

Příklad

$T(\mathbb{N})(\circ, 1) \,$, $\alpha(k)=2k \,$, $\beta(k)=\[\frac{k}{2}] \,$, potom $\beta\alpha=id \,$ ale $\alpha\beta\neq id \,$,

obecně $\forall\gamma:\mathbb{N}\to\mathbb{N} \,$ platí že $\alpha\gamma \,$ není zobrazení na, tedy $\alpha\gamma\neq id \,$.

Definice

Je-li $S(\cdot, 1) \,$ monoid, potom prvek $a^{-1}\in S \,$ pro nějaké $a\in S \,$ nazveme inverzním, jestliže $a^{-1}\cdot a=1=a\cdot a^{-1} \,$.
Prvek, pro nějž existuje inverzní prvek nazveme *invertibilním*  prvkem (monoidu).

Poznámka

Nechť $S(\cdot, 1) \,$ je monoid a označme $S^* \,$ množinu všech invertibilních prvků tohoto monoidu. Pak $S^* \,$ je podmonoid monoidu $S(\cdot, 1) \,$.

Navíc každý inverzní prvek je invertibilní.

Důkaz

	$a\cdot a^{-1}=1=a^{-1}\cdot a\stackrel{\mathrm{def}}{\Rightarrow}(a^{-1})^{-1}=a \,$, tedy každý inverzní prvek je invertibilní.
	$1\cdot 1=1\Rightarrow 1\in S^* \,$ a pro $a,b\in S^* \,$ platí

	$(b^{-1}\cdot a^{-1})\cdot(a\cdot b)\stackrel{\mathrm{asoc.}}{=}b^{-1}\cdot(a^{-1}\cdot a)\cdot b=b^{-1}\cdot b=1 \,$ a 
	$(a\cdot b)\cdot(b^{-1}\cdot a^{-1})\stackrel{\mathrm{asoc.}}{=}a\cdot(b^{-1}\cdot b)\cdot a^{-1}=a\cdot a^{-1}=1 \,$,

	tedy $(a\cdot b)^{-1}=b^{-1}\cdot a^{-1}\Rightarrow a\cdot b\in S^* \,$.

Definice

Algebru $G(\cdot, ^{-1},1) \,$ nazveme *grupou* , je-li $G(\cdot, 1) \,$ monoid a ${}^{-1} \,$ je unární operace, která každému prvku přiřadí inverzní prvek monoidu $G(\cdot, 1) \,$.
*Komutativní (Abelovou) grupou*  nazveme grupu s komutativní operací $\cdot \,$ ($\forall a,b\in G\ a\cdot b=b\cdot a \,$). *Podgrupou*  rozumíme podalgebru grupy. Normální podgrupou $H \,$ grupy

$G(\cdot, ^{-1},1) \,$ budeme rozumět podgrupu splňující $\forall g\in G\forall h\in H\quad g\cdot h\cdot g^{-1}\in H \,$.

Poznámka

Nechť $S(\cdot, 1) \,$ je monoid a $S^* \,$ množina všech invertibilních prvků. Nechť <big>⊙</big> je restrikce $\cdot \,$ na $S^* \,$ (<big>⊙</big>$:S^*\times S^*\to S^* \,$, a

a <big>⊙</big> b$=a\cdot b\ \forall a,b\in S^* $) a ${}^{-1} \,$ budiž operace inverzního prvku. Pak $S^*( \,$<big>⊙</big>$, ^{-1},1) \,$ je grupa.

Důkaz

	Dle 15 jsou <big>⊙</big>$, {}^{-1}, 1 \,$ korektně definované operace na $S^* \,$ a $S^*( \,$<big>⊙</big>$,1) \,$ je monoid dle
	stejného tvrzení. ${}^{-1} \,$ je operace inverzního prvku dle definice.

Příklad

1. $(M(X){)}^{\ast }=\{\lambda \}$

2. $(T(X){)}^{\ast }=S(X)=\{f:X\to X|f\text{-bijekce}\}$, $S(X)(\circ {,}^{-1},id)$-grupa ("symetrická" grupa)

#:($S_n=S(\{1,2,\dots ,n\})$)

1. $(M_n(T){)}^{\ast }=G{L}_n(T)$-invertibilní (regulární) matice, $G{L}_n(T)(\cdot {,}^{-1},I_n)$--grupa

2. ${End(A)}^{\ast }=Aut(A)=\{f:A\to A|$-bijektivni homomorfismus$\}$, $Aut(A)($<big>⊙</big>${,}^{-1},id)$-grupa,

        $Aut(\mathbb{Z}_n)=\{f:\mathbb{Z}_n\to\mathbb{Z}_n|f\,$-homomorfismus, f bijekce$=\{x\to(x\cdot k)\mod{n}|k\in\mathbb{Z}_n,\gcd{(k,n)}=1\} \,$.
   

