Sylabus

*Hamiltonův variační princip, vztah mezi mechanikou a geometrickou optikou. Hamiltonův princip pro soustavy s nekonečně mnoha stupni volnosti (struna, elektromagnetické pole). *

Státní závěrečná zkouška

Trocha historie variačního počtu - hledání brachistochrony (časově nejkratší spojnice dvou bodů), Fermatův princip (nejkratší čas).

Hamiltonův variační princip

Zavedeme lineární akční funkcionál popisující pohyb soustavy v čase

ParseError: KaTeX parse error: Undefined control sequence: \[ at position 8: t \in \̲[̲t_1,t_2]

$

S := \int_{t_1}^{t_2} L (q^j(t), \dot{q}^j(t),t), {\rm d}t , . $

Hamiltonův variační princip pak říká, že se realizuje taková trajektorie $q(t)$, že variace jí příslušející akce je nulová, matematicky

$

\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} L (q^j(t), \dot{q}^j(t),t), {\rm d}t = 0 , , $

(tedy změna akce se změnou dráhy je nulová). Navíc požadujeme, aby počáteční a koncový bod všech možných trajektorií byly shodné, tedy aby $\delta q^i(t_1)=\delta q^i(t_2)=0$ (úloha s pevnými konci).

Lze dokázat, že nutnou podmínkou stability funkcionálu akce ($\delta S=0$) je splnění tzv. Eulerových-Lagrangeových rovnic (EL). Pro obecný lineární funkcionál

$

\int_{\Omega} F\left(\varphi(x,y), \frac{\partial \varphi}{\partial x}(x,y), \frac{\partial \varphi}{\partial y}(x,y), x, y\right) , {\rm d}x {\rm d}y , , $

(integrace přes oblast $\Omega$ s pevnými konci) mají EL rovnice tvar

$

\frac{\partial F}{\partial \varphi} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial F}{\partial \varphi_{,x}} - \frac{\partial}{\partial y} \frac{\partial F}{\partial \varphi_{,y}} = 0 , . $

Porovnáním dostaneme tvar EL rovnic pro náš funkcionál akce

$

\frac{d}{d t} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i} \right)- \frac{\partial L}{\partial q^i} = 0 , , $

což jsou zjevně LR II. Lagrangeovy rovnice II. druhu jsou tedy Eulerovými-Lagrangeovými rovnicemi pro extremálu akčního funkcionálu $S$ (ekvivalence Lagrangeova formalismu a Hamiltonova variačního principu).

Vztah mezi mechanikou a geometrickou optikou

Pohybové rovnice v klasické mechanice lze napsat ve tvaru podmínky pro extremální hodnotu akčního funkcionálu $S$. Analogicky můžeme geometrickou optiku založit na Fermatově principu - ten požaduje, aby se světlo šířilo tak, že se z místa $A$ do místa $B$ dostane za nejkratší možnou dobu. V mechanice tedy nabývá extremální hodnoty funkcionál akce

$

\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} L (q^j(t), \dot{q}^j(t),t) , {\rm d}t = 0 $

v optice je to optická dráha

$

\delta l = \delta \int_A^B n (\vec{r}) , {\rm d}l = 0 $

Hamiltonův princip pro soustavy s nekonečně mnoha stupni volnosti (struna, elektromagnetické pole)

Uvažujme strunu o délce $l$, délkové hustotě $\varrho$, napjatou napětím $\sigma$. Výchylku z rovnovážné polohy označíme $y(x,t)$. Uvažujeme-li jen malé kmity, můžeme sílu, která vrací strunu zpátky do rovnovážné polohy, aproximovat výrazem

$

\sigma \left[ \frac{\partial y}{\partial x} \left( x + dx \right) - \frac{\partial y}{\partial x} (x) \right] \approx \sigma \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} {\rm d}x , . $

Kinetická energie struny

$

T = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{\varrho}{2} \int_0^l \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 {\rm d}x $

Potenciální energie struny

$

{\rm d}V = \int_0^y F_y\ {\rm d}y = \sigma \int_0^y \frac{\partial^2 y}{\partial x^2}, {\rm d}y {\rm d}x $

Zavedeme-li substituci $z=\frac{\partial y}{\partial x}$ (pro niž platí $\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}=\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial y}z$) můžeme psát

$

V = \sigma \int_0^l \left( \int_0^y \frac{\partial z}{\partial y} z, {\rm d}y \right) {\rm d}x = \frac{\sigma}{2} \int_0^l z^2 {\rm d}x = \frac{\sigma}{2} \int_0^l \left(\frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 {\rm d}x , . $

Lagrangián má potom tvar

$

L = T - V = \int_0^l \left[ \frac{\varrho}{2} \left( \frac{\partial y}{\partial t} \right)^2 - \frac{\sigma}{2} \left(\frac{\partial y}{\partial x} \right)^2 \right], {\rm d}x = \int_0^l \tilde{L} , {\rm d}x , , $

kde $\tilde{L}$ je hustota langrangiánu. Podle Hamiltonova variačního principu hledáme extremálu tohoto lagrangiánu

