Rozsah látky
Seznam oficiálních státnicových otázek:
Projektivní rozšíření afinního prostoru, homogenní souřadnice, afinní a projektivní transformace v rovině a v prostoru, kvaterniony v reprezentaci 3D orientace, diferenciální geometrie křivek a ploch, základní spline funkce, kubické spliny C2 a jejich vlastnosti, interpolace kubickými spliny, Bézierovy křivky, Catmull-Rom spliny, B-spline, de Casteljaův a de Boorův algoritmus, aproximační plochy, plochy zadané okrajem, Bezierovy plochy, plátování, B-spline plochy, NURBS plochy, základní věty o konvexitě, kombinatorická složitost konvexních mnohostěnů, návrh geometrických algoritmů a jejich složitost, Voroného diagram a Delaunayova triangulace, konvexní obal, lokalizace, datové struktury a algoritmy pro efektivní prostorové vyhledávání.
Projektivní rozšíření afinního prostoru, homogenní souřadnice, afinní a projektivní transformace v rovině a v prostoru
Projektivne rozsireny euklidovsky_prostor.pdf
Afinní prostor:
<math>A_n</math> neprázdná množina bodů
<math>W_n</math> - vektorový prostor (zaměření)
<math>f:A_n \times A_n \to W_n</math>
<math>f(A,
+ f(B,C) = f(A,C)</math><math>\forall P \in A_n, \forall X \in A_n : f_P(x) = f(P,X)</math> je bijektivní
Běžně <math>A_n = R^n, W_n = R^n, f(A,B) = B - A</math>.
Ekv. definice: Buď <math>A</math> neprázdná mnžožina nazývaná body, buď <math>W</math> vektorový prostor nad tělesem reálných čísel a dále mějme zobrazení <math>f:A \times A \to W</math> spl%nující
pro každý bod <math>a \in A</math> a libovolný vektor <math>u \in W</math> existuje právě jedno <math>b \in A</math>, pro které platí <math>f(a,b) = u</math>
pro každé tři body <math>a, b, c</math> platí, že <math>f(a,b) + f(b,c) = f(a,c)</math>
Potom se <math>(A, V, f)</math> nazývá affiní prostor.
Soustava souřadnic
Repér: pevný bod <math>O</math> + báze zaměření
Transformace souřadnic
Lineárně nezávislé body
<math>B_0,B_1, \ldots, B_n</math> jsou LN <math>\Leftrightarrow</math> <math>(B_1-B_0), (B_2-B_0), \ldots, (B_n-B_0)</math> jsou LN
Afinní prostor dimenze n je jednoznačně určen n+1 body:
<math>X = B_0 + \sum \beta_i (B_i-B_0) = B_0+ \sum \beta_i B_i - \sum \beta_i B_0 = B_0 \underbrace{(1-\sum \beta_i)}_{\beta_0} + \sum \beta_i B_i</math>
Afinní kombinace bodů (barycentrické souřadnice)
<math>X = \beta_0 B_0 + \beta_1 B_1 + \ldots + \beta_n B_n</math>, <math>\sum \beta_i = 1</math> Konvexní kombinace bodů - navíc požadavek <math>\beta_i \geq 0, \forall i</math>
Homogenní souřadnice. Pelikán - Algebraická motivace - dokáží reprezentovat body v nekonečnu, průnik dvou přímek má vždy řešení.
Homogení na kartézské - unikátní, kartézské na homogení neunikátní.
Proč? Transformace lze vyjádřit pomocí jedné matice
afinní a projektivní transformace v rovině a v prostoru
Geometric transformation, Pelikán - transformace
Euklidovské transformace:
otáčení - pozor, někde se může změnit znaménka u sinus, kvůli soustavě
posunutí
Afinní transformace: Mohou se měnit délky a úhly (např. kružnice do elipsy).
scale - změna měřítka
shear - kosení (<math>x' = x + a*y; y' = b*x + y</math>)
obecná afinní transformace - matice s různými koeficienty, poslední řádek [0,0,0,1], obecně <math>x' = a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_{14}w</math> apod pro ostatní. Matice může být singulární, ale pak neexistuje inverzní transformace.
