Sylabus

*Maxwellovy rovnice a jejich základní důsledky Elektromagnetické potenciály a jejich vlastnosti. Zákony zachování v teorii elektromagnetického pole. Vlastnosti stacionárních, kvazistacionárních a nestacionárních polí. *

Státní závěrečná zkouška

Soustava Maxwellových rovnic

K popisu elektromagnetického pole slouží veličiny:

  • intenzita elektrického pole E\mathbf{E} a magnetická indukce B\mathbf{B}. V bodě prostoročasu je pole E,B\mathbf{E,B} tehdy, je-li síla působící na testovací částici náboje qq a hmotnosti mm rovna

::$

\mathbf{F} = q\left(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B\right) , . $

což je Lorentzova síla. Tento vztah je správný i z hlediska speciální teorie relativity. V STR platí pohybová rovnice pro částici:

::$

\mathbf F = q\left(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B\right) = \frac{d\left(\gamma m \mathbf v\right)}{dt} . $

Pole E,B\bf E, B jsou skutečná pole, zodpovědná za změnu hybnosti nabitých částic. Maxwellovy rovnice ve vakuu pro ně zní

::div E=ρvε0, \mathrm{div}\, \mathbf{E}=\frac{\rho_v}{\varepsilon_0} ,

::div B=0 , \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0 \, ,

::rot E=−∂B∂t, \mathrm{rot}\, \mathbf{E}= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} ,

::rot B=μ0jv+μ0ε0∂E∂t. \mathrm{rot}\, \mathbf{B}=\mu_0\mathbf{j}_v+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} .

V látkovém prostředí může být užitečné zavést další veličiny

  • elektrickou indukci D\mathbf{D} a magnetickou intenzitu H\mathbf{H}. Ty jsou definovány vztahy

::$

\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}, \quad \mathbf{B} = \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ), $

kde ε0=1074πc2F m−1≈8,85.10−12 F m−1\varepsilon_0 = \frac{10^7}{4\pi c^2}\mathrm{F\,m^{-1}} \approx 8,85.10^{-12}\,\mathrm{F\,m^{-1}}, μ0=4π.10−7 H m−1≈1,26.10−6 H m−1\mu_0 = 4\pi.10^{-7}\,\mathrm{H\,m^{-1}} \approx 1,26.10^{-6}\,\mathrm{H\,m^{-1}} a veličiny P,M\bf P, M jsou definované v látkovém prostředí takto. Představme si malou krychli látky o objemu ΔV\Delta V a dipólového momentu Δp\Delta \mathbf p. Elektrická polarizace je objemová hustota elektrického dipólového momentu

::P=ΔpΔV\mathbf{P} = \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta V}

a protože se dipólový moment krychle dá vyjádřit z definice jako posunutý náboj (polarizační ρp\rho_p) krát posunutí z rovnovážné polohy Δp=ρp.ΔV.Δr\Delta \mathbf p = \rho_p.\Delta V.\Delta \mathbf r, dá se také vyjádřit jako

::P=ρpΔr .\mathbf{P} = \rho_p \Delta \mathbf r \, .

Podobně magnetizace je objemová hustota magnetického momentu

::M=ΔmΔV .\mathbf M = \frac{\Delta \mathbf{m}}{\Delta V}\, .

Představme si malý čtvercový kvádr látky tloušťky bb o straně aa, vybranou tak, aby směr magnetického momentu k\bf k byl kolmý na plochu čtvercové podstavy. Pak je z definice magnetického momentu

::M=ΔmΔV=ΔIΔSkΔV=bjSka2ba2=jSk ,\mathbf M = \frac{\Delta \mathbf m}{\Delta V} = \frac{\Delta I \Delta S \mathbf k}{\Delta V} = \frac{bj_S \mathbf k a^2}{ba^2} = j_S\mathbf k \, ,

tedy magnetizace má směr kolmý na rovinu obíhaní proudu a velikost rovnu délkové hustotě plošného proudu jSj_S.

