Sylabus

*Maxwellovy rovnice a jejich základní důsledky Elektromagnetické potenciály a jejich vlastnosti. Zákony zachování v teorii elektromagnetického pole. Vlastnosti stacionárních, kvazistacionárních a nestacionárních polí. *

Státní závěrečná zkouška

Soustava Maxwellových rovnic

K popisu elektromagnetického pole slouží veličiny:

• intenzita elektrického pole $\mathbf{E}$ a magnetická indukce $\mathbf{B}$. V bodě prostoročasu je pole $\mathbf{E},\mathbf{B}$ tehdy, je-li síla působící na testovací částici náboje $q$ a hmotnosti $m$ rovna

::$

\mathbf{F} = q\left(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B\right) , . $

což je Lorentzova síla. Tento vztah je správný i z hlediska speciální teorie relativity. V STR platí pohybová rovnice pro částici:

::$

\mathbf F = q\left(\mathbf E + \mathbf v \times \mathbf B\right) = \frac{d\left(\gamma m \mathbf v\right)}{dt} . $

Pole $\mathbf{E},\mathbf{B}$ jsou skutečná pole, zodpovědná za změnu hybnosti nabitých částic. Maxwellovy rovnice ve vakuu pro ně zní

::$\mathrm{div}\mathbf{E}=\frac{{\rho }_v}{{\epsilon }_0},$

::$\mathrm{div}\mathbf{B}=0,$

::$\mathrm{rot}\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},$

::$\mathrm{rot}\mathbf{B}={\mu }_0{\mathbf{j}}_v+{\mu }_0{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.$

V látkovém prostředí může být užitečné zavést další veličiny

• elektrickou indukci $\mathbf{D}$ a magnetickou intenzitu $\mathbf{H}$. Ty jsou definovány vztahy

::$

\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}, \quad \mathbf{B} = \mu_0 ( \mathbf{H} + \mathbf{M} ), $

kde ${\epsilon }_0=\frac{10^7}{4\pi c^2}\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-1}\approx 8,85.10^{-12}\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-1}$, ${\mu }_0=4\pi .10^{-7}\mathrm{H}{\mathrm{m}}^{-1}\approx 1,26.10^{-6}\mathrm{H}{\mathrm{m}}^{-1}$ a veličiny $\mathbf{P},\mathbf{M}$ jsou definované v látkovém prostředí takto. Představme si malou krychli látky o objemu $\Delta V$ a dipólového momentu $\Delta \mathbf{p}$. Elektrická polarizace je objemová hustota elektrického dipólového momentu

::$\mathbf{P}=\frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta V}$

a protože se dipólový moment krychle dá vyjádřit z definice jako posunutý náboj (polarizační ${\rho }_p$) krát posunutí z rovnovážné polohy $\Delta \mathbf{p}={\rho }_p.\Delta V.\Delta \mathbf{r}$, dá se také vyjádřit jako

::$\mathbf{P}={\rho }_p\Delta \mathbf{r}.$

Podobně magnetizace je objemová hustota magnetického momentu

::$\mathbf{M}=\frac{\Delta \mathbf{m}}{\Delta V}.$

Představme si malý čtvercový kvádr látky tloušťky $b$ o straně $a$, vybranou tak, aby směr magnetického momentu $\mathbf{k}$ byl kolmý na plochu čtvercové podstavy. Pak je z definice magnetického momentu

::$\mathbf{M}=\frac{\Delta \mathbf{m}}{\Delta V}=\frac{\Delta I\Delta S\mathbf{k}}{\Delta V}=\frac{b{j}_S\mathbf{k}{a}^2}{b{a}^2}=j_S\mathbf{k},$

tedy magnetizace má směr kolmý na rovinu obíhaní proudu a velikost rovnu délkové hustotě plošného proudu $j_S$.

Tyto veličiny jsou spolu svázány soustavou Maxwellových rovnic.

Diferenciální tvar

Maxwellovy rovnice lze zapsat v diferenciálním tvaru následujícím způsobem

::$\mathrm{div}\mathbf{D}={\rho }_v,$

::$\mathrm{rot}\mathbf{H}={\mathbf{j}}_{\mathbf{v}}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},$

::$\mathrm{rot}\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

::$\mathrm{div}\mathbf{B}=0.$

První dvě rovnice popisují vztah mezi nábojovou hustotou volných nábojů ${\rho }_v$, hustotou volných proudů ${\mathbf{j}}_{\mathbf{v}}$ a vektory elektromagnetického pole $\mathbf{D}$ a $\mathbf{H}$. Poslední dvě rovnice udávají obecně platné vlastnosti vektorů $\mathbf{E}$ a $\mathbf{B}$.

