8. Maxwellovy rovnice a jejich základní důsledky

Maxwellovy rovnice a jejich základní důsledky Elektromagnetické potenciály a jejich vlastnosti. Zákony zachování v teorii elektromagnetického pole. Vlastnosti stacionárních, kvazistacionárních a nestacionárních polí.

Státní závěrečná zkouška

[edit]

Soustava Maxwellových rovnic

K popisu elektromagnetického pole slouží veličiny:

intenzita elektrického pole $\mathbf{E}$ a magnetická indukce $\mathbf{B}$ . V bodě prostoročasu je pole $\mathbf{E,B}$ tehdy, je-li síla působíci na testovací částici náboje $e$ a hmotnosti $m$ rovna

$\mathbf{F} = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B)$

což je Lorentzova síla. Tento vztah je úplně správný: v relativistickém případe platí pohybová rovnice pro částici: $\mathbf F = q(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B) = \frac{d(\gamma m \mathbf v)}{dt}$

Pole E, B jsou skutečná pole, zodpovědná za změnu hybnosti nabitých částic. Maxwellovy rovnice pro ně zní

$\mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho$
$\mathrm{div}\, \mathbf{B}=0$
$\mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
$\mathrm{rot}\, \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}+\mu_0\epsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$

V látkovém prostředí může být užitečné zavést další veličiny

elektrickou indukci $\mathbf{D}$ a magnetickou intenzitu $\mathbf{H}$ . Ty jsou definovány vztahy

$\mathbf{D} = \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P},~~~\mathbf{B} = \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} )$

kde $\epsilon_0 = \frac{10^7}{4\pi c^2} \approx 8,854~2.10^{12}~\mathrm{jSI}$ , $\mu_0 = 4\pi.10^{-7} \approx 1,2566.10^{-6}~\mathrm{jSI}$ a veličiny P,M jsou definované v látkovém prostředí takto. Představme si malou krychli látky o objemu $Δ V$ a dipólového momentu $\Delta \mathbf p$ . Elektrická polarizace je objemová hustota elektrického dipólového momentu

$\mathbf{P} = \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta V}$

a protože se dipólový moment krychle dá vyjádřit z definice jako posunutý náboj (polarizační $ρ p$ ) krát posunutí z rovnovážné polohy $\Delta \mathbf p = \rho_p.\Delta V.\Delta \mathbf r$ , dá se také vyjádřit jako

$\mathbf{P} = \rho_p \Delta \mathbf r$ .

Podobně magnetizace je objemová hustota magnetického momentu

$\mathbf M = \frac{\Delta \mathbf{m}}{\Delta V}$ .

Představme si malý čtvercový kvádr látky tloušťky b o straně a, vybranou tak, aby směr magnetického momentu k byl kolmý na plochu čtvercové podstavy. Pak je z definice magnetického momentu

$\mathbf M = \frac{\Delta \mathbf m}{\Delta V} = \frac{\Delta I \Delta S \mathbf k}{\Delta V} = \frac{bj_S \mathbf k a^2}{ba^2} = j_S\mathbf k$

tedy magnetizace má směr kolmý na rovinu obíhaní proudu a velikost rovnu délkové hustotě plošného proudu $j S$ .

Tyto veličiny jsou spolu svázány soustavou Maxwellových rovnic.

[edit]

Diferenciální tvar

Maxwellovy rovnice lze zapsat v diferenciálním tvaru následujícím způsobem:
$\mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho_v$
$\mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$
$\mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
$\mathrm{div}\, \mathbf{B}=0$

První dvě rovnice popisují vztah mezi nábojovou hustotou volných nábojů $ρ v$ , hustotou volných proudů $\mathbf{j_v}$ a vektory elektromagnetického pole $\mathbf{D}$ a $\mathbf{H}$ . Poslední dvě rovnice udávají obecně platné vlastnosti vektorů $\mathbf{E}$ a $\mathbf{B}$ .

[edit]

Integrální tvar

V integrálním tvaru nabývají Maxwellovy rovnice podoby ( $Q$ je volný náboj v objemu ohraničeném plochou $S$ a $I$ je proud protékající plochou ohraničenou křivkou $l$ ):
$\oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q$
$\oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+\int_{S}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}$
$\oint_{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\int_{S}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}$
$\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0$

První rovnice odpovídá Gaussovu zákonu, druhá představuje zobecněný Ampérův zákon, třetí reprezentuje Faradayův indukční zákon a čtvrtá vyjadřuje neexistenci magnetických nábojů.

