Pravděpodobnost a statistika

Z ωικι.matfyz.cz
Verze z 17. 1. 2011, 01:57, kterou vytvořil 78.128.177.115 (diskuse) (Zkouška 19.1.2007)

(rozdíl) ← Starší verze | zobrazit aktuální verzi (rozdíl) | Novější verze → (rozdíl)
Přejít na: navigace, hledání
Pravděpodobnost a statistika
Kód předmětu: NMAI059
Přednáší: Jaromír Antoch

Základní informace[editovat | editovat zdroj]

ZS 2006/7[editovat | editovat zdroj]

Zkoušky:

  • Celkem 45 bodů, do 38 1, do 32 2, do 25 3. Za prvních pět dokopy je 20 bodů a za poslední příklad je 25.
  • Čistýho času jsou 2 hodiny.

Zkouška 19. 1. 2007[editovat | editovat zdroj]

  • Mame n mereni X a prumer($ \overline{X_n} $) - 4 otazky na rozhodnuti plati/neplati se zdůvodněním nebo důkazem:
    • $ \overline{X_n} $ nezávisí na odlehlých hodnotách $ X_i $
    • $ \overline{X_n} $ je nestrannym odhadem EX
    • $ var(\overline{X_n})=n*var(X_i) $
    • $ \sum(X_i - \overline{X_n})^2 = 1 $
  • Pokud se nahodny hodnoty trefuji blizko do okoli stredni hodnoty, bude pak smerodatna odchylka:
    • mala
    • velka
    • velmi velka
    • nespocitatelna
  • Hodnota, kterou n.v. s pravdepodobnosti p nepreleze se nazyva:
    • median
    • p-kvantil
    • p-kvartil
    • distribucni funkce v bode p
  • Stredni hmotnost narozeneho ditete je 3,4kg, smerodatna odchylka je 450g, normální rozdělení, urcete pravdepodobnost narozeni ditete s vahou mensi nez 2.5kg a zdůvodněte:
    • 1%
    • 2,5%
    • 10%
    • 25%
  • Popište:
    • co je to chyba prvniho druhu
    • co je to kriticky obor
    • co je to sila testu
  • Stroj na generovani nahodnych cifer generuje cislice 0-9, kazde cislo se stejnou pravdepodobnosti
    • jakým rozdělením se řídí počet sudých číslic vygenerovaných strojem
    • kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 1 sude
    • kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 2 sude
    • kolik nejmene cislic musime vygenerovat, abychom s 0.975 psti dostali alespon 10 sudych
    • Mejme jev A, vygenerovana cislice je mensi nez 4
      • Navrhnete test na alfa hladine 0.95, ktery overi hypotezu, ze cetnost pA vygenerovanych cislic mensich nez 4 neodpovida tvrzeni o idealnosti stroje (stroj je spatny)
      • Ze 100 pokusu je 35 cislic mensich nez 4, zamitneme hypotezu?
      • Co kdyz 10x zvetsime vyber a dostaneme 350 cislic mensich nez 4, zmeni se neco na nasem postoji vuci hypoteze?

Zkouška 22. 1. 2007[editovat | editovat zdroj]

  • Doba telefonního hovoru se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 2 minuty. Jaká je pravděpodobnost že náhodný hovor bude trvat déle než dvě minuty?

[3 body]

  • $ X_1,....X_n $ jsou z alternativního rozdělení s parametrem 0,3 a $ Y=\sum\limits_{i=1}^n X_i $.
    • Jaké je rozdělení Y?
    • K čemu konverguje $ \frac{Y}{n} $?
    • Jaké má rozdělení Y vztah k Poissonovu rozdělení?

[po 2 bodech, celkem 6]

  • Teorie:
    • Čebyševova nerovnost
    • nestranný odhad
    • chyba 2.druhu
    • intreval spolehlivosti

[po 3 bodech, celkem 12]

  • Opilec má osm klíčů, které jsou nerozeznatelné a snaží se odemknout svůj dům. Po každém odemčení mu klíče upadnou a znova je sebere a zkouší to znova.
    • Určete rozdělení toho, po kolika pokusech uspěje
    • Určete pravděpodobnost, že uspěje nejhůře po šesti neúspěšných pokusech.
    • Určete pravděpodobnost, že uspěje nejdříve po deseti neúspěších za předpokladu, že už 6 neuspěl.
    • Určete střední hodnotu.

[1+3+3+3 body, celkem 10]

  • Počet spamů za den se řídí Poissonovým rozdělením $ (\frac{\lambda^k}{k!})*(e^{-\lambda}) $
    • Ověřte, že $ var X = \lambda $.
    • $ \lambda_0 = 25 $, 100 dní - jaká je zhruba pravděpodobnost, že strávím za 100 dní méně než dvě hodiny mazáním spamu, když smazání jednoho trvá 3 sekundy?
    • Ověřte na alfa=0,05 teorii, že při 100 dnech a celkovém počtu spamů 2650 je λ větší než $ \lambda_0 $ ($ \lambda_0=25 $).