Integrální tvar

V integrálním tvaru nabývají Maxwellovy rovnice podoby ($Q$ je volný náboj v objemu ohraničeném plochou $S$ a $I$ je proud protékající plochou ohraničenou křivkou $l$):

::${\oint }_S\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=Q,$

::${\oint }_l\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+{\int }_S\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S},$

::${\oint }_l\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-{\int }_S\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S},$

::${\oint }_S\mathbf{B}\cdot d\mathbf{S}=0.$

První rovnice odpovídá Gaussovu zákonu, druhá představuje zobecněný Ampérův zákon, třetí reprezentuje Faradayův indukční zákon a čtvrtá vyjadřuje neexistenci magnetických nábojů.

Slovne sa dajú formulovať takto:

• zdrojem elektrické indukce jsou volné náboje

• neexistují volné magnetické náboje

• vírové elektrické pole je tam, kde se s časem mění vektor magnetické indukce

• vírové magnetické pole je tam, kde se s časem mění vektor elektrická indukce a pohybuje náboj

Maxwellovy rovnice jsou soustavou parciálních diferenciálních rovnic prvního řádu, obsahují 12 neznámých (navíc máme ještě materiálové vztahy a hraniční podmínky).

Elektromagnetické potenciály

Zavedení potenciálů

Pro řešení Maxwellových rovnic je výhodné následujícím způsobem zavést vektorový potenciál $\mathbf{A}$ a skalární potenciál $\phi$:

<br/> $\mathbf{B}=\mathrm{rot}\mathbf{A}$ <br/> $\mathbf{E}=-\mathrm{grad}\phi -\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}$

Zavedení $\mathbf{A}$ podle prvního vztahu umožňuje poslední z Maxwellových rovnic, druhý vztah lze získat dosazením prvního do třetí Maxwellovy rovnice.

Kalibrační transformace

Potenciály $\mathbf{A}$ a $\phi$ nejsou určeny jednoznačně a je tedy možné přejít k jiným pomocí kalibrační transformace

<br/> ${\phi }^{\prime }=\phi -\frac{\partial \psi }{\partial t}$ <br/> ${\mathbf{A}}^{\prime }=\mathbf{A}+\mathrm{grad}\psi ,$

<br/>aniž by přitom došlo ke změně $\mathbf{E}$ a $\mathbf{B}$. Elektromagnetické pole je tedy kalibračně invariantní.

Lorentzova podmínka

Kalibrační transformace umožňují takovou volbu potenciálů, při které je splněna Lorentzova podmínka <br/> $\mathrm{div}\mathbf{A}+\epsilon \mu \frac{\partial \phi }{\partial t}=0,$

<br/>kde $\epsilon$ značí permitivitu a $\mu$ permeabilitu vystupující v (lineárních) materiálových vztazích. Zavedené potenciály lze s využitím materiálových vztahů dosadit do prvních dvou Maxwellových rovnic a díky této podmínce je možné po úpravách získat vlnovou rovnici <br/> $\Delta \phi -\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}=-\frac{\rho }{\epsilon }$

<br/> $\Delta \mathbf{A}-\epsilon \mu \frac{{\partial }^2\mathbf{A}}{\partial t^2}=-\mu \mathbf{j}$

Zákony zachování

$ten: Toto je narychlo vypsáno z Feynmanových přednášek 2. díl kap. 27 Energie pole a hybnost pole.

Určitě to sem částečně patří, ale je to jen pár neformálních výkřiků do tmy a mávání rukama. Kdo to víte lépěji, prosím, opravte to a doplňte.

Lokálnost zákonů zachování

Velmi stručně shrnuto jde o to, jestli zákony zachování platí globálně, lokálně nebo jak.

Příklad zachování elektrického náboje. Náboj v uzavřeném systému se nemění (např. v celém vesmíru). Můžeme si tedy představit situaci, že v místě A je náboj a s časem ubývá. Na jiném (vzdáleném) místě B pak úplně stejně náboj z ničeho nic přibývá. Zákon zachování funguje. Ovšem teorie relativity v tomto případě vztyčí varovný prst a zakáže jakékoliv okamžité působení na dálku. Náboj se tedy bude muset přesunout nějakým tokem - proudem.

Vztah proto pak je jednoduše (rovnice kontinuity)

$\nabla \cdot \mathbf{j}=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$.

