Sylabus
1b. D'Alembertův princip. Lagrangeovy rovnice 2. druhu. Hamiltonovy kanonické rovnice.
D'Alembertův princip
(1742)
Síly mechanické soustavy jsou v rovnováze, přičteme-li k silám vtištěným síly setrvačné.
Vtištěné síly jsou "opravdové" síly známého charakteru (gravitační, elektromagnetická, ... )
Matematicky pro soustavu hmotných bodů
$ \sum_{i=1}^{3N} (m^i \ddot{x}^i-F_i) \delta x^i=0
$
kde
jsou virtuální posunutí (klasicky: nekonečně malá posunutí, která jsou v každém okamžiku v souladu s vazbami, geometricky: vektory z tečného prostoru vazby). Vazby zde představují omezení jinak volného pohybu (nejjednodušším případem vazby je např. matematické kyvadlo).
Vazby (popsané rovnicí ) dělíme podle několika základních kritérií
podle geometrie
oboustranná:
jednostranná:
podle závislosti na čase
skleronomní (nezávislá na čase):
rheonomní (měnící se s časem):
podle závislosti na rychlosti
holonomní (nezávislá na rychlosti):
neholonomní (závislá na rychlosti):
D'Alembertův princip platí jen pro vratná virtuální posunutí, tedy taková virtuální posunutí , pro která platí, že i je virtuální posunutí. Pro nevratná virtuální posunutí ( není virtuální posunutí) platí úprava D'Alembertova principu s nerovností.
Speciální případy D'Alembertova principu:
Newtonovy pohybové zákony - pohyb bez vazeb: je zcela libovolné. Z toho plyne, že
$
(m^i \ddot{x}^i-F_i) = 0\ \ \ \ \ \ \forall i $
Ekvivalentně
$
m^i \ddot{x}^i = F_i $
Princip virtuální práce (Johann Bernoulli, 1717)
Žádný pohyb (statika): a tedy platí
$ \sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x^i=0
$
(práce - součin síly a posunutí). Princip virtuální práce říká, že práce systému při virtuální výchylce z rovnovážné polohy je nulová (umožňuje tedy najít rovnovážnou polohu). Formálně lze psát .
Speciálně pro konzervativní síly platí
$ 0 = \delta A = \sum_{i=1}^{3N} F_i \delta x^i= - \sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial V}{\partial x^i} \delta x^i = - \delta V(x^j)
$
jednoduše , tedy změna potenciálu je při virtuálním posunutí nulová v rovnováze má potenciál extrém (labilní, stabilní, indiferentní rovnováha).
Lze dokázat, že D'Alembertův princip je ekvivalentní Lagrangeovým rovnicím I. druhu (pro hmotných bodů a vazeb):
$ m^i \ddot{x}^i = F_i + \sum_{k=1}^v \lambda_k \frac{\partial \varphi_k}{\partial x^i}
$
s vazbami
$ \varphi_k,(x^j,t)=0
$
(, a ). je i-tá komponenta výslednice vtištěných sil, jsou Lagrangeovy multiplikátory. Celkem máme rovnic pro stejný počet neznámých.
Lagrangeovy rovnice II. druhu
Pro efektivnější popis systému je vhodné zavést zobecněné souřadnice (vhodně zvolené libovolné parametry, které jednoznačně popisují všechny možné konfigurace systému). Používáme zobecněných souřadnic, kde je počet stupňů volnosti systému. Dále předpokládáme, že existuje regulární vztah ( jsou kartézské složky poloh jednotlivých hmotných bodů).
Zobecněné souřadnice popisují konfigurační prostor všech možných poloh (konfigurací) systému, což ale není prostor fyzikálních stavů - vypovídá jen o polohách (Zénonův paradox - poloha neurčuje stav systému, rychlost nepoznám z polohy). Proto doplníme o rychlostní parametry , zobecněné rychlosti (dodatečné parametry nezávislé na poloze). Formálně $
\frac{\partial q^i}{\partial q^j}=\delta_{ij} $ a
$ \frac{\partial \dot{q}^i}{\partial \dot{q}^j}=\delta_{ij}
\frac{\partial \dot{q}^i}{\partial q^j}=0 $ a
$ \frac{\partial q^i}{\partial \dot{q}^j}=0
$.