Kombinace transformací. Transformace aplikovány na jednotlivé body. Transformace nejsou komutativní.
projektivní zobrazení =
Nejobecnější, vyžaduje homogení souřadnice, transformační matice nemá v posledním řádku [0,0,0,1]. Matice musí být nesingulární (=má inverzní zobrazení). Projekce může dávat vlastní body do nevlastních (=nekonečno) když w'=0. Nejsou lineární (dělení novým w'), <math>x' = (a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z + a_{14}w) / (a_{41}x + a_{42}y + a_{43}z + a_{44}w)</math>
Kvaterniony v reprezentaci 3D orientace
<math>Q = q_0 + q_1 i + q_2 j + q_3 k = ( q_0, (q_1, q_2, q_3) ) = (q_0, \overrightarrow{q})</math>
<math>i^2 = j^2 = k^2 = -1</math>
<math>i j = k, j i = -k, \ldots</math>
Operace s kvaterniony
<math>Q \cdot P = (q_0, \overrightarrow{q}) (p_0, \overrightarrow{p}) = (q_0 p_0 - \overline{q} \overline{p}; q_0 \overline{p} + p_0 \overline{q} +(\overline{q} \times \overline{p})</math> - komutativní pokud shodné vektorové části, jinak pouze asociativní a distributivní
<math>Q^* = (q_0, - \overrightarrow{q})</math>
<math>Q \cdot Q^* = (q_0^2 + \overline{q} \overline{q}; q_0 \overline{q} - q_0 \overline{q} + \overline{0}) = q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2</math>
<math>\| Q \| = \sqrt{Q \cdot Q^*}</math>
<math>Q \cdot Q^{-1} = 1 </math>
<math>Q^* \cdot Q \cdot Q^{-1} = 1 </math>
<math>Q^* \cdot Q \cdot Q^{-1} = Q^* </math>
<math>Q^{-1} = \frac{Q^*}{\| Q \|^2}</math>
Věta: <math>\| Q \cdot P \| = \| Q \| \cdot \| P \|</math>
Dk: <math>\| Q \cdot P \| = \sqrt{(Q \cdot P) \cdot (Q \cdot P)^*} = \sqrt{(Q \cdot P) \cdot (P^* \cdot Q^*)} = \sqrt{Q \cdot P \cdot P^* \cdot Q^*} = \sqrt{\| P \| Q \cdot Q^*} = \sqrt{\| P \|^2 \| Q \|^2} = \| Q \| \cdot \| P \|</math>
Jednotkové kvaterniony
<math>\| Q \| = 1</math>
tvoří multiplikativní podgrupu
<math>Q^{-1} = Q^*</math>
Jednotkový kvaternion je tvaru: <math>Q = ( cos( \alpha ), sin( \alpha ) \cdot \overline{a} ), \| \overline{a} \| = 1</math>
Rotace
Mějme jednotkový kvaternion <math>q=(\cos \alpha, \vec{n} \sin \alpha)</math>, <math>\vec{n}</math> je jednotkový vektor. Potom <math>r = q r q^{*}</math> je rotace <math>r</math> kolem osy <math>n</math> o úhel <math>2\alpha</math> proti směru hodinových ručiček.