Tzn. že zákon zachování musí platit lokálně, v každém místě. Pro všechny veličiny, které se mají zachovávat, pak platí, že ubývají tak, jak velký je jejich tok do okolí.

Elegantní je to v STR: $j_{,\mu }^{\nu \mu }=F_{,\mu \nu }^{\mu \nu }=0$, protože $F^{\mu \nu }$ je antisymetrický, zatímco derivace jsou záměnné (tj. ve spodních indexech je to symetrický výraz). Připomínám $j^{\nu }=(c\rho ,j_x,j_y,j_z)$ a $F_{\mu \nu }=A_{\nu ,\mu }-A_{\mu ,\nu }$ a $A_{\mu }=(\frac{\Phi }{c},A_x,A_y,A_z)$. $c$ je rychlost světla, $\rho$ hustota nábojů, $\Phi$ skalární potenciál elektrického pole a $A_x$ až $A_z$ jsou složky vektorového potenciálu magnetického pole.

Zákon zachování energie pro EM pole

Nu a stejně jako pro náboj musí být splněn zákon zachování energie. Úplně analogicky je tedy hustota energie pole $w$ a hustota toku energie pole $\mathbf{S}$ spojena vztahem:

$\frac{\partial w}{\partial t}=-\nabla \cdot \mathbf{S}$

Předešlá rovnice ještě není celá fertig, nezachovává se totiž jen energie EM pole, ale všechna energie - i energie látky.

Časová změna hustoty energie se tedy spotřebuje na to co vyteče z objemu $V$ a na práci vykonanou v tomto objemu. Pole koná práci na elektrické náboje.

Lorentzova síla: $\mathbf{F}=q\left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times \mathbf{B}\right).$

Práce za jednotku času: $\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}=q\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}$

Z toho práce na jednotku objemu s koncentrací částic $N$ je $Nq\mathbf{E}\cdot \mathbf{v}=\mathbf{E}\cdot \mathbf{j}$.

Pozn.: "Překvapivě" vlastně hustota výkonu dle Joulese. $P=UI$.

Takže sakumprdum je vztah pro zachování energie v objemu $V$ s hranicí $\Sigma$

$-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{\int }_{V}w\mathrm{d}V={\oint }_{\Sigma }\mathbf{S}\cdot \mathbf{n}\mathrm{d}\Sigma +\int \mathbf{E}\cdot \mathbf{j}\mathrm{d}V$

Což nám matematici jistě dovolí přepsat jako

$-\frac{\partial w}{\partial t}=\nabla \cdot \mathbf{S}+\mathbf{E}\cdot \mathbf{j}$

$\left(♡\right)$

Co jsou to ty ''w'' a '''''S'''''

Intuitivní odvození následuje. Berte jako vodítko.

Dle předešlých úvah předpokládáme, že existuje (a všem experimentům se líbí) nějaká hustuta energie $w$ a tok hustoty energie $\mathbf{S}$.

Dostaňme je jak jinak z Maxwellek.

Vezměme rovnici pro rotaci $\mathbf{B}$ (pozn. nechal jsem rozměrové konstanty tam, jak je píšou v F. přednáškách, je to trochu nezvyk):

$\mathbf{j}={\epsilon }_0{c}^2\left(\nabla \times \mathbf{B}\right)-{\epsilon }_0\frac{\partial E}{\partial t}$

Vynásobíme-li skalárně $\mathbf{E}$ dostaneme levou stranu $\left(♡\right)$

$\mathbf{E}\cdot \mathbf{j}={\epsilon }_0{c}^2\mathbf{E}\cdot \left(\nabla \times \mathbf{B}\right)-{\epsilon }_0\mathbf{E}\cdot \frac{\partial E}{\partial t}$.

Teď prosím matematiky aby se odvrátili od monitorů, neb fyzici berou klidně bez okolků následující vztah za platný.

$\nabla \cdot \left(\mathbf{B}\times \mathbf{E}\right)=\mathbf{E}\cdot \left(\nabla \times \mathbf{B}\right)-\mathbf{B}\cdot \left(\nabla \times \mathbf{E}\right)$. (bacha na znaménko)

S použitím vztahu, který si matematici právě teď ještě ověřují, dostáváme

$\mathbf{E}\cdot \mathbf{j}={\epsilon }_0{c}^2\nabla \cdot \left(\mathbf{B}\times \mathbf{E}\right)+{\epsilon }_0{c}^2\mathbf{B}\cdot \left(\nabla \times \mathbf{E}\right)-\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2}{\epsilon }_0\mathbf{E}\cdot \mathbf{E}\right)$.