Tyto veličiny jsou spolu svázány soustavou Maxwellových rovnic.

Diferenciální tvar

Maxwellovy rovnice lze zapsat v diferenciálním tvaru následujícím způsobem

::div D=ρv , \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho_v \, ,

::rot H=jv+∂D∂t , \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j_v}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \, ,

::rot E=−∂B∂t  \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \,

::div B=0 . \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0 \, .

První dvě rovnice popisují vztah mezi nábojovou hustotou volných nábojů ρv\rho_v , hustotou volných proudů jv\mathbf{j_v} a vektory elektromagnetického pole D\mathbf{D} a H\mathbf{H}. Poslední dvě rovnice udávají obecně platné vlastnosti vektorů E\mathbf{E} a B\mathbf{B}.

Integrální tvar

V integrálním tvaru nabývají Maxwellovy rovnice podoby (QQ je volný náboj v objemu ohraničeném plochou SS a II je proud protékající plochou ohraničenou křivkou ll):

::∮SD⋅dS=Q , \oint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q \, ,

::∮lH⋅dl=I+∫S∂D∂t⋅dS , \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+\int_{S}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S} \, ,

::∮lE⋅dl=−∫S∂B∂t⋅dS , \oint_{l}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\int_{S}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S} \, ,

::∮SB⋅dS=0 . \oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0 \, .

První rovnice odpovídá Gaussovu zákonu, druhá představuje zobecněný Ampérův zákon, třetí reprezentuje Faradayův indukční zákon a čtvrtá vyjadřuje neexistenci magnetických nábojů.

Slovne sa dajú formulovať takto:

• zdrojem elektrické indukce jsou volné náboje

• neexistují volné magnetické náboje

• vírové elektrické pole je tam, kde se s časem mění vektor magnetické indukce

• vírové magnetické pole je tam, kde se s časem mění vektor elektrická indukce a pohybuje náboj

Maxwellovy rovnice jsou soustavou parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu, obsahují 12 neznámých (navíc máme ještě materiálové vztahy a hraniční podmínky).

Elektromagnetické potenciály

Zavedení potenciálů

Pro řešení Maxwellových rovnic je výhodné následujícím způsobem zavést vektorový potenciál A\mathbf{A} a skalární potenciál φ\varphi :

<br/> B=rot A \mathbf{B}=\mathrm{rot}\, \mathbf{A} <br/> E=−grad φ−∂A∂t \mathbf{E}=-\mathrm{grad}\, \varphi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}

Zavedení A\mathbf{A} podle prvního vztahu umožňuje poslední z Maxwellových rovnic, druhý vztah lze získat dosazením prvního do třetí Maxwellovy rovnice.

Kalibrační transformace

Potenciály A\mathbf{A} a φ\varphi nejsou určeny jednoznačně a je tedy možné přejít k jiným pomocí kalibrační transformace

<br/> φ′=φ−∂ψ∂t \varphi'=\varphi -\frac{\partial \psi }{\partial t} <br/> A′=A+grad ψ, \mathbf{A}'=\mathbf{A}+\mathrm{grad}\, \psi ,

<br/>aniž by přitom došlo ke změně E\mathbf{E} a B\mathbf{B}. Elektromagnetické pole je tedy kalibračně invariantní.

Lorentzova podmínka

Kalibrační transformace umožňují takovou volbu potenciálů, při které je splněna Lorentzova podmínka <br/> div A+εμ∂φ∂t=0, \mathrm{div}\, \mathbf{A}+\varepsilon \mu \frac{\partial \varphi }{\partial t}=0,

<br/>kde ε\varepsilon značí permitivitu a μ\mu permeabilitu vystupující v (lineárních) materiálových vztazích. Zavedené potenciály lze s využitím materiálových vztahů dosadit do prvních dvou Maxwellových rovnic a díky této podmínce je možné po úpravách získat vlnovou rovnici <br/> Δφ−εμ∂2φ∂t2=−ρε \Delta \varphi -\varepsilon \mu \frac{{\partial }^{2}\varphi }{\partial {t}^{2}}=-\frac{\rho }{\varepsilon }

<br/> ΔA−εμ∂2A∂t2=−μj \Delta \mathbf{A}-\varepsilon \mu \frac{{\partial }^{2}\mathbf{A}}{\partial {t}^{2}}=-\mu \mathbf{j}

Zákony zachování

$ten: Toto je narychlo vypsáno z Feynmanových přednášek 2. díl kap. 27 Energie pole a hybnost pole.

