{{zkazky|
* '''Fibonacciho haldy (2014, Hladík)''' - Lehce nečekané (jedna z těch věcí, kde si člověk říká o haldách člověk něco řekne ale pak ...). Začal jsem úvodem co jsou haldy, napsal něco o Leftist, D-Reg., Polynom a nakonec Fibonachi. Popis struktury (les) a omezení (oproti poly. je rozvoleněné), jak pracuje "konsolidace" (spojování stromů stejných stupňů), označení vrcholů, vztah k Fibonacciho číslům. Popsání operací insert, merge, delete, delete-min + v diskusi pak složitosti. Padla otázka na definici .?. nakonec to prošlo +- přes "operace". Zmínění ostatních hald pan Hladík nejprve při diskusi přeskočili (neb to nebylo otázkou), ale dalo se na ně hezky referovat pro "porovnání".
* '''Fibonacciho haldy (2013, Hladík)''' - Základně jsem popsal d-regulární a binomiální haldy a složitost operací (to ho moc nezajímalo). Pak, že FH jsou definované pomocí posloupnosti operací + popis operací (stačilo slovně). Trochu jsem plaval v dokazování složitosti (stačila amortizovaná), ale důležité bylo ukázat, že vím, proč jsou ty operace definované tak, jak jsou (jak ovlivňují složitost). Nakonec dotaz, kde se využívají a jaké mají výhody proti ostatním strukturám/haldám. Celkově byl zkoušející v pohodě.
* '''Haldy (2012, Koubkova)''' - Regularni haldy -- co jsou, k cemu jsou, Min/Max heap, Insert, ExtractMin, Delete, pouziti, implementace v poli, Binomiální haldy, Fibbonaciho haldy, nasledne diskuse
* '''Haldy (2012, Žemlička)''' - Popsal jsem binární (s tím, že je tom jenom jednoduchý případ d-regulární), binomiální, a Fibonacciho, u Fibonacciho jsem si nebyl jistý, jak se počítá amortizovaná složitost, protože mi vycházelo, že by mohla být konstantní, ale Žemličkovi se to nechtělo moc řešit, tak se mě zeptal, kdy bych kterou haldu použil a jaké mají prostorové náročnosti a byl spokojený.
* '''Haldy a trie (2011, Kopecky)''' - priznam se, ze me celkem zaskocilo, ze jsem nedostal jen jeden/dva typy hald, respektive ze k tomu byly i trie. Pan Kopecky se zeptal, za jak dlouho to asi bude trvat, nacez jsem odpovedel, ze pokud mam napsat vse, co vim tak asi hodinu a pul Navrhl jsem zkouseni "on-the-fly", protoze toto jsem celkem umel, ale pan Kopecky chtel byt korektni a nechal mi tedy asi 20min na pripravu, to jsem stale psal a tak tedy vzhledem k pokrocile dobe prikyvnul, ze mu to mam povykladat to co mam na papire + treba neco kolem. Probrali jsme tedy d-regularni haldy, binomialni, tam jsme to cele ani nedodelali, zacal jsem fibinacciho a tam bylo prohlaseno, ze to umim a ze to staci. Coz jsem byl rad, protoze trie jsem umel uz mene Znamka: 1
* '''Haldy (2011, Majerech)''' - Co a jak zkouší: Dobrý je přehled o haldách obecně (co od nich nejlepšího můžu očekávat, jakou asymptotickou/amortizovanou složitost). Logaritmus tam vždy u nějaké operace vždy bude. d-reg. haldy prý nesnáší, ale v klidu je zkoušel. Odráží se totiž od toho, co máte napsané. Řekl, že nemám zmiňovat leftist haldy, když nevím, jak vypadají, že by se na to neptal.
* '''Haldy a fibonacciho haldy (2010, Fiala)''' - asi na 3/4 stranu som si rozpísal d-reg., bionom. a lazy. binom haldy (čo to je, aké sú tam operácie, ako približne fungujú, aká je cca. (amortizovaná) O() :)), na fibonacciho mi ostalo pár riadkov na konci... väčšinu odpovede som strávil zbežnými komentármi k haldám, takže po pár minútach som asi vyčerpal trpezlivosť a pri fibonacciho sme len prediskutovali, aké majú výhody (decrease/increase key, delete, O(1) atď...) a bolo hotovo..
* '''Haldy (2010, Koubkova)''' - d-regularni, binomialni, leftist, fibbonaci. Ukazat pridavani / odebirani prvku v d-regularni a binomialni.