"$\nabla \times E$ je naštěstí rovno" $-\partial \mathbf{B}/\partial t$ a tedy

$\mathbf{B}\cdot (\nabla \times \mathbf{E})=-\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}}{2}\right)$

Takže $♡$ přejde na

$\mathbf{E}\cdot \mathbf{j}=\nabla \cdot \left({\epsilon }_0{c}^2\mathbf{B}\times \mathbf{E}\right)-\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{{\epsilon }_0{c}^2}{2}\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}+\frac{{\epsilon }_0}{2}\mathbf{E}\cdot \mathbf{E}\right)$,

kde už vidíme

$w=\frac{\epsilon }{2}\mathbf{E}\cdot \mathbf{E}+\frac{{\epsilon }_0{c}^2}{2}\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}$,

$\mathbf{S}={\epsilon }_0{c}^2\mathbf{E}\times \mathbf{B}$.

Elektrostatika

Maxwellovy rovnice pro elektrostatické pole

Elektrostatika se zabývá případem, kdy jsou všechny elektrické náboje v klidu. Maxwellovy rovnice pak vypadají následovně: <br/> $\mathrm{div}\mathbf{D}=\rho$

<br/> $\mathrm{rot}\mathbf{H}=0$ <br/> $\mathrm{rot}\mathbf{E}=0$

<br/> $\mathrm{div}\mathbf{B}=0$

Poissonova a Laplaceova rovnice

Vztah mezi potenciálem elektrostatického pole a rozložením náboje určuje Poissonova rovnice <br/> $\Delta \phi =-\frac{\rho }{{\epsilon }_0},$

<br/> která v místech s nulovou hustotou náboje přechází na Laplaceovu rovnici <br/> $\Delta \phi =0$

<br/> (jednoznačnost řešení zajišťují okrajové podmínky).

Základní úloha elektrostatiky

Základní úloha elektrostatiky spočívá v určení potenciálu (a tím i intenzity elektrického pole) soustavy nabitých vodičů. Jde tedy o řešení Laplaceovy rovnice v místech mimo nabité vodiče s okrajovými podmínkami, které představují zadané potenciály, resp. náboje jednotlivých vodičů a požadavek nulového potenciálu na hranici zkoumaného objemu či (v limitě) v nekonečnu v případě celého prostoru.

Vhodné vztahy

Pro řešení úloh je možné v elektrostatice vycházet z Gaussova zákona (viz výše), případně z jiných známých vztahů jako např. z výrazu pro intenzitu elektrického pole v místě $\mathbf{r}$ od náboje $Q$ umístěného v ${\mathbf{r}}^{\prime }$

$\mathbf{E}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Q}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }{|}^3}\left(\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }\right)$

Stacionární pole

Maxwellovy rovnice pro stacionární pole

Ve stacionárním stavu jsou všechny makroskopické veličiny časově nezávislé. V tomto případě nabývají Maxwellovy rovnice tvaru: <br/> $\mathrm{div}\mathbf{D}=\rho$

<br/> $\mathrm{rot}\mathbf{H}=\mathbf{j}$ <br/> $\mathrm{rot}\mathbf{E}=0$

<br/> $\mathrm{div}\mathbf{B}=0$

Prostorové rozložení nábojů je popsáno časově konstantní nábojovou hustotou $\rho$. Na rozdíl od elektrostatiky však mohou náboje konat makroskopický pohyb, kterému odpovídá časově neproměnná proudová hustota $\mathbf{j}$.

Ohmův zákon

Další odlišnost od elektrostatiky představuje existence nenulového elektrického pole uvnitř vodičů, kterými protéká proud. Úměru mezi proudovou hustotou a intenzitou elektrického pole v daném vodiči o měrné vodivosti $\gamma$ vyjadřuje diferenciální tvar Ohmova zákona:

$\mathbf{j}=\gamma \mathbf{E}.$

Měrná vodivost je spojena s měrným odporem $\sigma$ vztahem

$\gamma =\frac{1}{\sigma }.$

Odpor $R$ vodiče délky $l^{\prime }$ a průřezu $S^{\prime }$ udává výraz

$R=\sigma \frac{l^{\prime }}{S^{\prime }}.$

Vyjádřením elektrického proudu

$I={\int }_{S^{\prime }}\mathbf{j}\cdot d{\mathbf{S}}^{\prime }$

a napětí

$U={\int }_{\left(1\right)}^{\left(2\right)}\mathbf{E}\cdot d{\mathbf{l}}^{\prime }={\phi }_1-{\phi }_2$

lze zapsat Ohmův zákon ve tvaru

$I=\frac{U}{R}.$

Vhodné vztahy

Pro řešení úloh lze v případě stacionárního pole vhodně užít Gaussův zákon (viz výše), Ampérův zákon ve tvaru