Určitě to sem částečně patří, ale je to jen pár neformálních výkřiků do tmy a mávání rukama. Kdo to víte lépěji, prosím, opravte to a doplňte.

Lokálnost zákonů zachování

Velmi stručně shrnuto jde o to, jestli zákony zachování platí globálně, lokálně nebo jak.

Příklad zachování elektrického náboje. Náboj v uzavřeném systému se nemění (např. v celém vesmíru). Můžeme si tedy představit situaci, že v místě A je náboj a s časem ubývá. Na jiném (vzdáleném) místě B pak úplně stejně náboj z ničeho nic přibývá. Zákon zachování funguje. Ovšem teorie relativity v tomto případě vztyčí varovný prst a zakáže jakékoliv okamžité působení na dálku. Náboj se tedy bude muset přesunout nějakým tokem - proudem.

Vztah proto pak je jednoduše (rovnice kontinuity)

∇⋅j=−∂ρ∂t \mathbf{\nabla \cdot j} = - \frac{\partial \rho}{\partial t}.

Tzn. že zákon zachování musí platit lokálně, v každém místě. Pro všechny veličiny, které se mají zachovávat, pak platí, že ubývají tak, jak velký je jejich tok do okolí.

Elegantní je to v STR: j,μνμ=F,μνμν=0j^{\nu \mu}_{,\mu} = F^{\mu \nu}_{ ,\mu \nu} = 0, protože FμνF^{\mu \nu} je antisymetrický, zatímco derivace jsou záměnné (tj. ve spodních indexech je to symetrický výraz). Připomínám jν=(cρ,jx,jy,jz)j^\nu = (c \rho, j_x, j_y, j_z) a Fμν=Aν,μ−Aμ,νF_{\mu \nu}=A_{\nu, \mu} - A_{\mu, \nu} a Aμ=(Φc,Ax,Ay,Az)A_\mu = (\frac{\Phi}{c}, A_x, A_y, A_z). cc je rychlost světla, ρ\rho hustota nábojů, Φ\Phi skalární potenciál elektrického pole a AxA_x až AzA_z jsou složky vektorového potenciálu magnetického pole.

Zákon zachování energie pro EM pole

Nu a stejně jako pro náboj musí být splněn zákon zachování energie. Úplně analogicky je tedy hustota energie pole ww a hustota toku energie pole S\mathbf{S} spojena vztahem:

∂w∂t=−∇⋅S\frac{\partial w}{\partial t} = - \mathbf{\nabla \cdot S}

Předešlá rovnice ještě není celá fertig, nezachovává se totiž jen energie EM pole, ale všechna energie - i energie látky.

Časová změna hustoty energie se tedy spotřebuje na to co vyteče z objemu VV a na práci vykonanou v tomto objemu. Pole koná práci na elektrické náboje.

Lorentzova síla: F=q(E+v×B).\mathbf{F} = q \left( \mathbf{E} + \mathbf{v \times B} \right).

Práce za jednotku času: F⋅v=qE⋅v\mathbf{F \cdot v} = q \mathbf{E \cdot v}

Z toho práce na jednotku objemu s koncentrací částic NN je NqE⋅v=E⋅jNq\mathbf{E \cdot v} = \mathbf{E \cdot j}.

Pozn.: "Překvapivě" vlastně hustota výkonu dle Joulese. P=UIP = UI.