Pro hmotných bodů a vazeb můžeme psát Lagrangeovy rovnice II. druhu (LR II)
$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^j}=Q_j
$
kde je kinetická energie a zobecněná síla. Tyto rovnice představují soustavu obyčejných diferenciálních rovnic pro stejný počet neznámých .
Speciálně pokud jsou síly konzervativní, lze obecně komplikované složky zobecněné síly vyjádřit pomocí jediné skalární veličiny - potenciálu (neboť ). Konkrétně
$
Q_j = \sum_{i=1}^{3N} F_i \frac{\partial x^i}{\partial q^j} = - \sum_{i=1}^{3N} \frac{\partial V}{\partial x^i} \frac{\partial x^i}{\partial q^j} = - \frac{\partial V}{\partial q^j} $
Lagrangeovy rovnice II. druhu lze pak přepsat do tvaru
$
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q^j} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial V}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial V}{\partial q^j} $
neboť (potenciál je funkcí pouze , ale nezávisí na ani na ). Celkem tedy můžeme psát Lagrangeovy rovnice II. druhu pro konzervativní síly
$
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^j}\right)-\frac{\partial L}{\partial q^j} = 0 $
kde je Lagrangeova funkce (lagrangián) ().
Pro některá silová pole lze nalézt tzv. zobecněný potenciál (narozdíl od "normálního" potenciálu závisí i na rychlosti a na čase). To je případ třeba elektromagnetické interakce. Předchozí rovnice pro konzervativní pole pak platí pro Lagrangeovu funkci vypočtenou právě ze zobecněného potenciálu.
Integrály pohybu (IP)
Integrál pohybu je nějaký výraz , který zůstává v čase konstantní pro skutečný pohyb. Neboli (zde jsou trajektorie řešící LR II. Pro různé trajektorie je přitom příslušná hodnota obecně různá).
Existují věty užitečné při hledání integrálů pohybu:
a) Pokud Lagrangeova funkce nezávisí na některé zobecněné souřadnici , pak výraz je integrálem pohybu. Říkáme, že je cyklická.
b) Pokud Lagrangeova funkce nezávisí explicitně na čase , pak výraz je integrálem pohybu. Tento výraz se nazývá zobecněná energie.
Pokud jsou působící síly konzervativní a pokud vazby jsou holonomní a skleronomní, pak platí . Obecně rheonomní vazby dodávají / odebírají systému energii a proto se nezachovává, může se ale zachovávat (za předpokladů uvedených výše).
Pohyb částice v centrálním poli
je důležitou aplikací Lagrangeova formalismu. Lagrangeova funkce má v tomto případě tvar
$
L = \frac{1}{2} m (\dot{r}^2 + r^2 \dot{\varphi}^2) - V(r) $
Zřejmě je cyklická , což je známý zákon zachování momentu hybnosti (konkrétně jeho -ové složky).
Navíc nezávisí explicitně na čase , zde dokonce (zákon zachování celkové mechanické energie).
Dosazením obou rovnic do výrazu pro lagrangián po krátkých úpravách dostáváme
$
\dot{r}^2 + \frac{l^2}{m^2 r^2}= \frac{2}{m} \left[ E - V(r) \right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ (\star) $
Pro určení trajektorie () použijeme následující trik: Zavedeme funkci . Zjevně platí
$
\dot{r}(t) = \frac{d r (t)}{d t} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{u(\varphi(t))}\right) = - \frac{1}{u^2} \frac{d u}{d \varphi} \dot{\varphi} = - \frac{l}{m} \frac{d u}{d \varphi} $
(v poslední rovnosti jsme dosadili ze zákona zachování hybnosti). Dosazením tohoto výrazu do rovnice a zderivováním podle po jednoduchých úpravách dostaneme Binetův vzorec pro pohyb částice v libovolném centrálním poli
$
\frac{d^2 u}{d \varphi^2} + u = - \frac{m}{l^2} \frac{d V}{d u} $
(zadáním konkrétního tvaru potenciálu dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu pro funkci , z jejího řešení pak snadno získáme ).