[edit]

Elektromagnetické potenciály

[edit]

Zavedení potenciálů

Pro řešení Maxwellových rovnic je výhodné následujícím způsobem zavést vektorový potenciál $\mathbf{A}$ a skalární potenciál $\varphi$ :
$\mathbf{B}=\mathrm{rot}\, \mathbf{A}$
$\mathbf{E}=-\mathrm{grad}\, \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$

Zavedení $\mathbf{A}$ podle prvního vztahu umožňuje poslední z Maxwellových rovnic, druhý vztah lze získat dosazením prvního do třetí Maxwellovy rovnice.

[edit]

Kalibrační transformace

Potenciály $\mathbf{A}$ a $\varphi$ nejsou určeny jednoznačně a je tedy možné přejít k jiným pomocí kalibrační transformace
$\varphi'=\varphi -\frac{\partial \psi }{\partial t}$
$\mathbf{A}'=\mathbf{A}+\mathrm{grad}\, \psi ,$
aniž by přitom došlo ke změně $\mathbf{E}$ a $\mathbf{B}$ . Elektromagnetické pole je tedy kalibračně invariantní.

[edit]

Lorentzova podmínka

Kalibrační transformace umožňují takovou volbu potenciálů, při které je splněna Lorentzova podmínka
$\mathrm{div}\, \mathbf{A}+\epsilon \mu \frac{\partial \varphi }{\partial t}=0,$
kde $ε$ značí permitivitu a $μ$ permeabilitu vystupující v (lineárních) materiálových vztazích. Zavedené potenciály lze s využitím materiálových vztahů dosadit do prvních dvou Maxwellových rovnic a díky této podmínce je možné po úpravách získat vlnovou rovnici
$\Delta \varphi -\epsilon \mu \frac{{\partial }^{2}\varphi }{\partial {t}^{2}}=-\frac{\rho }{\epsilon }$
$\Delta \mathbf{A}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^{2}\mathbf{A}}{\partial {t}^{2}}=-\mu \mathbf{j}$

[edit]

Zákony zachování

$ten: Toto je narychlo vypsáno z Feynmanových přednášek 2. díl kap. 27 Energie pole a hybnost pole.

Určitě to sem částečně patří, ale je to jen pár neformálních výkřiků do tmy a mávání rukama. Kdo to víte lépěji, prosím, opravte to a doplňte.

[edit]

Lokálnost zákonů zachování

Velmi stručně shrnuto jde o to, jestli zákony zachování platí globálně, lokálně nebo jak.

Příklad zachování elektrického náboje. Náboj v uzavřeném systému se nemění (např. v celém vesmíru). Můžeme si tedy představit situaci, že v místě A je náboj a s časem ubývá. Na jiném (vzdáleném) místě B pak úplně stejně náboj z ničeho nic přibývá. Zákon zachování funguje. Ovšem teorie relativity v tomto případě vztyčí varovný prst a zakáže jakékoliv okamžité působení na dálku. Náboj se tedy bude muset přesunout nějakým tokem - proudem.

Vztah proto pak je jednoduše (rovnice kontinuity)

$\mathbf{\nabla \cdot j} = - \frac{\partial \rho}{\partial t}$ .

Tzn. že zákon zachování musí platit lokálně, v každém místě. Pro všechny veličiny, které se mají zachovávat, pak platí, že ubývají tak, jak velký je jejich tok do okolí.

Elegantní je to v STR: $j^{\nu \mu}_{,\mu} = F^{\mu \nu}_{ ,\mu \nu} = 0$ , protože $F μν$ je antisymetrický, zatímco derivace jsou záměnné (tj. ve spodních indexech je to symetrický výraz). Připomínám $j ν = (c ρ, j x, j y, j z)$ a $F μν = A ν,μ - A μ,ν$ a $A_\mu = (\frac{\Phi}{c}, A_x, A_y, A_z)$ . $c$ je rychlost světla, $ρ$ hustota nábojů, $Φ$ skalární potenciál elektrického pole a $A x$ až $A z$ jsou složky vektorového potenciálu magnetického pole.