Takže sakumprdum je vztah pro zachování energie v objemu VV s hranicí Σ\Sigma

−ddt∫VwdV=∮ΣS⋅ndΣ+∫E⋅jdV-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_V w \mathrm{d}V = \oint_{\Sigma} \mathbf{S \cdot n}\mathrm{d}\Sigma + \int \mathbf{E \cdot j}\mathrm{d}V

Což nám matematici jistě dovolí přepsat jako

−∂w∂t=∇⋅S+E⋅j-\frac{\partial w}{\partial t} = \mathbf{\nabla \cdot S} + \mathbf{E \cdot j}

(♡)\left(\heartsuit\right)

Co jsou to ty ''w'' a '''''S'''''

Intuitivní odvození následuje. Berte jako vodítko.

Dle předešlých úvah předpokládáme, že existuje (a všem experimentům se líbí) nějaká hustuta energie ww a tok hustoty energie S\mathbf{S}.

Dostaňme je jak jinak z Maxwellek.

Vezměme rovnici pro rotaci B\bf B (pozn. nechal jsem rozměrové konstanty tam, jak je píšou v F. přednáškách, je to trochu nezvyk):

j=ε0c2(∇×B)−ε0∂E∂t\mathbf{j} = \varepsilon_0 c^2 \left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \varepsilon_0 \frac{\partial E}{\partial{t}}

Vynásobíme-li skalárně E\bf E dostaneme levou stranu (♡)\left(\heartsuit\right)

E⋅j=ε0c2E⋅(∇×B)−ε0E⋅∂E∂t\mathbf{E \cdot j} = \varepsilon_0 c^2 \mathbf{E \cdot} \left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \varepsilon_0 \mathbf{E \cdot} \frac{\partial E}{\partial{t}}.

Teď prosím matematiky aby se odvrátili od monitorů, neb fyzici berou klidně bez okolků následující vztah za platný.

∇⋅(B×E)=E⋅(∇×B)−B⋅(∇×E)\mathbf{\nabla \cdot}\left(\mathbf{B \times E}\right) = \mathbf{E \cdot}\left(\mathbf{\nabla \times B}\right) - \mathbf{B \cdot}\left(\mathbf{\nabla \times E}\right). (bacha na znaménko)

S použitím vztahu, který si matematici právě teď ještě ověřují, dostáváme

E⋅j=ε0c2∇⋅(B×E)+ε0c2B⋅(∇×E)−∂∂t(12ε0E⋅E)\mathbf{E \cdot j} = \varepsilon_0 c^2 \mathbf{\nabla \cdot} \left(\mathbf{B \times E}\right) + \varepsilon_0 c^2 \mathbf{B \cdot} \left(\mathbf{\nabla \times E}\right) - \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{1}{2} \varepsilon_0 \mathbf{E \cdot E} \right).

"∇×E\nabla \times E je naštěstí rovno" −∂B/∂t-\partial \mathbf{B} / \partial t a tedy

B⋅(∇×E)=−∂∂t(B⋅B2)\mathbf{B \cdot (\nabla \times E)} = - \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\mathbf{B \cdot B}}{2} \right)

Takže ♡\heartsuit přejde na

E⋅j=∇⋅(ε0c2B×E)−∂∂t(ε0c22B⋅B+ε02E⋅E)\mathbf{E \cdot j} = \mathbf{\nabla \cdot} \left(\varepsilon_0 c^2 \mathbf{B \times E} \right) - \frac{\partial}{\partial t} \left(\frac{\varepsilon_0 c^2}{2}\mathbf{B \cdot B} + \frac{\varepsilon_0}{2} \mathbf{E \cdot E} \right),

kde už vidíme

w=ε2E⋅E+ε0c22B⋅B w = \frac{\varepsilon}{2}\mathbf{E \cdot E} + \frac{\varepsilon_0 c^2}{2} \mathbf{B \cdot B},

S=ε0c2E×B \mathbf{S} = \varepsilon_0 c^2 \mathbf{E \times B} .