* '''Haldy (2009, Čepek)''' - Definice + operace binární haldy, binomiální haldy, Fibonacciho haldy + dotaz, jak se (implementačně) řeší přístup na prvek haldy (třeba fuprostřed nějakého stromu Fib. haldy (Odpověď: pole ukazatelů do haldy indexované čísly vrcholů)
I1/I4:
* '''Fibonacciho haldy (2014, Koubek) -'''
Další nemilá otázka, navíc jsem podcenil přípravu na papír, kterou
Koubek podrobně zkoumal. Čekal jsem, že to doplním během diskuze, ale
nedostal jsem moc šanci. Pokud vás bude zkoušet, raději si vezměte víc
času na přípravu na papír a pořádně to tam napište. Koubek je puntičkář a
<nowiki> </nowiki>nelíbí se mu, když člověk zapomíná předpoklady k tvrzením, apod.
Koubek byl velmi zklamaný, nakonec mi dal 3-, že se mám ještě snažit.
* '''Haldy (2013, MJ)''' - Popsal jsem definice a (hodne) strucne i operace. D-reg se vsim vsudy, i dotaz na vysku stromu. Leftist haldy byly jen s definici a popiskem, ze se vyvazuji utrzenim podstromu a prohazovanim synu. Binomialni v pohode bez dukazu (stacilo rict <math>|B_i| = 2^i</math>). Line haldy - motal jsem se v amort. slozitosti, takze me nechali ji spocitat, jinak by to ale asi slo i bez ni. Fibonacciho opet bez dukazu, jen jsem opet motal amort. slozitost, tak jsem jim ji radsi spocital. Pak chteli nejake aplikace - heapsort, dijkstra. Pro me novy poznatek: "Proc bychom mohli chtit u d-reg hald zvysovat d? Kdyz nas nezajimaji nejake male konstanty, tj. ty hodnoty mezi 4-6, o kterych se pise, ze jsou idealni pro vnitrni trideni?" Odpoved znela, ze v Dijkstrovi pouziju DELETEMIN jen |V|-krat, kdezto DECREASE az |E|-krat. Zvetseni d mi sice zhorsi DELETEMIN (bublani dolu je kvuli vice synum pomalejsi), ale zase zlepsi DECREASEKEY (haldy jsou mensi).
* '''Haldy (2012, Koubek)''' - popsal jsem d-regulární haldy, zmínil jsem se o tom, že existují leftist haldy a popsal jsem binomiální haldy. Pana profesora ale zajímaly hlavně Fibonacciho haldy, jejichž složitost jsem nedokázal uspokojivě vysvětlit. Doporučení: ty algoritmy si OPRAVDU projděte.
* '''Fibonacciho haldy (Koubek)'''
}}
'''haldy''' - stromová struktura kde platí buď:
* otec≥syn (tzv. max-heap) nebo
* otec≤syn (tzv. min-heap)
<nowiki> </nowiki>Haldy se používají pro měnící se uspořádané množiny. Nevyžaduje se efektivní operace '''MEMBER''' (často se předpokládá s argumentem operace informace o uložení prvku). Požadují se malé nároky na paměť a rychlost ostatních operací.
[[Soubor:Dary heap.png|thumb|d-regulární halda]]
=== d-regulární haldy ===
'''Pravidla:'''
* ∀ vrchol má nejvýše d synů
* vrchol není list ⇒ ∀vrchol s menším číslem má právě d synů
* vrchol má synů < d ⇒ ∀vrcholy s většímy čísly jsou listy
* d-reg.strom má max 1 vrchol, který není list a má synů < d
'''Hloubka:''' zřejmě ⌈log<sub>d</sub> (n(d-1)+1)⌉
💡 umožňuje i efektivní reprezentaci v poli
'''INSERT'''
* '''přidám na konec haldy''' a když nesedí prohazujeme s rodičem (tedy '''posouvám nahoru UP''')
* O(log<sub>d</sub> n)
'''DELETE / DELETEMIN'''
* odeberu, '''nahradím posledním prvkem''' a pokud nesedí prohazuji s potomky kteří porušují vlastnost víc (tedy '''posouvám nahoru nebo dolů UP/DOWN''')
* O(d log<sub>d</sub>n)
'''DECREASE'''
* '''zvětším číslo o a''' a když nesedí prohazujeme s rodičem (tedy '''posouvám nahoru UP''')
* O(log<sub>d</sub> n)
'''Vytvoření haldy ('''MAKEHEAP''') '''z n prvků
* vytvoříme z prvků lib. d-reg.strom a postupně posouváme dolů každý ne-list
* nejh.čas O(d<sup>2</sup> n)
====Aplikace====
''Heapsort'' -- vytvoření haldy a postupné volání '''MIN''' a '''DELETEMIN'''. Lze ukázat, že pro <math> d=3,d=4\,\!</math> je výhodnější než <math> d=2\,\!</math>, empiricky je do cca <math> 1 000 000\,\!</math> prvků <math> d=6\,\!</math> nebo <math> d=7\,\!</math> nejlepší. Pro delší posloupnosti je možné <math> d\,\!</math> zmenšit.
