== Rozsah látky ==
Seznam [http://www.mff.cuni.cz/studium/bcmgr/ok/i3b52.htm oficiálních] státnicových otázek:
: Projektivní rozšíření afinního prostoru, homogenní souřadnice, afinní a projektivní transformace v rovině a v prostoru, kvaterniony v reprezentaci 3D orientace, diferenciální geometrie křivek a ploch, základní spline funkce, kubické spliny C2 a jejich vlastnosti, interpolace kubickými spliny, Bézierovy křivky, Catmull-Rom spliny, B-spline, de Casteljaův a de Boorův algoritmus, aproximační plochy, plochy zadané okrajem, Bezierovy plochy, plátování, B-spline plochy, NURBS plochy, základní věty o konvexitě, kombinatorická složitost konvexních mnohostěnů, návrh geometrických algoritmů a jejich složitost, Voroného diagram a Delaunayova triangulace, konvexní obal, lokalizace, datové struktury a algoritmy pro efektivní prostorové vyhledávání.
----
== Projektivní rozšíření afinního prostoru, homogenní souřadnice, afinní a projektivní transformace v rovině a v prostoru ==
[http://skola.brundik.net/szz-ma/materialy/geometrie/Geo-10_-_Projektivne_rozsireny_euklidovsky_prostor.pdf Projektivne rozsireny euklidovsky_prostor.pdf]
'''Afinní prostor''':
* <math>A_n</math> - neprázdná množina bodů
* <math>W_n</math> - vektorový prostor (zaměření)
* <math>f:A_n \times A_n \to W_n</math>
* <math>f(A, B) + f(B,C) = f(A,C)</math>
* <math>\forall P \in A_n, \forall X \in A_n : f_P(x) = f(P,X)</math> je bijektivní
Běžně <math>A_n = R^n, W_n = R^n, f(A,B) = B - A</math>.
'''Soustava souřadnic'''
Repér: pevný bod <math>O</math> + báze zaměření
'''Transformace souřadnic'''
'''Lineárně nezávislé body'''
<math>B_0,B_1, \ldots, B_n</math> jsou LN <math>\Leftrightarrow</math> <math>(B_1-B_0), (B_2-B_0), \ldots, (B_n-B_0)</math> jsou LN
Afinní prostor dimenze n je jednoznačně určen n+1 body:
: <math>X = B_0 + \sum \beta_i (B_i-B_0) = B_0+ \sum \beta_i B_i - \sum \beta_i B_0 = B_0 \underbrace{(1-\sum \beta_i)}_{\beta_0} + \sum \beta_i B_i</math>
Afinní kombinace bodů (barycentrické souřadnice)
<math>X = \beta_0 B_0 + \beta_1 B_1 + \ldots + \beta_n B_n</math>, <math>\sum \beta_i = 1</math>
Konvexní kombinace bodů - navíc požadavek <math>\beta_i \geq 0, \forall i</math>
== Kvaterniony v reprezentaci 3D orientace ==
* <math>Q = q_0 + q_1 i + q_2 j + q_3 k = ( q_0, (q_1, q_2, q_3) ) = (q_0, \overrightarrow{q})</math>
* <math>i^2 = j^2 = k^2 = -1</math>
* <math>i j = k, j i = -k, \ldots</math>
=== Operace s kvaterniony ===
* <math>Q \cdot P = (q_0, \overrightarrow{q}) (p_0, \overrightarrow{p}) = (q_0 p_0 - \overline{q} \overline{p}; q_0 \overline{p} + p_0 \overline{q} +(\overline{q} \times \overline{p})</math> - komutativní pokud shodné vektorové části, jinak pouze asociativní a distributivní
* <math>Q^* = (q_0, - \overrightarrow{q})</math>
* <math>Q \cdot Q^* = (q_0^2 + \overline{q} \overline{q}; q_0 \overline{q} - q_0 \overline{q} + \overline{0}) = q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2</math>