Metoda efektivního potenciálu
Umožňuje kvalitativní rozbor možných pohybů bez explicitního řešení příslušné diferenciální rovnice. Rovnici upravím do tvaru
$
\dot{r}^2 = \frac{2}{m} \left[ E - \left( V(r) + \frac{l^2}{2 m r^2} \right) \right] = \frac{2}{m} \left[ E - V_{ef}(r) \right] \geq 0 $
Pohyb je tedy možný jen pro taková , pro která . V místě () je tzv. bod obratu v radiálním směru (radiální složka rychlosti je nulová, pohyb blíže ke zdroji centrálního pole již není možný).
Pohyb dvou těles
Studujme pohyb 2 objektů () se vzájemnou gravitací. Lagrangián problému má tvar
Úlohu lze snadno převést na úlohu v centrálním poli: Zavedeme nové souřadnice - polohu těžiště soustavy
a relativní polohu
Lagrangián má teď jiný tvar
Zjevně je cyklická souřadnice . Celková hybnost je konstantní, těžiště se pohybuje rovnoměrně přímočaře - s výhodou lze přejít do těžišťové soustavy, kde . Lagrangián lze ještě zjednodušit na
Zde je tzv. redukovaná hmotnost. Pohyb dvou těles jsme převedli na problém pohybu v centrálním poli.
Hamiltonovy kanonické rovnice
Další možnost k popisu systému nabízí Hamiltonův formalismus. Hamiltonův formalismus je matematickým konstruktem, při kterém z Lagrangeovy funkce přejdeme Legendreovou transformací k jisté funkci , kterou označíme Hamiltoniánem. Konfigurační prostor pak nahradíme fázovým prostorem. Ten je tvořen zobecněnými souřadnicemi a kanonicky sdruženými hybnostmi . Jak je známo z vlastností Legendreovy transformace, při tomto procesu neztrácíme žádnou informaci a bod ve fázovém prostoru plně určuje stav systému(závěr: stačí si pamatovat, že přechod od L k H je Legendreova transformace, všechno ostatní je na 5min odvození z tohoto faktu).
Kanonické hybnosti jsou definovány vztahem
$ p_i := \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \ \ \ \ \ \ \ \ \ (+)
$
K popisu systému pak stačí znát Hamiltonovu funkci (hamiltonián)
kde za zobecněné rychlosti dosazujeme z inverze vztahu .
Pohybovými rovnicemi tohoto formalismu jsou Hamiltonovy kanonické rovnice (HKR)
$ \frac{\partial H}{\partial p_i} = \frac{d q^i}{d t} = \dot{q}^i
$
$ \frac{\partial H}{\partial q^i} = - \frac{d p_i}{d t} = - \dot{p}_i
$
Pokud hamiltonián nezávisí explicitně na čase, pak je integrálem pohybu, neboť
$ \frac{d}{d t} \left( H(q^i(t), p_i(t)) \right) = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q^i} \dot{q}^i + \frac{\partial H}{\partial p_i} \dot{p}i \right) = \sum{i=1}^n \left( -\dot{p}_i \dot{q}^i + \dot{q}^i \dot{p}_i \right) = 0
$
Zavedeme Poissonovy závorky
$ {u,v} := \sum_{i=1}^n \frac{\partial u}{\partial q^i} \frac{\partial v}{\partial p_i} - \frac{\partial v}{\partial q^i} \frac{\partial u}{\partial p_i}
$
speciálně , , . Poissonovy závorky jsou lineární a splňují Jacobiho identitu
$ {w,{u,v}} + {v,{w,u}} + {u,{v,w}} = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (J)
$
Je-li integrálem pohybu, lze psát
čili . Předpokládejme navíc, že také je IP ( ). Použitím dostáváme
$
{{u,v},H} = - {{v,H},u} - {{H,u},v} = 0, $
tedy je také IP. Většinou ale není nezávislým IP.