Elektrostatika

Maxwellovy rovnice pro elektrostatické pole

Elektrostatika se zabývá případem, kdy jsou všechny elektrické náboje v klidu. Maxwellovy rovnice pak vypadají následovně: <br/> div D=ρ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho

<br/> rot H=0 \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=0 <br/> rot E=0 \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=0

<br/> div B=0 \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0

Poissonova a Laplaceova rovnice

Vztah mezi potenciálem elektrostatického pole a rozložením náboje určuje Poissonova rovnice <br/> Δφ=−ρε0, \Delta \varphi =-\frac{\rho }{{\varepsilon }_{0}},

<br/> která v místech s nulovou hustotou náboje přechází na Laplaceovu rovnici <br/> Δφ=0 \Delta \varphi =0

<br/> (jednoznačnost řešení zajišťují okrajové podmínky).

Základní úloha elektrostatiky

Základní úloha elektrostatiky spočívá v určení potenciálu (a tím i intenzity elektrického pole) soustavy nabitých vodičů. Jde tedy o řešení Laplaceovy rovnice v místech mimo nabité vodiče s okrajovými podmínkami, které představují zadané potenciály, resp. náboje jednotlivých vodičů a požadavek nulového potenciálu na hranici zkoumaného objemu či (v limitě) v nekonečnu v případě celého prostoru.

Vhodné vztahy

Pro řešení úloh je možné v elektrostatice vycházet z Gaussova zákona (viz výše), případně z jiných známých vztahů jako např. z výrazu pro intenzitu elektrického pole v místě r\mathbf{r} od náboje QQ umístěného v r′\mathbf{r}'

E(r)=14πε0Q∣r−r′∣3(r−r′) \mathbf{E}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi {\varepsilon }_{0}}\frac{Q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'{|}^{3}}\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right)

Stacionární pole

Maxwellovy rovnice pro stacionární pole

Ve stacionárním stavu jsou všechny makroskopické veličiny časově nezávislé. V tomto případě nabývají Maxwellovy rovnice tvaru: <br/> div D=ρ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho

<br/> rot H=j \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j} <br/> rot E=0 \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=0

<br/> div B=0 \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0

Prostorové rozložení nábojů je popsáno časově konstantní nábojovou hustotou ρ\rho . Na rozdíl od elektrostatiky však mohou náboje konat makroskopický pohyb, kterému odpovídá časově neproměnná proudová hustota j\mathbf{j}.

Ohmův zákon

Další odlišnost od elektrostatiky představuje existence nenulového elektrického pole uvnitř vodičů, kterými protéká proud. Úměru mezi proudovou hustotou a intenzitou elektrického pole v daném vodiči o měrné vodivosti γ\gamma vyjadřuje diferenciální tvar Ohmova zákona:

j=γE . \mathbf{j}=\gamma \mathbf{E} \,.

Měrná vodivost je spojena s měrným odporem σ\sigma vztahem

γ=1σ. \gamma =\frac{1}{\sigma}.

Odpor RR vodiče délky l′l' a průřezu S′S' udává výraz

R=σl′S′. R=\sigma \frac{l'}{S'}.

Vyjádřením elektrického proudu

I=∫S′j⋅dS′ I=\int_{S'}\mathbf{j}\cdot d\mathbf{S}'

a napětí

U=∫(1)(2)E⋅dl′=φ1−φ2 U=\int_{\left(1\right)}^{\left(2\right)}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}'={\varphi }_{1}-{\varphi }_{2}

lze zapsat Ohmův zákon ve tvaru

I=UR. I=\frac{U}{R} .

Vhodné vztahy

Pro řešení úloh lze v případě stacionárního pole vhodně užít Gaussův zákon (viz výše), Ampérův zákon ve tvaru

∮lH⋅dl=I \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I

a Biot-Savartův vzorec

B(r)=μ4π∫Vj(r′)×RR3dV′, \mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{\mu }{4\pi }\int_{V}\frac{\mathbf{j}\left(\mathbf{r}'\right)\times \mathbf{R}}{{R}^{3}}dV',

kde R=r−r′\mathbf{R}=\mathbf{r}-\mathbf{r}', integrační proměnná je r′\mathbf{r}' a integruje se přes objem VV.