Pokud není kvaternion <math>p</math> jednotkový, lze jednoduše upravit na jednotkový. <math>p r p^{-1} = p r \frac{p*}{||p||^2} = \frac{p}{|p|} r \frac{p^{*}}{|p|} = q r q^{*}</math>
Proč je to rotace: Rodrigezova formule dává stejný výsledek jako operace na kvaternionech
Složení dvou rotací je opět rotace: <math>q_2 (q_1 r q_1^{*} ) q_2^{*} = (q_2 q_1) r (q_2 q_1)^{*}</math>
Interpolace rotace
Lineární Eulerova interpolace
Kvaterniony - LERP
SLERP - sférická lineární interpolace
Diferenciální geometrie křivek a ploch
Šír - diferenciální geometrie křivek, Šír křivky, fjfi, Skripta
Křivky
Parametrizovaná křivka v R^3: interval <math>I=(\alpha, \beta)</math> je hladké zobrazení (=na I má spojité derivace všech řádů) <math>c: I \rightarrow R^3</math>
Vektor <math>T = c'(t)</math> se nazývá tečný vektor ke křivce c v bodě t.
Křivka je regulární, pokud její derivace <math>c'(t) \neq [0,0,0]</math>.
Křivka je parametrizovaná obloukem, pokud <math>|c'(t)|=1</math>
Každou regulární křivku lze parametrizovat obloukem
Délka křivky: <math>\int_{\alpha}^{\beta} |c'(t)| dt</math>
Příklady křivek: přímka, úsečka, kružnice, šroubovice,
Buď <math>c(s)</math> křivka parametrizovaná obloukem:
pak křivost definujeme jako <math>\kappa(s) = |c(s)| = |T'(s)|</math>.
bod, kde <math>\kappa(s) = 0</math> nazýváme inflexní
Mimo inflexní body definuji Frenetův repér jako tři vektory tečný (<math>T(s) = c'(s)</math>), normálový (<math>N(s) = \frac{T'(s)}{|T'(s)|} = \frac{T'(s)}{\kappa(s)}</math>) a binormálový vektor (<math>B = T \times N</math>).
Existuje jediná hladká fce <math>\tau(s)</math> nazývaná torze, tak, že
<math>T' = \kappa N</math>, <math>N' = -\kappa T + \tau B</math>, <math>B' = -\tau N</math>
Definujeme několik rovin:
<math>c(s) + <T,N></math> oskulační rovina
<math>c(s) + <N,B></math> normálová rovina
<math>c(s) + <B,T></math> rektifikační rovina
Reparametrizace křivky: křivka <math>\bar{c}(t) = c(s(t))</math> se nazývá reparametrizací parametrizované křivky <math>c</math>.
Nejdříve vyjádříme fci <math>s(t)</math>, která pro zadaný parametr t spočítá délku křivky až k bodu t: <math>s(t) = \int_{t_a}^{t} |c'(k)| dk</math>. K ní uděláme inverzní fci <math>t(s)</math>, která pro zadanou délku nám dá parametr, reparametrizovaná křivka <math>c(t(s))</math> parametrizovaná obloukem.
Plochy
Šír - Diferenciální geometrie ploch
Plocha: hladké zobrazení z otevřené množiny R2 do R3.
Parametrická regulární plocha je hladké (jsou derivace všech supňů) regulární (první derivace nikde 0) zobrazení p z otevřené množiny O R2 do R3 takové, že vektory parciálních derivací jsou v každém bodě lineárně nezávislé. Množinu <math>p(O)</math> nazveme obrazem mapy. Pokud je p wcs:homeomorfismus, tak <math>p(O)</math> se nazývá mapa.
Řekneme, že vektor <math>v \in R^3</math> je tečný vektor k ploše <math>S</math> v bodě <math>s \in S</math>, pokud existuje křivka <math>c</math>, <math><c> \subset S</math> (c leží na S) taková, že <math>c(t0) = s; c'(t0)=v</math>.
Je li p mapa na S, tak definuji normálový vektor jako <math>N = \frac{p_u \times p_v}{|p_u \times p_v|}</math> (<math>p_u</math>, <math>p_v</math> jsou parciální derivace)
Základní spline funkce
wen:Spline (mathematics), wcs:Spline
Spline křivka stupně <math>n</math> je po částech polynomiální křivka, kde každý polynom má stupeň nejvýše <math>n</math>. Jméno pocházi od pružného pravítka - křivítka. Požadujeme, aby polynomy sousedících částí měly stejné derivace až do <math>n-1</math>.
