Úvod
Tuhé těleso - nedeformovatelná soustava hmotných bodů, které mají vůči sobě pevné vzdálenosti.
Tuhé těleso má <math>6</math> stupňů volnosti - <math>3</math> rotační a <math>3</math> translační.
Popis rotace:
Zavedeme 2 ortonormální báze: referenční (pevná v prostoru) <math>(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)</math>
a korotující (pevně spojená s tělesem) <math> (\vec e^*_1,\vec e^*_2,\vec e^*_3) </math>.
Natočení tělesa je pak popsáno ortogonální maticí <math>A</math>:
::<math>\vec e^*_i = A_{ik} \vec e_k \, . </math>
Matice <math>A</math> je závislá na čase, splňuje relace ortogonality.
Vzpomeňte si na názorný příklad doc. Podolského: kolotoč s koníčkem a slepičkou a opodál stojící Hanka.
Zavedení vektoru úhlové rychlosti
Uvažujme libovolný časově závislý vektor <math>\vec w(t)</math>,
<math>\vec w(t) = w_i(t)\vec e_i = w^*_i(t)\vec e^*_i(t)</math>,
přičemž <math>\vec e^*_i(t) = A_{ik}(t)\vec e_k</math>.
Pak <math>(\frac {d\vec w}{dt})_{prostor} = </math>
*<math>\frac{dw_i}{dt}\vec e_i</math> (nahlíženo Hankou)
*<math>\frac{dw^*_i}{dt}\vec e^*_i + w^*_i \frac{d\vec e^*_i}{dt} = \frac{dw^*_i}{dt}\vec e^*_i + w_i\frac{dA_{ik}}{dt}A_{jk}\vec e^*_j.</math> (nahlíženo slepičkou)
Přeznačíme index i na l a j na i a dostaneme, že
<math>\frac{dA_{lk}}{dt}A_{ik} = \Omega^*_{li}.</math>
Úhlová rychlost <math>\Omega</math> je antisymetrická (má 3 nezávislé složky a lze s ní asociovat duální pseudovektor).
<math>\Omega = \frac{dA}{dt}A^T</math>
Bez ohledu na zvolenou bázi platí vztah
<math>(\frac{d\vec w}{dt})_{prostor(Hanka)} =(\frac{d\vec w}{dt})_{teleso(kolotoc)} + \vec \Omega \times \vec w </math>
Eulerovy úhly
Libovolné otočení kolem bodu (těžiště) lze získat 3 po sobě jdoucími otočeními kolem nějaké osy. Zavádíme tzv. Eulerovy úhly. Vezmeme dvě báze: referenční <math>\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3</math> a korotující <math>\vec x^*_1,\vec x^*_2,\vec x^*_3</math>. Jejich vzájemná poloha je určena těmito úhly:
*precesní úhel <math>\ \phi</math> z <math><0,2\pi></math> - nula odpovídá ose <math>\vec x_1</math>, úhel leží v rovině <math>\{\vec x_1,\vec x_2\}</math>, kladná orientace ve směru osy <math>\vec x_2</math>; měříme úhel, který svírá osa <math>\vec x_1</math> s přímkou <math>\vec n</math>, která vznikne protnutím roviny <math>\{\vec x_1,\vec x_2 \}</math> a roviny <math>\{\vec x^*_1,\vec x^*_2 \}</math>
*nutační úhel <math>\ \theta</math> z <math><0,\pi></math> - nula odpovídá ose <math>\vec x_3</math>, kladná orientace směrem k rovině <math>\{\vec x_1,\vec x_2 \}</math>, měníme úhel mezi osou <math>\vec x_3</math> a <math>\vec x^*_3</math>
*rotační úhel <math>\ \psi</math> z <math><0,2\pi></math> - nula je v rovině <math>\{\vec x_1,\vec x_2\}</math>, kladná orientace směrem k ose <math>\vec x_3</math>, měníme úhel mezi přímkou <math>\vec n</math> a osou <math>\vec x^*_1</math>.