[3+5+6, celkem 14]

Zkouška 13. 2. 2007[editovat | editovat zdroj]

  • Má-li doba obsluhy zákazníka ve spořitelně (v minutách) exponenciální rozdělení se střední hodnotou 5 minut, určete, jaká je pravděpodobnost, že
    • náhodně vybraný zákazník bude obsluhován déle než 5 minut
    • nejdelší z šestice nezávislých dob obsluhy nepřekročí 10 minut
    • určete rozptyl aritmetického průměru dob obsluhy 100 zákazníků

[2+3+2]

  • Vysvětlete následující pojmy: vychýlený odhad, obor přijetí, chyba 1. druhu, intervalový odhad, zákon velkých čísel, Bayesova věta

[6x3 punkten]

  • V lisovně plastů vyrábějí obaly na CD. Tloušťka jednoho obalu je určena náhodnou veličinou s rozdělením N(10mm, 0,25mm^2). Obaly se vkládají do krabic (v jedné řadě jako knížka do knihovny), které dodává jiný výrobce. Vnitřní šířka krabice je popsána náhodnou veličinou s rozdělením N(1014mm, 24 mm^2). Předpokládejme, že šířky jednotlivých obalů jsou nezávislé jak navzájem, tak i šířkou krabice. Jaká je pravděpodobnost, že se do krabice nevejde 100 CD.

[fünf punkten]

  • Typický pražský Cajzl jezdí každý den krtkem do a z práce, kdy interval mezi jednotlivými vlaky je 4min - stejně i v době návratu domů. Jsou-li v uvažovaných denních dobách všechny okamžiky zaměstnancova vstupu na nástupiště stejně možné, je i jeho doba čekání na vlak (X) náhodnou veličinou.
    • určete rozdělení veličiny X, její střední hodnotu a rozptyl
    • určete přibližnou pravděpodobnost, že během 1. čtvrtletí (63 pracovních dnů) stráví při cestách do práce a zpět čekáním na vlak více než 3 a tři čtvrtě hodiny.
    • Strávil-li onen cestující během posledního čtvrtletí čekáním na peróně 275 min, otestujte na hladině alpha=0,05, zda lze zpochybnit 4-minutový interval mezi jednotlivými vlaky udaný v jízdním řádu.
      • řádně zformulujte hypotézy
      • řádně zformulujte rozhodovací pravidlo
      • proveďte test

[4+5+6]

ZS 2005/6 a starší[editovat | editovat zdroj]

  • už neplatí, systém zkoušení byl změněn
  • rozebíráno v diskusi mff.fear.cz
  • od zkoušky asi opravdu nejde "vyletět", človek z něhož toho Antoch dostane opravdu málo má při nejhorším za 3 (nebo si může zvolit možnost přijít příště, bez jakékoliv penalizace ;)

teoretické úlohy, které rozdával na zkoušce (z mff fear, ale (skoro) všechno hezky pohromadě)[editovat | editovat zdroj]

  • Podmíněná pravděpodobnost, vsecko OK, az do chvile, nez se me zeptal na neco jako, kdyz mame dva nezavisle jevy A, B,... tak jesli nam muze byt k necemu vysledek prvniho pokusu, pri zkoumani toho dalsiho. No rekl jsem, ze ne, ze od toho jsou nezavisle. Nasledovala etida na tema at si to jeste rozmyslim, ktera skoncila nekde u nahodnych prochazek.
  • Věta o úplné pravděpodobnosti.
  • Náhodná procházka.
  • Bayesova veta. Ptal se i na pouziti, tak jsem mu vypravel o testech aids.
  • Pravděpodobnostní prostor.
  • Náhodná veličina - definice, význam, příklady spojité a diskrétní n.v.
  • Povězte mi co víte o spojité náhodné veličině.
    • stačí nakreslit pár obrázku, uvést pár příkladů a popsat co to je střední hodnota apod.
  • neslucitelnost X nezavislost u nahodnych jevu a velicin. U nezavislosti nahodnych velicin jsem napsal pouze kovarianci a korelaci, coz mu stacilo. Jeste jsme resili jak vypada sjednoceni k nahodnych jevu (jevy nemusi byt disjunktni) - tam se pouzije princip inkluze a exkluze a jak vypada prunik tri nahodnych jevu (ne nutne nezavislych) - pomoci podminene psti.
  • Věta o konvoluci.
  • Vsechno co vim o Normalnim rozdeleni.
  • Čebyšeova nerovnost a věta - obojí s důkazem
  • Vytvořující funkce (definice, jak se používá, proč se zaváděla).
  • Centrální limitní věta, pouziti pro n.v. ~ bi(n,p).
  • Testování hypotéz (spis uvod, nulova hypoteza, alfa, sila testu).
  • statistická otázka - testování středních hodnot dvou nezávislých výběrů ( úloha z domácího úkolu - jak na základě naměřeného vzorku výšek mužů a žen určit, zda jsou muži stejně vysocí jako ženy ).
  • regrese
  • teoria odhadu

praktické příklady, které rozdával na zkoušce[editovat | editovat zdroj]