''Dijkstra'' -- normální Dijkstrův algoritmus, jen vrcholy grafu uchovávám v haldě, tříděné podle aktuálního <math> d\,\!</math> (horního odhadu vzdálenosti). Složitost <math> O((m+n)\log n)\,\!</math>, pro <math> d=\max\{2,\frac{m}{n}\}\,\!</math> je to <math> O(m\log_d n)\,\!</math> a pro husté grafy (<math> m>n^{1+\varepsilon}\,\!</math>) je lineární v <math> m\,\!</math>.
[[Soubor:Leftist.png|thumb|leftist|342x342px]]
=== Leftist haldy ===
binarni strom
* vrchol má 1 syna ⇒ je to levý syn
* vrchol má 2 syny ⇒ npl(levého syna) ≥ npl(pravého)
** '''npl(v) '''- (null path lenght)''' '''je '''delka nejkratsi cesty''' z vrcholu v '''do vrcholu s max. 1 synem'''
* plati usporadni na halde
Pro leftist haldu se definuje pravá cesta (posl. pravých synů) a pokud máme takovou cestu délky <math> k\,\!</math> z vrcholu <math> v\,\!</math>, víme, že podstrom <math> v\,\!</math> do hloubky <math> k\,\!</math> je úplný binární strom. Délka pravé cesty z každého vrcholu je tedy logaritmická ve velikosti podstromu.
Operace jsou založeny na algoritmech '''MERGE''' a '''DECREASE'''.
'''MERGE(T1,T2)''' - 💡 rekurzivní
* Testuje prázdnost obou stromù (a pokud je jeden prázdný, vrátí ten druhý jako výsledek)
* volá MERGE(podstrom pravého syna stromu T1 s menším klíčem v kořeni, T2)
* výsledek připojí místo onoho pravého syna
* Pokud neplatí podmínka na npl, vymění syny T1
'''INSERT(x)''' - je vytvoření jednoprvkové haldy a zavolání MERGE
'''DECREASE(s,a)'''
* se udělá snížením hodnoty ve vrcholu '''s''' o '''a''', zavoláním OPRAV, tj. jeho odříznutím od zbytku haldy, a MERGE podstromu a zbytku.
* '''OPRAV(T,v)''' odtrhne podstrom a dopočítá všem vrcholům správné npl. Po odtržení vrcholu a příp. přehození pravého syna doleva jde nahoru dokud provádí změny npl (možno až do kořene), vztahuje npl odspoda a příp. prohazuje syny.
'''vše v nejh.případě O(log n)'''
Ostatni
* MIN je vypsání kořene, DELETEMIN je zMERGEování synů kořene (a jeho zahození). MAKEHEAP je vytvoření hald z jednotl. prvkù, jejich nacpání do fronty a potom v cyklu: vyberu dva z fronty, zmerguju a hodím výsledek zpátky; dokud mám ve frontě víc než 1 haldu - to je potom výsledek.
* MAKEHEAP potřebuje jen O(n)
[[Soubor:Binomial heap.png|thumb|binomial|360x360px]]
{{image|image=Bin merge.png|width=200|caption=MERGE}}
=== Binomiální haldy ===
les binomiálních stromů
* každý řád max.jednou,
* binom.strom řádu ''i'' se skládá z kořene a synů ze stromů izomorf. řádu ''0,...,i-1'' - chová se jako malá halda
* používá se ukazatel na strom s min.prvkem O(1)
Operace jsou založené na '''MERGE'''
'''MERGE'''
* pracuje stejně jako binární sčítání - za pomoci operace SPOJ (slepení dvou stromù, přilepím jako syna toho, který má v kořeni vyšší klíč) '''slepí jen stromy stejného řádu''', přenáší výsledky do dalšího spojování (přenos + obě haldy mající strom daného řádu = vyplivnutí 1 stromu na výsledek a spojení zbývajících dvou).