Jedná se tedy o 3 otočení a vzájemná poloha pevné a korotující báze je pak určena součinem matic těchto otočení.
Eulerovy kinematické rovnice
Pomocí Eulerových úhlů můžeme vyjádřit vektor úhlové rychlosti, výsledek se nazývá Eulerovy kinetické rovnice.
<math>\Omega_x = \dot \phi \sin\theta \sin\psi + \dot \theta \cos\psi \, ,</math>
<math>\Omega_y = \dot \phi \sin\theta \cos\psi - \dot \theta \sin\psi \, ,</math>
<math>\Omega_z = \dot \phi \cos\theta + \dot \psi \, .</math>
Tenzor setrvačnosti
Tenzor setrvačnosti je symetrický tenzor 2. řádu (bilineární funkce nezávisí na pořadí vektorů), lze tedy diagonalizovat. Hlavní osy tenzoru setrvačnosti dostaneme, když budeme v bázi vlastních vektorů.
Přes vektory
Vyjdeme z celkového momentu hybnosti <math>\vec L</math> tuhého tělesa
<math>\vec L = \sum_{a} \vec r^a \times \vec p^a = \sum_{a} m^a \vec r^a \times \vec v^a</math>,
kde sčítáme přes všechny hmotné body tuhého tělesa.
<math>\vec L = \sum_{a} m^a \vec r^a \times (\vec \Omega \times \vec r^a)</math>
Zvolme libovolný vektor <math>\vec \xi</math> a udělejme průmět pomocí skalárního součinu
<math>\vec L \cdot \vec \xi = \sum_{a} m^a \vec r^a \times (\vec \Omega \times \vec r^a) \cdot \vec \xi </math>.
Můžeme udělat cyklickou záměnu a dostaneme
<math>\vec L \cdot \vec \xi = \sum_{a} m^a (\vec \xi \times \vec r^a ) \cdot (\vec \Omega \times \vec r^a ) = I (\vec \xi, \vec \Omega) </math>.
Přes složky
Uvažujme těleso s rotační energií
<math>T_{rot}=\frac{1}{2}\sum_{a} m_a \dot{\vec{r}}_a ^2 = \frac{1}{2}\sum_{a} m_a \left( \vec{\Omega} \times \vec{r}_a \right)^2
</math>. <math>\qquad \left(\star\right)</math>
Dále užijeme
<math>\left( \vec \Omega \times \vec r_a \right)^2 = \vec \Omega^2 (\vec r_a)^2 - \left( \vec \Omega \cdot \vec r_a \right)^2</math> ... platí, protože třeba <math> \sin ^2 = 1 - \cos ^2 </math>.
Rozepíšeme složky vektorů <math>\vec \Omega = \Omega_i \vec e_i</math> a <math> (\vec r_a)_i = (\vec r_a)_i \vec e_i.</math>
Potom je
<math>\left( \vec \Omega \cdot \vec r_a \right)^2 = \Omega_i \Omega_j (r_a)_i (r_a)_j</math>
a
<math>\vec \Omega^2 (\vec r_a)^2 = \Omega_i \Omega_j \vec e_i \vec e_j \cdot (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \vec e_i \vec e_j = \Omega_i \Omega_j \delta_{ij} \cdot \left(\vec r_a \right)^2</math>.
Tedy dohromady je
<math>\left( \vec \Omega \times \vec r_a \right)^2 = \left[ (\vec r_a)^2 \delta_{ij} - (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \right]\Omega_i \Omega_j</math>.
Tenzorem setrvačnosti nazvěme člen z <math>\left(\star\right)</math>
<math>I_{ij} = \sum_a m_a \left[ (\vec r_a)^2 \delta_{ij} - (\vec r_a)_i (\vec r_a)_j \right]</math>. <math>\qquad\left(\heartsuit\right)</math>
tak abychom kinetickou energii získali jako
<math>T_{rot}=\frac{1}{2} I_{ij}\Omega_i \Omega_j
</math>.
...Tak jest pro diskrétní body.
