Základy kvantové teorie pevných látek se zaměřením na elektronovou strukturu a dynamiku elementárních excitací

Státnice - Fyzika NMgr: Seznam okruhů#2. Kvantová teorie molekul a pevných látek

Začněme slovy "Mám materiál s pásovou strukturou". Není třeba příliš rozebírat, proč a jak pásy vznikají, stačí zmínit, že je to důsledek mnohačásticové interakce elektronů mezi sebou.

Přímý a reciproký prostor

Přímý prostor značíváme x-prostor nebo též r-prostor. Reciproký pak k-prostor.

Translační vektor (v r-prostoru): lze jej vyjádřit jako lineární kombinaci bázových translačních vektorů.

Reciproké bázové vektory lze definovat např.: b_i=Ω₀ a_j x a_k, kde $ \Omega $ ₀ = objem primitivní buňky = a₁∙a₂×a₃ a indexy j a k nabývají následujících hodnot:

1. pro i=1 je j=2 a k=3
2. pro i=2 je j=3 a k=1
3. pro i=3 je j=1 a k=2

Takto zadefinované b_i splňují

1. b_i∙a_j∈Z
2.  ???b_g∙a_n=g_nn_jb_i∙a_j

Protože potenciál v krystalu je translačně symetrický (V(r+a)_n=V(r)), lze jej rozložit do Fourierovy řady V(r)=Σ_b∈"3D"V_be^{-2πi b∙r}, kde V_b=∫_ΩV(r)e^{2πi b∙r}d³r; Ω = objem krystalu.

Označení bodů

http://www.theochem.unito.it/crystal_tuto/mssc2008_cd/tutorials/barebone/gamma_c_f.jpg

Blochova věta a Blochovy funkce

Říká, že v periodickém krystalu jsou vhodnými vlnovými funkcemi pro popis stavu elektronu Blochovy funkce:

Periodický krystal => Ψ_{_k,n}(r) = e^{i k∙r} u_k,n(r), kde u(r) je rychle oscilující část. k je vlnový vektor elektronu a n pásový index. u je translačně symetrická: U(r+a_i)=u(r) pro každý bázový vektor a_i.

Do nečasové SR dosadíme tuto Blochovu funkci, zleva vynásobíme faktorem e^-ik*r a přeintegrujeme přes celý prostor, čímž získáme PDR pro u(r). Na její levé straně je výraz [E(k)-ℏ²k²/2m₀]u_k(r).

Brillouinova zóna (BZ)

Pokud k zmenšujeme o b_j na nejmenší možnou velikost, dostaneme k'=k-b_j. Označíme u_k(r)=e^2πib_j*ru_k'(r). Tímto postupem je možné rychle oscilující část komplexní exponenciely stojící před u v definici Blochovy funkce zahrnout do funkce u. Pokud již k nelze tímto způsobem zmenšit, říkáme, že tento vlnový vektor leží v první Brillouinově zóně. Její hranice tedy je |r∙b_i|<π. Objem první BZ = (2π)³ b₁∙ b₂×b₃=(2π)³/Ω₀.

Pokud dále požadujem platnost Born-Karnánových okrajových podmínek (tj. Ψ(r+G_ja_j)=Ψ(r), kde G_ja_j je velikost celého krystalu), pak obdržíme k∙a_j=2π/G_j g_j, tedy, že k je kvantováno.

Vodivostní a valenční pás; elektrony a díry

Pásová struktura => existují valenční (poslední obsazený při T = 0 K) a vodivostní (první neobsazený při T = 0 K) pás. Plně obsazení ani zcela prázdný pás nemohou přispívat k elektrické vodivosti. Mezi nimi je zakázaný pás. I vodivostní pás je někde nahoře zakončen, ale toto zakončení bývá tak vysoko, že nás téměř nikdy nezajímá. Fermiho energie odděluje stavy obsazené od neobsazených při T = 0 K => při absolutní nule je polovodič úplně nevodivý (má nekonečně velký elektrický odpor). Polovodič: ↑T=>↓R. Kov: naopak.

Díra: má zápornou efektivní hmotnost. Je nositelem kladného proudu. Elektron padá na dno vodivostního pásu; díra bublá na vrcholek valenčního pásu.

Ve chvíli, kdy odebereme elektron s v_x<0 z valenčního pásu, je elektron s opačnou rychlostí nekompenzován. Máme zde tedy "díru" s v_x<0. Lorentzova síla na díru působí shodně, jako na kladný náboj. Vlnový vektor díry je až na znaménko shodný s vlnovým vektorem odebíraného elektronu. Stejně tak hmotnost díry je záporná.

Tenzor efektivní hmoty

Protože nás téměř nikdy nezajímá přesný průběh funkce u, ale skoro vždy chceme vědět co nejvíce o energetickém spektru. Energii rozvineme do Taylorovy řady, konstantní člen BÚNO položíme roven nule; člen s prvními derivacemi taktéž (protože budeme vyšetřovat rozvoj v okolí Γ bodu, což bývá (možná je vždy) lokální minimum):

E(k)=E(k')+1/2 Σ ∂2E/∂ki∂kj|k=k'(ki-k'i)(kj-k'j)+...

Podíváme se blíže na ∂²E/∂k_i∂k_j|_k=k': toto je tenzor 2. řádu, který označíme symbolem ℏ²(m^-1)_ij a nazveme tenzorem reciproké efektivní hmotnosti.

Hustota stavů

Lze obecně odvodit, že g(E) ~ E^(d-2)/2, kde d = počet dimenzí g(E) = dN/dE = #stavů/rozpětí energií [# = počet]

3D: ΔN ~ 4πk²Δk, E=ℏ²k²/2m => dE = ℏ²/m k => ΔE = ℏ²/m k Δk. Proto dN/dE ~ k ~ √E
2D: ΔN ~ 2πkΔk => dN/dE = konst
1D: ΔN ~ Δk => dN/dE ~ 1/k ~ 1/√E. Protože singularita je "pouze" 1/√E, máme při integrování konečný # stavů. Nezapomeňme, že když E=E(k) je parabola, tak výsledek musíme vynásobit dvěma, protože příspěvek jsme počítali pouze pro k>0 a "zapomněli" jsme započítat příspěvek s k<0 
Pozor: v různých dimenzích má g(E) různé jednotky!!! A ještě tuto hustotu stavů mžeme vynásobit dvojkou kvůli spinu