Spline je uniformní, pokud jsou všechny intervaly stejně veliké.
Přirozený spline je spline, který interpoluje své body, např. přirozený kubický spline je křivka, která je složená z polynomiálních oblouků stupně 3, patří do třídy C^2 (v řídících bodech ).
Máme n+1 bodů (0..n), n intervalů, použijeme přirozené kubiky spline. 4*n neznámých (kubka má 4 neznámé, n intervalů). Máme n+1 bodů x,y. Máme celkem 4n - 2 požadavků (každá kubika musí na začátku a na konci protínat bod + první a druhé derivace se musí v bodech rovnat), zbývají dva, které zvolíme jak chceme, např. druhé derivace koncových bodů = 0.
Kubické spliny C2 a jejich vlastnosti, interpolace kubickými spliny
Bézierovy křivky
wen:Bézier curve, wcs:Bézierova křivka
Křivka zadaná svým kontrolním polynomem, obvykle se používají kvadratiky (2 kontrolní body) nebo kubiky (3 kontrolní body)
<math>C(t) = \sum_{i=0}^{n} B_{i,j} P_i</math>, kde Bernsteinovy polynomy <math>B_{i,j}(t) = \binom{n}{i} t^i (1-t)^{n-i}</math>. T je 0..1
Široce používané, SVG, fonty.
Výpočet hodnoty buď pomocí rovnice nebo de Casteljau algoritmem.
Kreslení: obvykle adaptivní změna kroku, pokud přiliš malý/velký.
Vlastnosti:
tečny v koncových bodech křivy jsou dané poslenímy body kontrolního polynomu
invariantní vůči lineárním transformacím
křivka uvnitř konvexní obálky kontrolního polynomu (součet všech Bersteinových polynomů = 1)
prochází přesně koncovými body
vliv bodu globální, změna neovlivňuje jenom malé okolí.
hodograf (křivku derivace) lze spočítat jednoduše z bodů
derivace v počátečním a koncovém bodu stejná, jako směr dvou prvních a posledních bodů
Rozdělení na 2 křivky
Subdividing a Bézier Curve. Používají se vnitřní body získané de Casteljau.
Racionální bézier: dáme každému bodu váhu, nemusíme měnit kontrolní polygon pro změnu.
<math> \mathbf{B}(t) =
\frac{ \sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) \mathbf{P}_{i}w_i
} {
\sum_{i=0}^n B_{i,n}(t) w_i }
</math>
V normální Bézierovce je všude váha 1 a proto je suma jmenovatele 1.
Catmull-Rom spliny
Kubické spliny zadané posloupností <math>n+1</math> bodů <math>P_0, P_1,...P_n</math>. Křivka neprochází všemi body, vynechává první (<math>P_0</math>) a poslední (<math>P_n</math>). Pokud uživatel chce, aby jimi procházela, je potřeba zadat první a poslední dvojnásobně. Používají se pro interpolaci animaci mezi klíčovými snímky.
Vlasnost tečny:
tečna v bodě <math>P_i</math> je rovnoběžná s přimkou <math>P_{i-1} P_{i+1}</math>.
nejsou v konvexním obalu kontrolních bodů.
Výpočet na každém intervalu je snadný (známe lokace počátečního a koncového bodu a víme derivace [viz podmínka]) -> lze velmi snadno spočítat Catmul-Rom pro interval [P_i, P_{i+1}] pomocí bodů [P_{i-1}, P_{i}, P_{i+1}, P_{i+2}] (dají hodnoty i derivace).
B-spline
Základní fce <math>N_{i,p}</math> jsou definovány podle p.