[edit]

Zákon zachování energie pro EM pole

Nu a stejně jako pro náboj musí být splněn zákon zachování energie. Úplně analogicky je tedy hustota energie pole $w$ a hustota toku energie pole $\mathbf{S}$ spojena vztahem:

$\frac{\partial w}{\partial t} = - \mathbf{\nabla \cdot S}$

Předešlá rovnice ještě není celá fertig, nezachovává se totiž jen energie EM pole, ale všechna energie - i energie látky.

Časová změna hustoty energie se tedy spotřebuje na to co vyteče z objemu $V$ a na práci vykonanou v tomto objemu. Pole koná práci na elektrické náboje.

Lorentzova síla: $\mathbf{F} = q \left( \mathbf{E} + \mathbf{v \times B} \right).$

Práce za jednotku času: $\mathbf{F \cdot v} = q \mathbf{E \cdot v}$

Z toho práce na jednotku objemu s koncentrací částic $N$ je $Nq\mathbf{E \cdot v} = \mathbf{E \cdot j}$ .

Pozn.: "Překvapivě" vlastně hustota výkonu dle Joulese. $P = U I$ .

Takže sakumprdum je vztah pro zachování energie v objemu $V$ s hranicí $Σ$

$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V w \mathrm{d}V = \oint_{\Sigma} \mathbf{S \cdot n}\mathrm{d}\Sigma + \int \mathbf{E \cdot j}\mathrm{d}V$

Což nám matematici jistě dovolí přepsat jako

$-\frac{\partial w}{\partial t} = \mathbf{\nabla \cdot S} + \mathbf{E \cdot j}$ $\left(\heartsuit\right)$

[edit]

Co jsou to ty w a S

Intuitivní odvození následuje. Berte jako vodítko.

Dle předešlých úvah předpokládáme, že existuje (a všem experimentům se líbí) nějaká hustuta energie $w$ a tok hustoty energie $\mathbf{S}$ .

Dostaňme je jak jinak z Maxwellek.

Vemme rovnici pro rotaci B (pozn. nechal jsem rozměrové konstanty tam, jak je píšou v F. přednáškách, je to trochu nezvyk):

$\mathbf{j} = \epsilon_0 c^2 \left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial{t}}$

Vynásobíme-li skalárně E dostaneme levou stranu $\left(\heartsuit\right)$

$\mathbf{E \cdot j} = \epsilon_0 c^2 \mathbf{E \cdot} \left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \epsilon_0 \mathbf{E \cdot} \frac{\partial E}{\partial{t}}$ .

Teď prosím matematiky aby se odvrátili od monitorů, neb fyzici berou klidně bez okolků následující vztah za platný. "Vždyť copa. Derivace jako derivace a násobení jako násobení, jakýpa s tim s****."

$\mathbf{\nabla \cdot}\left(\mathbf{B \times E}\right) = \mathbf{E \cdot}\left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \mathbf{B \cdot}\left(\mathbf{\nabla \times E}\right)$ . (bacha na znaménko)

S použitím vztahu, který si matematici právě teď ještě ověřují, dostáváme

$\mathbf{E \cdot j} = \epsilon_0 c^2 \mathbf{\nabla \cdot} \left(\mathbf{B \times E}\right) + \epsilon_0 c^2 \mathbf{B \cdot} \left(\mathbf{\nabla \times E}\right) - \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{1}{2} \epsilon_0 \mathbf{E \cdot E} \right)$ .

" $\nabla \times E$ je naštěstí rovno" $-\partial \mathbf{B} / \partial t$ a tedy

$\mathbf{B \cdot (\nabla \times E)} = - \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\mathbf{B \cdot B}}{2} \right)$

Takže $\heartsuit$ přejde na

$\mathbf{E \cdot j} = \mathbf{\nabla \cdot} \left(\epsilon_0 c^2 \mathbf{B \times E} \right) - \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{\epsilon_0 c^2}{2}\mathbf{B \cdot B} + \frac{\epsilon_0}{2} \mathbf{E \cdot E} \right)$ ,

kde už vidíme

$w = \frac{\epsilon}{2}\mathbf{E \cdot E} + \frac{\epsilon_0 c^2}{2} \mathbf{B \cdot B}$ ,

$\mathbf{S} = \epsilon_0 c^2 \mathbf{E \times B}$ .