* <math>\| Q \| = \sqrt{Q \cdot Q^*}</math>
* <math>Q \cdot Q^{-1} = 1 </math>
: <math>Q^* \cdot Q \cdot Q^{-1} = 1 </math>
: <math>Q^* \cdot Q \cdot Q^{-1} = Q^* </math>
: <math>Q^{-1} = \frac{Q^*}{\| Q \|^2}</math>
* Věta: <math>\| Q \cdot P \| = \| Q \| \cdot \| P \|</math>
:: Dk: <math>\| Q \cdot P \| = \sqrt{(Q \cdot P) \cdot (Q \cdot P)^*} = \sqrt{(Q \cdot P) \cdot (P^* \cdot Q^*)} = \sqrt{Q \cdot P \cdot P^* \cdot Q^*} = \sqrt{\| P \| Q \cdot Q^*} = \sqrt{\| P \|^2 \| Q \|^2} = \| Q \| \cdot \| P \|</math>
=== Jednotkové kvaterniony ===
* <math>\| Q \| = 1</math>
* tvoří multiplikativní podgrupu
* <math>Q^{-1} = Q^*</math>
* Jednotkový kvaternion je tvaru: <math>Q = ( cos( \alpha ), sin( \alpha ) \cdot \overline{a} ), \| \overline{a} \| = 1</math>
=== Rotace ===
=== Interpolace rotace ===
# Lineární Eulerova interpolace
# Kvaterniony - LERP
# SLERP - sférická lineární interpolace
== Diferenciální geometrie křivek a ploch==
== Základní spline funkce==
== Kubické spliny C2 a jejich vlastnosti, interpolace kubickými spliny==
== Bézierovy křivky==
== Catmull-Rom spliny==
== B-spline==
== De Casteljaův a de Boorův algoritmus==
== Aproximační plochy, plochy zadané okrajem, Bezierovy plochy, plátování, B-spline plochy, NURBS plochy ==
== Základní věty o konvexitě, kombinatorická složitost konvexních mnohostěnů ==
== Návrh geometrických algoritmů a jejich složitost ==
== Voroného diagram a Delaunayova triangulace ==
[http://iason.zcu.cz/~kolinger/AVG/AVG5.zip Voronoi diagramy],[[wen:Voronoi diagram]]
Máme množinu bodů a VD rozděluje rovinu na oblasti, kde každý bod je součátí oblasti nejbližšího bodu. VD je hranice mezi oblastmi (=body, které jsou stejně vzdálené k více bodům).
Vlastnosti:
* konvexní
* v každé oblasti 1 bod
* některé oblasti neuzavřené
* pokud žádné 4 body neleží na kružnici, uzly mají stupeň 3
* je-li p_i nejbližší soused p_j, tak jejich oblasti sdílí hranu
Konstrukce:
* [[wen:Fortune's algorithm]] - má sweep line, která jde zleva doprava a beachline (sjednocení parabol - parabola = stejná vzdálenost od přímky a bodu). beachline mapuje VD, když SL přijde nový bod tak nová parabola v beachline, pokud se ruší křivka (pokud se tři body, které tvoří tři sousední paraboly na beachline jsou v kruhu = bod má stejnou vzdálen ost ke všem třem bodům)
=== Delaunayova triangulace ===
[http://iason.zcu.cz/~kolinger/AVG/AVG7.zip Rovinne triangulace a jejich aplikace],[[wen:Delaunay triangulation]]
Triangulace N bodů množiny P - rozdělení ConvexHull(N) do simplexů (simplex v dimenzi k má k+1 bodů=ve 2D trojúhelník). Počet hran v E2 (euklid2D) max 2N-6, přesně 3N-3-N_convex_hull
Kritéria - lze vybrat mnoho triangulačních sítí, kterou?:
* Co nejrovnostranější trojúhelníky - úhlová kritéria: maximalizace min. úhlů, mainimalizace max. úhlů. Hranová kritéria: Co nejkratší součet délek hran.