Pro <math>p=0</math> platí <math>N_{i,0}(u) = \left\{\begin{matrix} 1 & \mathbf{if} \ u_i <u < u_{i+1}\\ 0 & \mathbf{jinak}\end{matrix}\right.</math>
Pro <math>p \neq 0</math> platí <math>N_{i,p}(u) = \frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}N_{i,p-1}(u) +\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}N_{i+1,p-1}(u)</math>.
B spline křivka stupně p je definovaná jako <math>C(u) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,p} P_i</math>. Máme n+1 bodů, m+1 uzlů a stupeň základních fcí p. Musí platit m = n + p + 1
Křivky nezačínají v počátečních souřadnicích. Pokud chceme, musíme dát počátečnímu/koncovému uzlu násobnost p+1.
Lokální, bod <math>N_{i,p}</math> je nenulové pouze na <math>u_i, u_{i+p+1}</math>
Uzavřená v konvexním obalu bodů (základní fce dávají dohromady 1)
Lokální modifikace: změna pozice bodu <math>P_i</math> ovlivní pouze úseky <math>[u_i, u_{i+p+1})</math>
uvnitř segmentů uzlového vektoru hladká, v uzlech je <math>C^{p-k}</math> spojitá, kde <math>k</math> je násobnost uzlu
béziér je speciálním případem B spline.
invariantní k afinním transformacím
Výhody - narozdíl od Béziera jsme oddělili stupeň křivky od počtu kontrolních bodů. Díky tomu můžeme mít velké množství kontrolních bodů a přesto mít jednoduchý výpočet.
Modifikace uzlu - změní se mapování úseku a fce => změna tvaru. Změna není moc predikovatelná.
De Casteljaův a de Boorův algoritmus
De Casteljaův algoritmus
Algoritmus pro nalezení bodu na bézierově křivce.
Více numericky stabilní než přímé vyhodnocení Béziera. Založeno na Bernštejnově polynomu:
<math>B_{i,n}(t) = (1-t) \cdot B_{i,n-1}(t) + t \cdot B_{i-1,n-1}(t)</math>,
Proč je alg. korektní - spočítá se, jaký je celkový příspěvek každého přes všechny cesty, je to rovné bersteionovu polynomu.
de Boorův algoritmus
Chceme, aby v uzlovém vektoru měl hledaný bod násobnost p. Pak bude jen jedna nenulová základí fce (<math>N_{i,0}</math>) a díky pyramidálnímu výpočtu bude křivka v daném bodě rovna kontrolnímu bodu.
Podíváme se, jakou má hledan= <math>t</math> násobnost a podle toho musím vložit <math>t</math> do uzlového vektoru.
najdi interval v uzlovém vektoru, kam <math>t</math> patří (<math>u_i, u_{i+1}</math> - <math>N_{i,0}</math>).
Je potřeba přidat nový bod (aby m=n+p+1 stále platilo i po přidání <math>t</math>)
Najdi všechny body, které ovlivňuje <math>N_{i,0}</math> (je vidět z pyramidy), jsou to <math>P_{i-p}...P_{i}</math> .
Vytvoř nové body Q, <math>Q_i = (1-a_i)P_{i-1} + a_i P_{i}</math>, <math>a_i = \frac{t-u_i}{u_{i+p} - u_i}</math>
Nahraď vnitřní body <math>P_{i-p}...P_{i}</math> (= ne body <math>P_{i-p}</math> a <math>P_i</math>) body <math>Q_i</math>. Přidej do uzlového vektoru <math>t</math>
Aproximační plochy
Aproximační plochy = plochy zadané body. Plochy modelujeme pomocí zadávání sítě řídících bodů v 3D. Obvykle se paroximuje po částech.