[edit]

Elektrostatika

[edit]

Maxwellovy rovnice pro elektrostatické pole

Elektrostatika se zabývá případem, kdy jsou všechny elektrické náboje v klidu. Maxwellovy rovnice pak vypadají následovně:
$\mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho$
$\mathrm{rot}\, \mathbf{H}=0$
$\mathrm{rot}\, \mathbf{E}=0$
$\mathrm{div}\, \mathbf{B}=0$

[edit]

Poissonova a Laplaceova rovnice

Vztah mezi potenciálem elektrostatického pole a rozložením náboje určuje Poissonova rovnice
$\Delta \varphi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_{0}},$
která v místech s nulovou hustotou náboje přechází na Laplaceovu rovnici
$\Delta \varphi =0$
(jednoznačnost řešení zajišťují okrajové podmínky).

[edit]

Základní úloha elektrostatiky

Základní úloha elektrostatiky spočívá v určení potenciálu (a tím i intenzity elektrického pole) soustavy nabitých vodičů. Jde tedy o řešení Laplaceovy rovnice v místech mimo nabité vodiče s okrajovými podmínkami, které představují zadané potenciály, resp. náboje jednotlivých vodičů a požadavek nulového potenciálu na hranici zkoumaného objemu či (v limitě) v nekonečnu v případě celého prostoru.

[edit]

Vhodné vztahy

Pro řešení úloh je možné v elektrostatice vycházet z Gaussova zákona (viz výše), případně z jiných známých vztahů jako např. z výrazu pro intenzitu elektrického pole v místě $\mathbf{r}$ od náboje $Q$ umístěného v $\mathbf{r}'$
$\mathbf{E}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_{0}}\frac{Q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'{|}^{3}}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right)$

[edit]

Stacionární pole

[edit]

Maxwellovy rovnice pro stacionární pole

Ve stacionárním stavu jsou všechny makroskopické veličiny časově nezávislé. V tomto případě nabývají Maxwellovy rovnice tvaru:
$\mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho$
$\mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}$
$\mathrm{rot}\, \mathbf{E}=0$
$\mathrm{div}\, \mathbf{B}=0$

Prostorové rozložení nábojů je popsáno časově konstantní nábojovou hustotou $ρ$ . Na rozdíl od elektrostatiky však mohou náboje konat makroskopický pohyb, kterému odpovídá časově neproměnná proudová hustota $\mathbf{j}$ .

[edit]

Ohmův zákon

Další odlišnost od elektrostatiky představuje existence nenulového elektrického pole uvnitř vodičů, kterými protéká proud. Úměru mezi proudovou hustotou a intenzitou elektrického pole v daném vodiči o měrné vodivosti $γ$ vyjadřuje diferenciální tvar Ohmova zákona:
$\mathbf{j}=\gamma \mathbf{E}$

Měrná vodivost je spojena s měrným odporem $σ$ vztahem
$\gamma =\frac{1}{\sigma }$

Odpor $R$ vodiče délky $l'$ a průřezu $S'$ udává výraz
$R=\sigma \frac{l'}{S'}$

Vyjádřením elektrického proudu
$I=\int_{S'}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}'$
a napětí
$U=\int_{\left(1\right)}^{\left(2\right)}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}'={\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}$
lze zapsat Ohmův zákon ve tvaru
$I=\frac{U}{R}$

[edit]

Vhodné vztahy

Pro řešení úloh lze v případě stacionárního pole vhodně užít Gaussův zákon (viz výše), Ampérův zákon ve tvaru
$\oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I$
a Biot-Savartův vzorec
$\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{\mu }{4\pi }\int_{V}\frac{\mathbf{j}\left(\mathbf{r}'\right)\times \mathbf{R}}{{R}^{3}}dV',$
kde $\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}'$ , integrační proměnná je $\mathbf{r}'$ a integruje se přes objem $V$ .

