Úvod

  • Brownův pohyb = náhodný pohyb částic rozptýlených v kapalině či matematický model popisující náhodné pohyby

  • matematický model má mnoho aplikací - například fluktuace na burze akcií

  • nejjednodušší ze stochastických (náhodných) procesů - limit náhodné procházky a Donskerova teorému, univerzálnost \sim univerzalitě normálního

rozdělení

  • Einstein (1905) a Smoluchowski (1906) - řešení Brownova pohybu k potvrzení existence atomů a molekul -> že Brownův pohyb v médiu v TD teplotě T je charakterizován difuzním koeficientem: D=kBTbD=\frac{k_B T}{b}, (kde b - odporový součinitel) a kvadratická výchylka částice v libovolném směru je \sqrt

{2Dt}

  • experimenty -> výchylky 4-6x větší než předpověď

  • Einstein - že pohyb předpovězen z kinetickéh modelu tepelné rovnováhy -> potvrdilo to, že vysvětlení 2VTD pomocí kinetické teorie je základní statistický

zákon

Experimenty

  • Gouy zjistil:

    • pohyb nepravidelný, translace a rotace -> Wiener 1923, že body Brown.trajektorie všude spojité

    • 2 částice se zdají pohybovat nezávisle i když se přiblíží víc než na svůj průměr

    • menší částice -> aktivnější

    • složení a hustota částic nemá efekt na pohyb

    • méně viskozní kapaliny -> aktivnější

    • vyšší teplota -> aktivnější

    • pohyb se nikdy nezastaví

1.vysvětlení

  • zákon zachování hybnosti při kolizi atomů 12m<v2>=32kBT\frac{1}{2}m <v^2>=\frac{3}{2}k_B T - makroskopické částice (typicky 10−610^-6) M, V a oklní částice m, v -> srážkou

se změní Δ\Delta v -> změna mMV\frac{m}{M}V

  • -> pozorovaný pohyb o 2 řády větší

  • -> že jako obří atom 12M<s2˙>=32kBT\frac{1}{2}M <\dot{s^2}>=\frac{3}{2}k_B T -> moc velká rychlost vůči pozorvané - neboť ekvipartiční teorém jen když čas mezi pozorováními ∼\sim času mezi kolizemi

Einstein

  • 1905

  • náhodná procházka + Maxwell-Boltzmanovo rozdělení -> částice v kapalině když dostane úder díky srážce s molekulou -> změní se její rychlost, ale u viskozní kapaliny tak se rychlost rychle disipuje a celkovým výsledkem srážky je výchylka částice -> kumulativním efektem jsou náhodné skoky v pozici - vzal jako malé -> diferenciální rovnice

  • že střední kvadratická výchylka se zvětšuje lineárně s časem

  • že v rovnováze Maxwellovské rozdělení rychlostí -> konstannty v řešení jako funkci T a viskozity

  • experimentálně potvrzeno 1908

Fokker-Planckova rovnice = Smoluchowskiho rovnice

  • Odvození:

    • f Brownovských částic na 1V (=reprezentativní body realizace náhodné veličiny popisující Brownův pohyb) rozptýlených v kapalině v r⃗+r⃗+dr⃗\vec{r}+\vec{r}+d\vec{r} v čase t a jsou vystaveny vnější síle K⃗=−gradU(r⃗)\vec{K}=-grad U(\vec{r}), U- potenciál

    • díky vlivu K⃗\vec{K} přechází v objemu ν\nu s hranicí S driftový proud částic S (Gaussova věta):

      ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 7: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲}{\part t} \int…

      • rovnice kontinuity:

        ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 7: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲f}{\part t}+ di…

        = zákon zachování reprezentativních bodů -> driftový proud Jd⃗−fvd⃗\vec{J_d}-f \vec{v_d}, vd⃗\vec{v_d} - driftová rychlost částice

      • předpoklad K⃗−ξvd⃗=0\vec{K}-\xi \vec{v_d}=0 -> Jd⃗=fk⃗ξ=−(fξ)gradV\vec{J_d}=f \frac{\vec{k}}{\xi}= - \left( \frac{f}{\xi} \right) gradV => Jd⃗=−(fξ)gradV\vec{J_d}=-\left( \frac{f}{\xi}\right) grad V, kde ξ\xi - odporový součinitel částice, ξvd⃗\xi \vec{v_d} - odpor viskozity

      • tepelný pohyb částice - difuzní člen Jdiff⃗=−Dgradf\vec{J_{diff}}=-D grad f, D=kTξD=\frac{kT}{\xi} - koeficient difuze

    • =>dosazení do rovnice kontinuity -> Smoluchowskiho rovnice:

      ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 7: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲f}{\part t}= D …

      - popisuje vývoj f v konfiguračním prostoru, říká, že rozdělení rychlostí dosáhne statistické rovnováhy což je Maxwellovské rozdělení

  • Klein - Kramersova rovnice:

    ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 7: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲f}{\part t}+ \v…

    - popisuje evoluci hustoty f(r⃗,v⃗,t)f(\vec{r}, \vec{v}, t) reprezentativních bodů ve fázovém prostoru (r⃗,v⃗)(\vec{r}, \vec {v})

Odvození střední kvadratické výchylky částic, Difuze ve vnějším poli

  • z Langevinovy rovnice (viz. otázka Langevinova rovnice)

  • Einstein

    • -> každá individuální částice se pohybuje nezávisle na ostatních

    • -> pohyb částice v jednom konkrétním okamžiku je nezávislý na pohybu částice v jiném okamžiku, je-li časový interval dost dlouhý

    • vezme dost dlouhý časový interval τ\tau (aby nezávislé na pohybu v čase t+ τ\tau) , ale malý vůči době mezi pozorováními

    • ....-> střední kvadratická výchylka: x2ˉ=2Dt\sqrt{\bar{x^2}}=\sqrt{2Dt}

    • ->

      ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 12: \tau \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲f}{\part x^2}= …

      a D=12τΔ2ˉD=\frac{1}{2 \tau}\bar{\Delta^2} (D-translační difuzní koeficient) =>

      ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \part at position 7: \frac{\̲p̲a̲r̲t̲ ̲f}{\part t}=D \…

      =difuzní rovnice v 1D pro malá Δ\Delta - řešením - že všechny částice na začátku blízko sebe (x=0, t=0)

    • řešení difuzní rovnice: f(x,t)=14ΠDte−x24Dt,∞<x<∞f(x,t)= \frac{1}{\sqrt{4 \Pi D t}} e^{\frac{-x^2}{4Dt}}, \infty <x < \infty

    • střední kvadratická výchylka částice v x směru: x2ˉ=2Dt\sqrt{\bar{x^2}}=\sqrt{2Dt} a r2ˉ=3x2ˉ\bar{r^2}=\bar{3x^2}

  • difuzní koeficient D: částice jsou v poli síly K⃗(x)\vec{K}(x) (např.gravitační pole), Maxwell-Boltzmanovské rozdělení poloh částic f=f0e−VkTf=f_0 e^{\frac{-V}{kT}}

Aplikace teorie Brownova pohybu v potenciálu

  • VA charakteristiky Josephsonova přechodu

  • dielektrická a Kerr-effect relaxace v kapalinách a v molekulárních a nematických kapalných krystalech

  • pohyblivost superionizovaných vodičů

  • šířky čar v NMR

  • nekoherentní rozptyl pomalých neutronů

  • termalizace n0n^0 v moderátoru z těžkého plynu

  • únik částic přes potenciálové bariéry

  • magnetická relaxace feromagnetické částice s 1 doménou (superparamagnetismus)

  • dynamika polymerů

Rovnice difuze