Pozor na rozdíl:
interpolační - plocha prochází body
aproximační - ploha používá body k určení svého tvaru
Zajímá nás napojení, bázové funkce jsou polynomy, protože snadno diferencovatelné. Reprezetn
plochy zadané okrajem
wen:Coons surface - Bilineární a bikubická Coonsova plocha, Coons patch & Bicubic patch
Coonsova plocha
Coonsova plocha používá křivky, nikoliv body k interpolaci povrchu. Máme zadané křivky okrajů, <math>P_0(v)</math> (levý okraj) <math>P_1(v)</math> (pravý okraj), <math>Q_0(u)</math> (dolní okraj) a <math>Q_1(u)</math> (horní okraj), stýkají se v rozích a hranice od 0-1.
Horizontální lineární interpolace mezi P nekopíruje hranice Q. Obdobně vertikální lineární interpolace mezi Q nekopíruje hranice P.
Co zkusit lineálně interpolovat obě najednou: <math>C(u,v) = (1-u)P_0(v) + u P_1(v) + (1-v) Q_0(u) + v Q_1(u)</math>? Problém - na hranicích to přirozeně nefunguje, protože v podstatě interpolujeme 2 body a pak je sečteme. Co se stane na okrajích:
<math>C(0,v) = P_0(v) + \underline{(1-v) Q_0(0) + v Q_1(0)}</math>, ale má být <math>C(0,v) = P_0(v)</math>
<math>C(1,v) = P_1(v) + \underline{(1-v) Q_0(1) + v Q_1(1)}</math>, ale má být <math>C(1,v) = P_1(v)</math>
<math>C(u,0) = Q_0(u) + \underline{(1-u) P_0(0) + u P_1(0)}</math>, ale má být <math>C(u,0) = Q_0(u)</math>
<math>C(u,1) = Q_1(u) + \underline{(1-u) P_0(1) + u P_1(1)}</math>, ale má být <math>C(u,1) = Q_1(u)</math>
Od <math>C(u,v) = (1-u)P_0(v) + u P_1(v) + (1-v) Q_0(u) + v Q_1(u)</math> odečteme přebytečné členy (ty podtržené). To už hranice následuje.
Výhody
Jednoduché na implementaci
následují okrajové křivky
Nevýhody: nemůžeme kontrolovat vnitřní tvar plochy
Bezierovy plochy
Zobecnění křivek: <math>C(u,j) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} P_{i,j} B_{i,n}(u) B_{j,m}(v)</math>; <math>u,v \in <0,1></math>
Výpočet: vnitřní suma je bézierovka-> de casteljau a pak vnější suma, znovu de Casteljau. Případně přímo.
Vlastnosti:
Lineární transformace nezmění plát.
Plocha zahrnuje rohové body (P_{0,0}, P_{n,0}, P_{0,m} a P_{n,m})(dosadut do rovnice)
hranice jsou Bézierovy křivky (dosadit).
Plocha je uvnitř konvexního obalu
Obvykle se používají bikubiky (n=m=3)
plátování
Žára, Moderní Poč. Grafika, str. 160
Převedení Bézierovy plochy (zejména bikubit) na trojúhelníkovou síť.
Algoritmus: Pokud síť dost rovná, skonči. Jinak vezmeme síť, rozdělíme všechny křivky řídících polynomů pomocí de Casteljau na 2 v t=1/2. Pak totéž ve vertikálním směru pro každou polovinu.
Adaptivní - pokud bychom automaticky dělili všechny 4 plochy, není o nic lepší, než spočítat přímo. Plochyu před rozdělením ohodnotíme, zda není dost rovná (např. kvadrát vzdálenosti od roviny 3 okrajů).
Cracking problém - 2 sousedící pláty, 1 se rozdělí, druhý ne. Hranice rozděleného již není přímka (=je to více přímek) a máme prasklinu.
B-spline plochy
Máme uzlový vektor v horizontální u, pro vertikální v.
<math>C(u,v) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} P_{i,j} N_{i,p}(u) N_{j,q}(v)</math>.