  • Jaká je pravděpodobnost, že pěticiferné číslo z rozsahu 00001-99999 neobsahujé žádné dvě stejné cifry.
  • V telefonní síti je průmerný počet výpadků za měsíc na jednoho účastníka 8. Jaká je pravděpodobnost, že jeden účastník zaznamená více než 4 výpadky.
  • Strelec strili do terce, zasah 0-10b, pst ze trefi v souctu 30b je 0.008, pst, ze trefi v jednom vystrelu P( x < 8 ) = 0.4, P( x = 8 ) = 0.15. Jaka je pst, ze trefi alespon 28b ve trech vystrelech.
  • máme 18 střelců, 5 z nich trefí cíl s pravděpodobností 90%, 7 z nich trefí cíl s pravděpodobností 80%, 4 z nich trefí cíl s pravděpodobností 60%, 2 z nich trefí cíl s pravděpodobností 50%. Náhodně vybereme střelce a on mine. Určete, v jaké skupině střelců nejpravděpodobněji je.
  • Mate navzajem disjunktni jevy A,B,C,D + prislusne psti, jaka je pravdepodobnost, ze nastane alespon jeden z jevu?
  • agregat se po m poruchach musi opravit s psti G(m) = 1 - ( 1 - 1/omega )^m . Omega urcuje prumerny pocet poruch. Pravdepodobnost poruchy za jeden cyklus (smenu?) je p. Dokazte, ze po n cyklech se agregat musi opravit s psti W = 1 - ( 1 - p/omega)^m .
  • spočítat pst, že náhodně vybrané celé číslo umocněné na druhou končí na jedničku. Pak ještě to samé na doplnění, ale s jedenáctkou na konci pro druhou, případně třetí mocninu
  • příklad na náhodnou procházku
    • nevím doslovné zadání, ale celkem snadno se to dalo převést na příklad jež se dělal na přednášce, a jehož řešení je v úpravě vztahu na rekurzivní vyjádření za pomocí podmínění prvním pokusem
  • Je 2n lidí, z toho n mužů a n žen. Všichni se náhodně usadí ke stolu (s 2n židlemi). Jaká je pravděpodobnost, že žádné dvě osoby stejného pohlaví nebudou sedět vedle sebe?
    • Naváděl mě na princip inkluze a exkluze, ale nakonec jsme to nějak společnými silami (víc jeho než mými :-) vyřešili bez toho.
    • Jako podpříklad jsme vyřešili i toto: Je 10 manželských párů, jaká je pravděpodobnost, že když si sednou ke stolu s dvaceti místy, tak žádní dva manželé nebudou sedět vedle sebe? (toto už je na princip inkluze a exkluze)
  • Mam pytlik a v nem je bila a cerna kulicka. V kazdem tahu vytahnu jednu kulicku. Kdyz vytahnu cernou, hra konci. Kdyz vytahnu bilou, vratim ji a jeste jednu bilou pridam. Jaka je pst, ze v prvnich 50 tazich nevytahnu cernou kulicku. Pro overeni vysledek je 1/51.
  • 2 manici hazi na stridacku minci (spravedlivou). Vyhrava ten, kdo prvni hodi lic. Jaka je pst, ze vyhraje prvni a jaka, ze vyhraje druhy.
  • Betinec: Procesor ma sirku X, patice ma sirku Y, kde X je n.v. s rozdelenim N(10, 4) a Y je n.v. s rozdelenim N(11,5). Jeden procesor stoji 1 dolar, vyrobite 1000 procesoru. Jaka je stredni hodnota ztraty (tzn. kolik vyrobite procesoru sirsich nez patice)? Pozn.: Temi parametry u X a Y si nejsem jisty...ale na tom ostatne az tak nezalezi.
  • Betinec: V rybnice plave celkem k kapru. Z techto k je m oznacenych. Nahodne vylovim n kapru a vidim, ze z nich je x oznacenych. Jaka je stredni hodnota poctu kapru v rybnice. Jak se zmeni, kdyz taham kapry po jednom (tedy Polyovo urnove schema s delta = -1, neboli spocitat stredni hodnotu hypergeometrickeho rozdeleni). (Pro ujasneni: k neznam; m, n a x znam)
  • Betinec: Mame n mereni IQ: X_1,X_2,...,X_n. Jsou to nezavisle nahodne veliciny z rozdeleni N(x,15^2) (stredni hodnotu nevime). Navrhnete, jak byste testovali hypotezu, ze prumerne IQ (tedy ta stredni hodnota) je vetsi rovno 120 oproti alternative, ze IQ je mensi nez 120. Plus pro danych 6 hodnot (pamatuju se jen, ze soucet byl 696) se melo overit, zda hypotezu zamitame/nezamitame (nezamitala se).

Externí odkazy[editovat | editovat zdroj]