Poznámka

Každá podgrupa komutativní grupy je normální.

Důkaz

	$H \,$ buď podgrupa, $G(\cdot, ^{-1},1) \,$ komutativní grupa, $g\in G\ h\in H:g\cdot h\cdot g^{-1}=g\cdot g^{-1}\cdot h=1\cdot h=h\in H \,$.

Věta

Nechť $G(\cdot, ^{-1}, 1) \,$ je grupa a $\varrho \,$ je relace na $G \,$. Pak $\varrho \,$ je kongruence na $G(\cdot, ^{-1}, 1) \,$ právě tehdy, když

$\[1]_\varrho \,$ je normální podgrupou grupy $G \,$ a $(g,h)\in\varrho\Leftrightarrow g^{-1}\cdot h\in \[1]_\varrho \,$.

Důkaz

"$\Rightarrow$" :: $\varrho$ buď kongruence

*dokážeme že

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 1: \̲[̲1]_\varrho \,

je podgrupa $G$

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 32: …Rightarrow 1\in\̲[̲1]_\varrho \,

\

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 5: a\in\̲[̲1]_\varrho\stac…

\

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 7: a,b\in\̲[̲1]_\varrho\stac…

*dokážeme normalitu

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 1: \̲[̲1]_\varrho \,

\ $g\in G$

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 5: h\in\̲[̲1]_\varrho \,

a $(g,g)\in \varrho$, $(1,h)\in \varrho$ vyplývá $(g\cdot 1,g\cdot h)\in \varrho$, dále z $(g^{-1},g^{-1})\in \varrho$ výplývá

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 134: …\cdot g^{-1}\in\̲[̲1]_\varrho \,

# *

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 19: …{-1}\cdot h)\in\̲[̲1]_\varrho\Righ…

"$\Leftarrow$" :: $H$ buď normální podgrupa, definujme relaci $\varrho$ jako $(a,b)\in \varrho \stackrel{\mathrm{def}}{\equiv }{a}^{-1}\cdot b\in H$ #

*dokážeme že $\varrho$ je ekvivalence $\forall g\in G$\ $g^{-1}\cdot g=1\in H\Rightarrow (g,g)\in \varrho$ (reflexivita)\ $(g,h)\in \varrho$ $g^{-1}\cdot h\in H\Rightarrow h^{-1}\cdot (g^{-1}{)}^{-1}=h^{-1}\cdot g\in H$ tj. $(h,g)\in \varrho$ (symetrie)\ $(g,h)\in \varrho$ $(h,r)\in \varrho \Rightarrow g^{-1}\cdot h,h^{-1}\cdot r\in H\Rightarrow g^{-1}\cdot r=g^{-1}\cdot h\cdot h^{-1}\cdot r\in H$ tj. $(g,r)\in \varrho$ (tranzitivita) # *

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 1: \̲[̲1]_\varrho=H \,

je zřejmé

*dokážeme že $\varrho$ je slučitelné s operacemi\ $(1,1)\in \varrho \Rightarrow \varrho$ slučitelné s 1\ $(g,h)\in \varrho \Rightarrow g^{-1}\cdot h\in H\Rightarrow g\cdot (g^{-1})\cdot h)\cdot g^{-1}\in H\Rightarrow (h^{-1},g^{-1})\in \varrho \Rightarrow (g^{-1},h^{-1})\in \varrho$\ $(g_1,h_1)\in \varrho \Rightarrow g_1^{-1}\cdot h_1\in H$\ $(g_2,h_2)\in \varrho \Rightarrow g_2^{-1}{h}_2\in H\Rightarrow g_2\cdot (g_2^{-1}\cdot h_2)\cdot g_2^{-1}\in H\Rightarrow g_1^{-1}\cdot h_1\cdot h_2\cdot g_2^{-1}\in H\Rightarrow g_2^{-1}\cdot (g_1^{-1}\cdot h_1\cdot h_2\cdot g_2^{-1})\cdot g_2\in H=(g_1\cdot g_2{)}^{-1}\cdot (h_1\cdot h_2)\in H\Rightarrow (g_1\cdot g_2,h_1\cdot h_2)\in \varrho$

NOTOC