* Složitost - O(log |S1| + log |S2|), protože 1 krok (SPOJ) je konstantní.
'''INSERT''' - je vytvoření jednoprvkové haldy a zavolání MERGE
'''DECREASE'''
* INCREASE a DECREASE změní hodnotu f u prvku a zavolají probublávaní nahoru nebo dolů
vše vyžaduje čas '''O(log n) '''jen INCREASE O(log<sup>2</sup>n)
není podporováno DELETE, jen jako DECREASE + DELETEMIN.
umožňuje rychlou implemetaci Insert O(log n) (amotizovaně O(1)) a Merge (dvou hald) O(log n)
[[Soubor:Fib heap.png|thumb|fib|303x303px]]
=== Fibonacciho haldy ===
* les haldových stromů vzniklých posloupnosti operací pro fib.haldy z prázné haldy, vychází z binomiálních
* při odebírání prvků lze oddelit z nekořenového prvku max 1 syna, jinak se oddeli cely uzel do noveho stromu
* při odebrání minima se počet stromů naopak snižuje - spojují se
* ''v'' je vrchol a má ''i'' synů ⇒ pak podstrom ''v'' má alespoň ''F<sub>i+1</sub>'' vrcholů
* '''MERGE, INSERT, MIN a DELETEMIN''' jsou stejné jako v líné implementaci binomiálních hald, jen požadavek na isomorsmus s Hi je nahrazen požadavkem na daný rank.
** '''MERGE, INSERT, DECREASE''' mají amort.složitost '''O(1)'''
* '''DECREASE, INCREASE a DELETE''' vycházejí z leftist hald. Používají pomocnou operaci VYVAZ2, která prochází od daného vrcholu ke kořeni a dokud nalézá oznaèené vrcholy, odtrhává je i s jejich podstromy, ruší jejich oznaèení a vkládá do haldy jako zvláštní stromy. DECREASE pak odtrhne podstrom urèený snižovaným vrcholem (není-li to už kořen), zruší u nìj případné oznaèení a vloží ho zvlášť do haldy, potom volá na odtržené místo VYVAZ2. INCREASE provede to samé, jen ještì roztrhá podstrom zvedaného vrcholu (odtrhne všechny syny, zruší jejich příp. oznaèení a vloží jako samostatné stromy do haldy) a vloží zvednutý vrchol do haldy zvlášť. DELETE je to samé co INCREASE, bez přidání vrcholu zpìt do haldy.
** '''MIN,DELETEMIN,INCREASE,DELETE''' mají amort.sl. '''O(log n)'''
* INSERT je amortizovaně O(1) DELETE O(log n)
===Fibonacciho haldy (old)===
Definují se jako množiny stromů, které splňují podmínku haldy a ''musely vzniknout posloupností operací z prázdné haldy''. Všechny operace zachovávají podmínku, že jednomu vrcholu lze odříznout max. dva syny. Strom má ''rank'' <math> i\,\!</math>, má-li jeho kořen <math> i\,\!</math> synů (podobné jako izomorfismus s <math> H_i\,\!</math> u binomiálních hald).
Podmínka odříznutí max. dvou synů se zachovává pomocnou operací '''VYVAZ2'''. Když vrchol není kořen a byl mu předtím někdy odříznut syn, je speciálně označený. '''VYVAZ2''' prochází od daného vrcholu ke kořeni a dokud nalézá označené vrcholy, odtrhává je i s jejich podstromy, ruší jejich označení a vkládá do haldy jako zvláštní stromy. Když se vrchol stane kořenem, označení se zapomene.
====Operace====
'''MERGE, INSERT, MIN''' a '''DELETEMIN''' jsou stejné jako v líné implementaci binomiálních hald, jen požadavek na isomorfismus s <math> H_i\,\!</math> je nahrazen požadavkem na daný rank. Pomocné operace z binomiálních hald '''VYVAZ''' a '''SPOJ''' jsou také stejné.
'''DECREASE, INCREASE''' a '''DELETE''' vycházejí z leftist hald. Používají pomocnou operaci '''VYVAZ2'''
* '''DECREASE''' odtrhne podstrom určený snižovaným vrcholem (není-li to už kořen), zruší u něj případné označení a vloží ho zvlášť do haldy, na odtržené místo zavolá '''VYVAZ2'''.