${\oint }_l\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I$

a Biot-Savartův vzorec

$\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{\mu }{4\pi }{\int }_V\frac{\mathbf{j}\left({\mathbf{r}}^{\prime }\right)\times \mathbf{R}}{R^3}d{V}^{\prime },$

kde $\mathbf{R}=\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }$, integrační proměnná je ${\mathbf{r}}^{\prime }$ a integruje se přes objem $V$.

Kvazistacionární pole

Maxwellovy rovnice pro kvazistacionární pole

Kvazistacionární přiblížení je vhodné pro studium časově proměnného elektrického a magnetického pole za předpokladu dostatečně pomalých změn rozložení nábojů, tedy <br/> $\mathbf{j}>>\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$

Maxwellovy rovnice tak mají podobu:

<br/> $\mathrm{div}\mathbf{D}=\rho$ <br/> $\mathrm{rot}\mathbf{H}=\mathbf{j}$

<br/> $\mathrm{rot}\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ <br/> $\mathrm{div}\mathbf{B}=0$

Elektromagnetická indukce

Jak je patrné, oproti stacionárnímu přiblížení je zde již uvažován jev elektromagnetické indukce. Pro indukované elektromotorické napětí $U_F$ ve vodivé smyčce, kterou prochází (časově proměnný) magnetický indukční tok $\Psi$, platí Faradayův indukční zákon

<br/> $U_F=-\frac{d\Psi }{dt}$

Skutečnost, že směr indukovaného proudu ve smyčce je takový, že jím vytvořené magnetické pole se snaží kompenzovat změny toku způsobující vznik indukovaného proudu, se nazývá Lenzovo pravidlo.

V případě smyčky o ploše $S\ast$ nehybné vzhledem k laboratorní soustavě (a neměnící svou geometrii) lze psát <br/> $U_F=-{\int }_{S\ast }\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}\ast$*

Vhodné vztahy

Při řešení úloh lze v případě kvazistacionárního pole postupovat podobně jako ve stacionárním přiblížení, ovšem Ohmův zákon je nutné doplnit o indukované elektromotorické napětí $U_F$, resp. odpovídající indukovanou vtištěnou intenzitu elektrického pole ${\mathbf{E}}_F^{\star }$.

Nestacionární pole

Maxwellovy rovnice pro nestacionární pole

Nestacionární pole představuje zcela obecný případ elektromagnetického pole. K jeho popisu je třeba užívat Maxwellovy rovnice v obecném tvaru ze začátku tohoto textu: <br/> $\mathrm{div}\mathbf{D}=\rho$

<br/> $\mathrm{rot}\mathbf{H}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$ <br/> $\mathrm{rot}\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$

<br/> $\mathrm{div}\mathbf{B}=0$

Maxwellův proud

Jak je patrné, oproti kvazistacionárnímu přiblížení se na pravé straně druhé z rovnic vyskytuje výraz $\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$, který lze považovat za celkovou hustotu makroskopického nestacionárního proudu

${\mathbf{j}}_c=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\mathbf{j}+\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}+{\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t},$

kde první člen $\mathbf{j}$ odpovídá hustotě volného proudu, druhý člen $\frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}$ přísluší hustotě polarizačního proudu a poslední člen ${\epsilon }_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$ je hustota tzv. Maxwellova proudu. Maxwellův proud nesouvisí přímo s pohybem nábojů, ale s časovou změnou elektrického pole. Polarizační a Maxwellův proud bývají dohromady označovány jako posuvný proud.

Vhodné vztahy

Z předchozího je zřejmé, že řešení úloh v případě nestacionárního pole se od kvazistacionárního přiblížení odlišuje nutností užívat zobecněný Ampérův zákon, tj. integrální tvar druhé Maxwellovy rovnice (uveden již výše):

${\oint }_l\mathbf{H}\cdot d\mathbf{l}=I+{\int }_S\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S}.$

Užitečná literatura

• Ladislav Szántó: Maxwellovy rovnice a jejich názorné odvození, BEN - technická literatura, Praha 2003, ISBN 80-7300-096-2

Státní závěrečná zkouška