Pozor, stále musí platit, že počet prvků v uzlovém vektoru musí být stupeň křivky v tom směru + počet bodů v tom směru + 1. Taktéž pokud se má dotýkat okrajových bodů, násobnost musí být stupeň + 1 (i.e. <math>p+1</math> nebo <math>q+1</math>)
Vykreslení: dvojitý de Boorův algoritmus, <math>C(u,v) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} P_{i,j} N_{i,p}(u) N_{j,q}(v) = \sum_{i=0}^{n} N_{i,p}(u) (\sum_{j=0}^{m} P_{i,j} N_{j,q}(v) )</math>. Není potřeba transformovat všechny body (lokálnost).
NURBS plochy
Invariantní vůči perspektivní projekci, ta je náročná na prostředky, ale u NURBS mi stačí perspektivně transformovat body a pak ji zobrazit.
Umí zobrazovat komplikované plochy, kuželosešky, válec atd. Díky tomu ve všech alg. stačí implementovat NURBS a máme všechno ostatní (např. sledování paprsku - místo X různých objektů se pracuje s jedním typem).
Vzorec <math>C(u,j) = \frac{ \sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} w_{i,j} P_{i,j} N_{i,p}(u) N_{j,q}(v) }{\sum_{i=0}^{n} \sum_{j=0}^{m} w_{i,j} N_{i,p}(u) N_{j,q}(v)}</math>.
NURBS používají homogení souřadnice - vložení nového uzlu je přes vynásobení váhovou funkcí, takže máme o dimenzi víc, tam provedeme vložení a vrátíme do 3D. Dtto de Boor.
Základní věty o konvexitě, kombinatorická složitost konvexních mnohostěnů
~hlineny/Teaching/OU/OU-text07.pdf
Konvexní kombinace dvou vektorů <math>\vec{x}, \vec{y} \in R^n</math> rozumíme každý vektor ve tvaru <math>\alpha\vec{x} + (1-\alpha)\vec{y}, \alpha\in <0,1></math>
Množina <math>X \subseteq R^n</math> je konvexní, pokud pro každé dva prvky <math>\vec{x},\vec{y} \in X</math> jsou i všechny jejich konvexní kombinace prvky X.
Věta: Průnik <math>X \cap Y</math> je konvexní množina.
Dk: Pro každé x,y z průniku platí, že všechny jejich kombinace patří do X i Y, což je definice.
Definice: Nechť <math>K</math> je konvexní množina. Bod <math>v \in K</math> je krajním bodem <math>K</math>, pokud neexistují body <math>x, y \in K \setminus v</math> takové, že v by bylo konvexní kombinací <math>x</math> a <math>y</math>.
Věta o oddělující nadrovině: Máme <math>X \subseteq R^n</math> uzavřenou konvexní množinu. Dále máme <math>\vec{z} \not\in X, \vec{z} \in R^n</math>. Pak existuje nadrovina oddělující <math>\vec{z}</math> od <math>X</math>.
Návrh geometrických algoritmů a jejich složitost
Voroného diagram a Delaunayova triangulace
Voronoi diagramy,wen:Voronoi diagram
Máme množinu bodů a VD rozděluje rovinu na oblasti, kde každý bod je součátí oblasti nejbližšího bodu. VD je hranice mezi oblastmi (=body, které jsou stejně vzdálené k více bodům).
Vlastnosti:
konvexní
v každé oblasti 1 bod
některé oblasti neuzavřené
pokud žádné 4 body neleží na kružnici, uzly mají stupeň 3
je-li p_i nejbližší soused p_j, tak jejich oblasti sdílí hranu
Konstrukce:
wen:Fortune's algorithm - má sweep line, která jde zleva doprava a beachline (sjednocení parabol - parabola = stejná vzdálenost od přímky a bodu). beachline mapuje VD, když SL přijde nový bod tak nová parabola v beachline, pokud se ruší křivka (pokud se tři body, které tvoří tři sousední paraboly na beachline jsou v kruhu, který se dotýká sweep line = bod má stejnou vzdálen ost ke všem třem bodům)
Delaunayova triangulace
Rovinne triangulace a jejich aplikace,wen:Delaunay triangulation
Triangulace N bodů množiny P - rozdělení ConvexHull(N) do simplexů (simplex v dimenzi k má k+1 bodů=ve 2D trojúhelník). Počet hran v E2 (euklid2D) max 3N-6, přesně 3N-3-N_convex_hull
Kritéria - lze vybrat mnoho triangulačních sítí, kterou?:
Co nejrovnostranější trojúhelníky - úhlová kritéria: maximalizace min. úhlů, mainimalizace max. úhlů. Hranová kritéria: Co nejkratší součet délek hran.