[edit]

Kvazistacionární pole

[edit]

Maxwellovy rovnice pro kvazistacionární pole

Kvazistacionární přiblížení je vhodné pro studium časově proměnného elektrického a magnetického pole za předpokladu dostatečně pomalých změn rozložení nábojů, tedy
$\mathbf{j}>>\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$

Maxwellovy rovnice tak mají podobu:
$\mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho$
$\mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}$
$\mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
$\mathrm{div}\, \mathbf{B}=0$

[edit]

Elektromagnetická indukce

Jak je patrné, oproti stacionárnímu přiblížení je zde již uvažován jev elektromagnetické indukce. Pro indukované elektromotorické napětí $U F$ ve vodivé smyčce, kterou prochází (časově proměnný) magnetický indukční tok $Ψ$ , platí Faradayův indukční zákon
${U}_{F}=-\frac{d\Psi }{dt}$

Skutečnost, že směr indukovaného proudu ve smyčce je takový, že jím vytvořené magnetické pole se snaží kompenzovat změny toku způsobující vznik indukovaného proudu, se nazývá Lenzovo pravidlo.

V případě smyčky o ploše $S''$ nehybné vzhledem k laboratorní soustavě (a neměnící svou geometrii) lze psát
${U}_{F}=-\int_{S''}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}''$

[edit]

Vhodné vztahy

Při řešení úloh lze v případě kvazistacionárního pole postupovat podobně jako ve stacionárním přiblížení, ovšem Ohmův zákon je nutné doplnit o indukované elektromotorické napětí $U F$ , resp. odpovídající indukovanou vtištěnou intenzitu elektrického pole ${\mathbf{E}}_{F}^{\star }$ .

[edit]

Nestacionární pole

[edit]

Maxwellovy rovnice pro nestacionární pole

Nestacionární pole představuje zcela obecný případ elektromagnetického pole. K jeho popisu je třeba užívat Maxwellovy rovnice v obecném tvaru ze začátku tohoto textu:
$\mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho$
$\mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$
$\mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$
$\mathrm{div}\, \mathbf{B}=0$

[edit]

Maxwellův proud

Jak je patrné, oproti kvazistacionárnímu přiblížení se na pravé straně druhé z rovnic vyskytuje výraz $\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ , který lze považovat za celkovou hustotu makroskopického nestacionárního proudu
${\mathbf{j}}_{c}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+{\epsilon }_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},$
kde první člen $\mathbf{j}$ odpovídá hustotě volného proudu, druhý člen $\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$ přísluší hustotě polarizačního proudu a poslední člen ${\epsilon }_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ je hustota tzv. Maxwellova proudu. Maxwellův proud nesouvisí přímo s pohybem nábojů, ale s časovou změnou elektrického pole. Polarizační a Maxwellův proud bývají dohromady označovány jako posuvný proud.

[edit]

Vhodné vztahy

Z předchozího je zřejmé, že řešení úloh v případě nestacionárního pole se od kvazistacionárního přiblížení odlišuje nutností užívat zobecněný Ampérův zákon, tj. integrální tvar druhé Maxwellovy rovnice (uveden již výše):
$\oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+\int_{S}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}$

Státní závěrečná zkouška

Retrieved from "http://wiki.matfyz.cz/wiki/8._Maxwellovy_rovnice_a_jejich_z%C3%A1kladn%C3%AD_d%C5%AFsledky"

8. Maxwellovy rovnice a jejich základní důsledky

From ωικι.matfyz.cz

Sylabus

Soustava Maxwellových rovnic

Diferenciální tvar

Integrální tvar

Elektromagnetické potenciály

Zavedení potenciálů

Kalibrační transformace

Lorentzova podmínka

Zákony zachování

Lokálnost zákonů zachování

Zákon zachování energie pro EM pole

Co jsou to ty w a S

Elektrostatika

Maxwellovy rovnice pro elektrostatické pole

Poissonova a Laplaceova rovnice

Základní úloha elektrostatiky

Vhodné vztahy

Stacionární pole

Maxwellovy rovnice pro stacionární pole

Ohmův zákon

Vhodné vztahy

Kvazistacionární pole

Maxwellovy rovnice pro kvazistacionární pole

Elektromagnetická indukce

Vhodné vztahy

Nestacionární pole

Maxwellovy rovnice pro nestacionární pole

Maxwellův proud

Vhodné vztahy

Views

Personal tools

Navigation

Search

Toolbox