$

\delta \int_{t_1}^{t_2} L , {\rm d}t = \delta \int_{t_1}^{t_2} \int_0^l \tilde{L} , {\rm d}x {\rm d}t = 0 , . $

Řešíme tedy EL rovnici

$

\frac{\partial \tilde{L}}{\partial y} - \frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial y_{,t}} - \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial \tilde{L}}{\partial y_{,x}} = 0 , . $

Dosazením lagrangiánu dostaneme

$

\varrho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = \sigma \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} \Leftrightarrow \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = 0 , . $

Pohyb struny se řídí vlnovou rovnicí, rychlost šíření vlny je $v=\sqrt{\frac{\sigma }{\varrho }}$. Řešení vlnové rovnice má tvar

$

y = f \left(x + k,t\right) + g \left(x - k,t \right) , , $

kde $k=\frac{1}{v}$, $f$ a $g$ jsou libovolné hladké funkce. Pro elektromagnetické pole analogicky.

Elektromagnetické pole

Rád bych sem doplnil pár informací k elektromagnetickému poli. Za prvé vůbec nechápu, co tady dělá, protože jediné místo, kde se s variační formulací elektromagnetismu dalo setkat, byl loňský Krtoušův seminář na soustředění v Ondřejově, kde shodou okolností byli z našeho ročníku snad jen členové VLKa. Za druhé je pro nás pochopitelná jen Lagrangeovská formulace, kterou zde uvedu, neboť přeformulování do Hamiltonovské je značně ošklivé, protože Lagrangián nezávisí na $\dot{\phi }$ a tak je degenerovaná jedna zobecněná hybnost.

Akce (integrál z hustoty Lagrangiánu přes čas a prostor) je pro elektromagnetické pole je dána výrazem:

$S=\int \int \left(\frac{1}{2}\left({\mathbf{E}}^2-{\mathbf{B}}^2\right)-\rho \phi +j.A\right)\mathrm{d}{x}^3\mathrm{d}t=\int \int \left(\frac{1}{2}\left(\nabla \phi +\dot{\mathbf{A}}\right).\left(\nabla \phi +\dot{\mathbf{A}}\right)-\frac{1}{2}\left(\nabla \times \mathbf{A}\right).\left(\nabla \times \mathbf{A}\right)-\rho \phi +j.A\right)\mathrm{d}{x}^3\mathrm{d}t.$

Konstanty ${\epsilon }_0,{\mu }_0$ a $c$pokládám pro jednoduchost rovny jedné. Výraz pro akci je nutné si za použití identity ${\epsilon }_{ijk}{\epsilon }_{ilm}={\delta }_{jl}{\delta }_{km}-{\delta }_{jm}{\delta }_{kl}$ přepsat do složek a pak provést variaci (parciální derivaci značím čárkou, používám Einsteinovu sčítací konvenci a ignoruji kovariantní a kontravariantní indexy, v OTR je stejně všechno úplně jinak).

$S=\int \int \left(\frac{1}{2}\left({\phi }_{,k}+{\dot{A}}_k\right)\left({\phi }_{,k}+{\dot{A}}_k\right)-\frac{1}{2}\left(A_{i,j}{A}_{i,j}-A_{i,j}{A}_{j,i}\right)-\rho \phi +j_l{A}_l\right)\mathrm{d}{x}^3\mathrm{d}t,$

$\delta S=\int \int \left(\left({\phi }_{,k}+{\dot{A}}_k\right)\delta {\phi }_{,k}-\rho \delta \phi +\left({\phi }_{,k}+{\dot{A}}_k\right)\delta {\dot{A}}_k-A_{i,j}\delta A_{i,j}+A_{i,j}\delta A_{j,i}+j_l\delta A_l\right)\mathrm{d}{x}^3\mathrm{d}t.$

Nyní je potřeby zbavit se všech derivací u variací, což se standardně dělá per partes s položením variací nula na okraji integrační oblasti. S drobným přeindexováním dostaneme:

$\delta S=\int \int \left(\left(-{\phi }_{,kk}-{\dot{A}}_{k,k}-\rho \right)\delta \phi +\left(-{\dot{\phi }}_{,k}-{\ddot{A}}_k+A_{k,jj}-A_{j,kj}+j_l\right)\delta A_l\right)\mathrm{d}{x}^3\mathrm{d}t.$

Když nyní použijeme Lorenzovu kalibraci $A_{k,k}+\dot{\phi }=0$, tak dostaneme rovnice:

$\Delta \phi -\frac{{\partial }^2\phi }{\partial t^2}=-\rho ,$

$\Delta \mathbf{A}-\frac{{\partial }^2\mathbf{A}}{\partial t^2}=-j,$

které jsou spolu s definicemi elektromagnetických potenciálů $\mathbf{E}=-\nabla \phi -\dot{\mathbf{A}},\mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}$ ekvivalentní standardní sérii Maxwellových rovnic.

Státní závěrečná zkouška