občas např. chceme zachovat nekonvexnost oblasti (např. písmena)
začlenění některých povinných hran
kružnice opsaná libovolnému trojúhelníku DT(P) v sobě neobsahuje žádné další body z P. Ze všech triangulací má trojúhelníky nejblíže k rovnostranným. Duální k voroniho diagramu
pokud nejsou tři na čáře apod, tak je triangulace unikátní.
Flipping: pokud máme dva trojúhelníky, které sousedí hranou a které nejsou DT (=opsané kružnice obsahují další vrchol nebo úhly > 180), přehození hrany to změní. Začne se s libovolnou triangulací a poté se přehazují hrany, které nejsou DT.
Konvexní obal, lokalizace, datové struktury a algoritmy pro efektivní prostorové vyhledávání
Pozor na degenerované případy, např. více bodů na přímce
2D
Grahamův algoritmus - najdi bod s nejmenším y (pokud víc, nejpravější), seřaď body podle úhlu s bodem p a osou x, potom v pořadí testuj, jestli je to stále konvexní, pokud se otáčí opačným směrem, odstraň předcházející body, dokud není zase konvexní. Nejde zobecnit do vyšších dimenzí. O(N log N)
Balení dárku - vybere se nejlevější bod (zaručeně v obalu). Opakuj: najdi další bod obalu tak, že se podívá na všechny body a vybere ten s nejmenším úhelm od současného úhlu. Složitost (počet_bodu_obalu * N). Pomalý (až N^2), nepoužívá se.
Rozděl a panuj - pokud málo bodů, zkonstruuj obal, jinak rozděl na 2 poloviny, pro každou rekurzivně vlastní obal a výsledné obaly spoj. Pokud spojení O(N), tak O(N log N)
3D
Balení dárku - máme stěnu F a hledáme přes její hranu e polorovinu, která má největší úhel < 180. O(počet_stěn*N)
Rozděl a panuj. Pokud spojení O(N), tak O(N log N)
Lokalizace
Lokalizace - hledání bodu. Geometricke vyhledavani
Konvexní polygon
Ray crossing, vodorovná přímka procházející bodem, pokud lichý počet průsečíků, uvnitř, jinak venku
Test vůči každé hraně - každá hrana definuje polorovinu, pokud ve všech, tak uvnitř
Půlení intervalu
Nekonvexní polygon
Ray crossing
Ovíjení - jdu postupně po všech bodech a sčítám úhly P_i - bod - P_i+1. Pokud je uvitř, tak obejde celý polygon a vysledek je 360, pokud venku, tak se vrátí a výsledek 0.
Hledání v síti
Planární dělení - Každý separátor dělí rovinu na 2 částí=lze použít binární vyledávání. Něco jako BSP
Metoda pásů - vezmemem všechny body a seřadíme do pásů podle x (lze vyhledávat binárně), v každém pásu všechny přimky, seřazené posle y. Hledání O(log N)
datové struktury a algoritmy pro efektivní prostorové vyhledávání
Geometricke vyhledavani 2 Datové struktury pro prostorové vyhledávání
octree
k-D tree
range tree - strom podle x a v každé node strom podle y prvků, které spadají pad danou node
BSP tree
R-tree - v listech obálky, vnitřní uzly obálky podstromů
Materiály
…
{{Stub}} Category: Státnice Informatika Mgr.