Kvazistacionární pole

Maxwellovy rovnice pro kvazistacionární pole

Kvazistacionární přiblížení je vhodné pro studium časově proměnného elektrického a magnetického pole za předpokladu dostatečně pomalých změn rozložení nábojů, tedy <br/> j>>∂D∂t \mathbf{j}>>\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}

Maxwellovy rovnice tak mají podobu:

<br/> div D=ρ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho <br/> rot H=j \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}

<br/> rot E=−∂B∂t \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} <br/> div B=0 \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0

Elektromagnetická indukce

Jak je patrné, oproti stacionárnímu přiblížení je zde již uvažován jev elektromagnetické indukce. Pro indukované elektromotorické napětí UF{U}_{F} ve vodivé smyčce, kterou prochází (časově proměnný) magnetický indukční tok Ψ\Psi , platí Faradayův indukční zákon

<br/> UF=−dΨdt {U}_{F}=-\frac{d\Psi }{dt}

Skutečnost, že směr indukovaného proudu ve smyčce je takový, že jím vytvořené magnetické pole se snaží kompenzovat změny toku způsobující vznik indukovaného proudu, se nazývá Lenzovo pravidlo.

V případě smyčky o ploše S∗S* nehybné vzhledem k laboratorní soustavě (a neměnící svou geometrii) lze psát <br/> UF=−∫S∗∂B∂t⋅dS∗ {U}_{F}=-\int_{S*}\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}**

Vhodné vztahy

Při řešení úloh lze v případě kvazistacionárního pole postupovat podobně jako ve stacionárním přiblížení, ovšem Ohmův zákon je nutné doplnit o indukované elektromotorické napětí UF{U}_{F}, resp. odpovídající indukovanou vtištěnou intenzitu elektrického pole EF⋆{\mathbf{E}}_{F}^{\star }.

Nestacionární pole

Maxwellovy rovnice pro nestacionární pole

Nestacionární pole představuje zcela obecný případ elektromagnetického pole. K jeho popisu je třeba užívat Maxwellovy rovnice v obecném tvaru ze začátku tohoto textu: <br/> div D=ρ \mathrm{div}\, \mathbf{D}=\rho

<br/> rot H=j+∂D∂t \mathrm{rot}\, \mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} <br/> rot E=−∂B∂t \mathrm{rot}\, \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}

<br/> div B=0 \mathrm{div}\, \mathbf{B}=0

Maxwellův proud

Jak je patrné, oproti kvazistacionárnímu přiblížení se na pravé straně druhé z rovnic vyskytuje výraz j+∂D∂t\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}, který lze považovat za celkovou hustotu makroskopického nestacionárního proudu

jc=j+∂D∂t=j+∂P∂t+ε0∂E∂t, {\mathbf{j}}_{c}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+{\varepsilon }_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},

kde první člen j\mathbf{j} odpovídá hustotě volného proudu, druhý člen ∂P∂t\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} přísluší hustotě polarizačního proudu a poslední člen ε0∂E∂t{\varepsilon }_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} je hustota tzv. Maxwellova proudu. Maxwellův proud nesouvisí přímo s pohybem nábojů, ale s časovou změnou elektrického pole. Polarizační a Maxwellův proud bývají dohromady označovány jako posuvný proud.

Vhodné vztahy

Z předchozího je zřejmé, že řešení úloh v případě nestacionárního pole se od kvazistacionárního přiblížení odlišuje nutností užívat zobecněný Ampérův zákon, tj. integrální tvar druhé Maxwellovy rovnice (uveden již výše):

∮lH⋅dl=I+∫S∂D∂t⋅dS. \oint_{l}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+\int_{S}\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.

Užitečná literatura

Státní závěrečná zkouška