* občas např. chceme zachovat nekonvexnost oblasti (např. písmena)
* začlenění některých povinných hran
* kružnice opsaná libovolnému trojúhelníku DT(P) v sobě neobsahuje žádné další body z P. Ze všech triangulací má trojúhelníky nejblíže k rovnostranným. Duální k voroniho diagramu
* pokud nejsou tři na čáře apod, tak je triangulace unikátní.
Flipping: pokud máme dva trojúhelníky, které sousedí hranou a které nejsou DT (=opsané kružnice obsahují další vrchol nebo úhly > 180), přehození hrany to změní. Začne se s libovolnou triangulací a poté se přehazují hrany, které nejsou DT.
== Konvexní obal, lokalizace, datové struktury a algoritmy pro efektivní prostorové vyhledávání ==
[http://iason.zcu.cz/~kolinger/AVG/AVG4.zip Konvexní obal]
Pozor na degenerované případy, např. více bodů na přímce
=== 2D ===
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Graham_scan Grahamův algoritmus] - najdi bod s nejmenším y (pokud víc, nejpravější), seřaď body podle úhlu s bodem p a osou x, potom v pořadí testuj, jestli je to stále konvexní, pokud se otáčí opačným směrem, odstraň předcházející body, dokud není zase konvexní. Nejde zobecnit do vyšších dimenzí. O(N log N)
* [https://en.wikipedia.org/wiki/Gift_wrapping_algorithm Balení dárku] - vybere se nejlevější bod (zaručeně v obalu). Opakuj: najdi další bod obalu tak, že se podívá na všechny body a vybere ten s nejmenším úhelm od současného úhlu. Složitost (počet_bodu_obalu * N). Pomalý (až N^2), nepoužívá se.
* Rozděl a panuj - pokud málo bodů, zkonstruuj obal, jinak rozděl na 2 poloviny, pro každou rekurzivně vlastní obal a výsledné obaly spoj. Pokud spojení O(N), tak O(N log N)
=== 3D ===
* Balení dárku - máme stěnu F a hledáme přes její hranu e polorovinu, která má největší úhel < 180. O(počet_stěn*N)
* Rozděl a panuj. Pokud spojení O(N), tak O(N log N)
=== Lokalizace ===
Lokalizace - hledání bodu. [http://iason.zcu.cz/~kolinger/AVG/AVG2.zip Geometricke vyhledavani]
Konvexní polygon
** Ray crossing, vodorovná přímka procházející bodem, pokud lichý počet průsečíků, uvnitř, jinak venku
** Test vůči každé hraně - každá hrana definuje polorovinu, pokud ve všech, tak uvnitř
** Půlení intervalu
Nekonvexní polygon
** Ray crossing
** Ovíjení - jdu postupně po všech bodech a sčítám úhly P_i - bod - P_i+1. Pokud je uvitř, tak obejde celý polygon a vysledek je 360, pokud venku, tak se vrátí a výsledek 0.
Hledání v síti
* Planární dělení - Každý separátor dělí rovinu na 2 částí=lze použít binární vyledávání. Něco jako BSP
* Metoda pásů - vezmemem všechny body a seřadíme do pásů podle x (lze vyhledávat binárně), v každém pásu všechny přimky, seřazené posle y. Hledání O(log N)
=== datové struktury a algoritmy pro efektivní prostorové vyhledávání ===
[http://iason.zcu.cz/~kolinger/AVG/AVG3.zip Geometricke vyhledavani 2]
[http://cgg.mff.cuni.cz/~pepca/lectures/pdf/2d-06-datasurvey.pdf Datové struktury pro prostorové vyhledávání]
* octree
* k-D tree
* range tree - strom podle x a v každé node strom podle y prvků, které spadají pad danou node
* BSP tree
* R-tree - v listech obálky, vnitřní uzly obálky podstromů
== Materiály ==
* …
{{Stub}}
[[Category: Státnice Informatika Mgr.]]