Pomocí Poissonových závorek můžeme HKR psát ve tvaru
$
\dot{q}^i = {q^i,H} $
$
\dot{p}_i = {p_i,H} $
Kanonické transformace
Zkoumáme změnu parametrizace fázového prostoru, tedy transformaci
Def.: transformace je kanonická, pokud zachovává kanonickou strukturu, tzn. že pohybové rovnice v nových souřadnicích jsou opět HKR. Ekvivalentně, že existuje funkce
ParseError: KaTeX parse error: Got group of unknown type: 'internal'
, pro kterou platí$
\frac{\partial H'}{\partial P_i} = \frac{d Q^i}{d t} = \dot{Q}^i $
$
\frac{\partial H'}{\partial Q^i} = - \frac{d P_i}{d t} = - \dot{P}_i $
(zdaleka ne každá transformace je kanonická). Hledání podmínek kanoničnosti transformace vede na následuící větu:
Lagrangeova funkce , kde je libovolná (hladká) funkce, dává stejné pohybové rovnice jako funkce . Tuto funkci nazýváme generující funkcí kanonické transformace, přičemž předpokládáme, že závisí na
starých souřadnicích / hybnostech
nových souřadnicích / hybnostech
Rozlišujeme 4 druhy generujících funkcí, které jsou vzájemně svázány Legendreovou duální transformací:
$ F_1,(q^i, Q^i, t)
$
$ F_2,(q^i, P_i, t) = F_1 + \sum_{i=1}^n P_i Q^i
$
$ F_3,(p_i, Q^i, t) = F_1 - \sum_{i=1}^n p_i q^i
$
$ F_4,(p_i, P_i, t) = F_1 + \sum_{i=1}^n P_i Q^i - \sum_{i=1}^n p_i q^i
$
(analogie s termodynamikou ). Kanonické transformace tvoří grupu.
Jak prakticky ověřit, že daná transformace je kanonická?
1 Pomocí Poissonových závorek: transformace je kanonická .
2 Pomocí následující tabulky (konkrétně z libovolného řádku třetího sloupce)
generující funkce | podmínky kanoničnosti | podmínky integrability | |||||
- style="text-align:center" | |||||||
- style="text-align:center" | |||||||
- style="text-align:center" | |||||||
- style="text-align:center" | |||||||
- | |||||||
} | |||||||
Příslušná transformace Hamiltoniánu: | |||||||
$ | |||||||
H'(Q^j,P_j,t) = H(q^j,p_j,t) + \frac{\partial F_a}{\partial t} \mid_{po\ dosaz.} | |||||||
$ | |||||||
kde | |||||||
Věta: Poissonovy závorky jsou invariantní vůči kanonické transformaci: , tzn. | |||||||
$ | |||||||
\sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial q^i} \frac{\partial g}{\partial p_i} - \frac{\partial g}{\partial q^i} \frac{\partial f}{\partial p_i} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial Q^i} \frac{\partial g}{\partial P_i} - \frac{\partial g}{\partial Q^i} \frac{\partial f}{\partial P_i} | |||||||
$ | |||||||
Liouvilleova věta | |||||||
Objem fázového prostoru je invariantní vůči kanonickým transformacím. | |||||||
konkrétně pro : | |||||||
$ | |||||||
V = \int \int dQ dP = \int \int | J | dq dp = \int \int dq dp | |||||
$ | |||||||
neboť | |||||||
$ | = \begin{vmatrix} \frac{\partial Q}{\partial q} & \frac{\partial Q}{\partial p} \ |
\frac{\partial P}{\partial q} & \frac{\partial P}{\partial p} \end{vmatrix} = \frac{\partial Q}{\partial q} \frac{\partial P}{\partial p} - \frac{\partial Q}{\partial p} \frac{\partial P}{\partial q} = {Q,P} = 1 F_1,(q^j,Q^j,t) \frac{\partial F_1}{\partial q^i} = + p_i \ \ \ \ \ \ (1) \frac{\partial F_1}{\partial Q^i} = - P_i \ \ \ \ \ \ (2) H'(Q^j,P_j,t) = H(q^j,p_j,t) + \frac{\partial F_1}{\partial t} \ \ \ \ \ \ (3) \frac{\partial H'}{\partial P_i} = \frac{d Q^i}{d t} = \dot{Q}^i \ \ \ \ \ \ (4) \frac{\partial H'}{\partial Q^i} = - \frac{d P_i}{d t} = - \dot{P}_i \ \ \ \ \ \ (5) S,(q^i,Q^i,t) = F_1 H' = 0, (4) (5) Q^i = konst = \alpha^i, P_i = konst = - \beta_i, (2) \frac{\partial S(q^j,\alpha^j,t)}{\partial \alpha^i} = \beta_i q^j,(t,\alpha^i,\beta_i) S H\left(q^i,\frac{\partial S}{\partial q^i},t\right) + \frac{\partial S}{\partial t} = 0 $ Státní závěrečná zkouška|