Pro masiv přepíšeme <math>\left(\heartsuit\right)</math> do řeči integrálů intuitivně <math>I_{ij} = \iiint \mathrm{d} \vec r \rho(\vec r) \left[ (\vec r)^2 \delta_{ij} - r_i r_j \right]</math>.
Eulerovy dynamické rovnice
Vyjdeme z 2. věty impulsové (referenční báze):
::<math>\left(\frac{d\vec L}{dt}\right)_{\rm Hanka} = \left(\vec M \right)_{\rm Hanka}.</math>
Pak zvolíme korotující bázi hlavních os tenzoru setrvačnosti
::<math>\left(\frac{d\vec L}{dt}\right)_{\rm kolotoc} + \vec \Omega \times \vec L = \vec M</math>
a dostaneme Eulerovy dynamické rovnice:
::<math>I_1 \dot \Omega_x - (I_2 - I_3) \Omega_y \Omega_z = M_x \, ,</math>
::<math>I_2 \dot \Omega_y - (I_3 - I_1) \Omega_z \Omega_x = M_y \, ,</math>
::<math>I_3 \dot \Omega_z - (I_1 - I_2) \Omega_x \Omega_y = M_z \, .</math>
Zde jsme použili vztah pro moment hybnosti <math> L_i = I_{ij} \Omega_j </math> v korotující bázi.
Setrvačníky
Tuhé těleso, které má pevný bod, nazýváme setrvačníkem. Pokud má těleso navíc osu souměrnosti rozložení hmotnosti (se kterou ztotožňujeme osu <math>\vec e^*_3</math>), platí navíc <math>I_1^{}= I_2</math> a setrvačník je symetrický.
Pokud vyšetřujeme pohyb bezmomentového symetrického setrvačníku, můžeme řešit Eulerovy dynamické rovnice s momenty sil rovnými nule a s podmínkou <math>I_1^{} = I_2</math>. Dostaneme
<math>\psi = \frac{K}{sin\theta_0} t + \psi_0</math>
<math>\ \theta = \theta_0</math>
<math>\ \phi = \Omega_0 t + \delta</math>
Osa souměrnosti setrvačníku se otáčí úhlovou rychlostí <math>\dot \psi = \frac{K}{sin\theta_0}</math> kolem konstantního směru momentu hybnosti <math>\vec L</math>. Tento kužel pevný v prostoru, jehož osu tvoří vektor momentu hybnosti <math>\vec L</math> a povrch osa symetrie setrvačníku, nazýváme notačním kuželem. Při pohybu osy souměrnosti setrvačníku po notačním kuželi hovoříme o precesi. Při změně Eulerova úhlu <math>\theta</math> hovoříme o nutaci.
Na druhou stranu, chceme-li popsat pohyb těžkého symetrického setrvačníku (tj. tuhého tělesa otáčejícího se v tíhovém poli Země), je lepší použít Lagrangeovy rovnice 2. druhu. Lagrangián bude mít tvar ( <math>\vec G</math> je tíha tělesa, <math>\vec r_S</math> poloha hmotného středu)
<math>\vec L = \frac{1}{2} (I_1 (\Omega_1^2 + \Omega_2^2) + I_3\Omega_3^2) + \vec G \cdot \vec r_S</math>.
Řešení nelze obecně vyjádřit pomocí elementárních funkcí, jen ve tvaru eliptických integrálů. Lze však provést kvalitativní diskusi. Řešení můžeme dobře znázornit, když kolem bodu upevnění setrvačníků opíšeme kulovou plochu a na ní vyznačíme její průsečík s osou souměrnosti. Průsečík se vždy pohybuje po pásu na kulové ploše. Můžeme rozlišit 3 případy v závislosti na <math>\dot \psi</math>:
*a) <math>\dot \psi</math> > 0 - průsečík tvoří vlnky,
*b) <math>\dot \psi</math> = 0 - průsečík tvoří "spojená U" (obrazec mezi vlnkou a smyčkou).
*c) <math>\dot \psi</math> < 0 - průsečík tvoří smyčky,
Links
Poznámky k přednášce doc. Podolského: Tuhé těleso