* '''INCREASE''' provede to samé, jen ještě roztrhá podstrom zvedaného vrcholu (odtrhne všechny syny, zruší jejich příp. označení a vloží jako samostatné stromy do haldy) a vloží zvednutý vrchol do haldy zvlášť.
* '''DELETE''' je to samé co '''INCREASE''', bez přidání vrcholu zpět do haldy.
====Korektnost a složitost====
Operace '''SPOJ''' podobně jako u binomiálních hald vyrobí ze dvou stromů ranku <math> i\,\!</math> jeden strom ranku <math> i+1\,\!</math>. Operace '''VYVAZ2''' zajistí, že od každého vrcholu kromě kořenů byl odtržen max. 1 syn -- když odtrhnu dalšího, odtrhu i tento vrchol a propaguju operaci nahoru.
Složitost operací:
* '''MERGE''' a '''INSERT''' je <math> O(1)\,\!</math> (stejně jako u binomiálních hald)
* '''MIN''' má <math> O(|\mathcal{H}|)\,\!</math> (nemění označení vrcholů)
* '''DELETEMIN''' <math> O(|\mathcal{H}|+\mathrm{maxrank}(\mathcal{H}))\,\!</math>, kde <math> maxrank\,\!</math> udává maximální rank stromu v haldě (může navíc odznačit některé vrcholy)
* '''DECREASE''' je <math> O(1+c)\,\!</math>, kde <math> c\,\!</math> je počet odznačených vrcholů (navíc označí max. 1 vrchol)
* '''INCREASE''' a '''DELETE''' jsou <math> O(1+c+d)\,\!</math>, kde navíc <math> d\,\!</math> je počet synů zvedaného nebo odstraňovaného vrcholu (také označí navíc max. 1 vrchol).
Pro výpočet amortizované složitosti použijeme potenciálovou metodu a zvolíme hodnotící funkci <math> w\,\!</math> jako počet stromů v haldě + <math> 2\times\,\!</math> počet označených vrcholů. Můžeme říct, že amortizovaná složitost '''MERGE''', '''INSERT''' a '''DECREASE''' je <math> O(1)\,\!</math>.
Označme max. rank stromů v lib. haldě reprezentující <math> n\,\!</math>-prvkovou množinu jako <math> \rho(n)\,\!</math>. Amortizovaná složitost '''MIN''', '''DELETEMIN''', '''INCREASE''' a '''DELETE''' pak je <math> O(\rho(n))\,\!</math> (pro '''MIN''' a '''DELETEMIN''' je vzorec amortizované složitosti podobný jako u binomiálních hald, pro '''INCREASE''' a '''DELETE''' je to vidět přímo ze vzorců).
Pro odhad <math>\rho(n)\,\;</math> je potřeba znát fakt, že <math> i\,\!</math>-tý nejstarší syn libovolného vrcholu má aspoň <math> i-2\,\!</math> synů (plyne z toho, že se slévají jen stromy stejného řádu a odtrhnout lze max. jednoho syna).
Vezmeme tedy nejmenší strom <math>T_j\,\;</math> ranku <math>j\,\;</math>, který toto splňuje. Ten musí být složením <math>T_{j-1}\,\;</math> a <math>T_{j-2}\,\;</math> (vzniká tak, že se slijí dva <math>T_{j-1}\,\;</math> a potom se na tom, který je pověšený jako syn nového kořenu, provede '''DECREASE''' a tím se z něj stane <math>T_{j-2}\,\;</math>). Z minimálního počtu synů se dá odvodit i rekurence <math>|T_k| \geq 1 + 1 + |T_0| + \dots + |T_{k-2}|</math>, která dá indukcí to samé.
Potom <math>|T_{k+1}| = F_k</math>, kde <math>F_k</math> je <math>k</math>-té Fibonacciho číslo. Pro Fibonacciho čísla platí, že <math>\lim_{k\to\infty} F_k = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^k</math>. Proto je <math>\rho(n) = O(\log(n))\,\;</math>, což dává logaritmickou amortizovanou složitost pro '''MIN''', '''DELETEMIN''', '''INCREASE''' a '''DELETE'''. Z toho pochází i název ''Fibonacciho'' haldy.
====Aplikace====
''Fibonacciho haldy'' se díky své rychlosti '''INSERT''', '''DECREASE''' a '''DELETEMIN''' často používají v grafových algoritmech. Praktické porovnání rychlosti s jinými haldami však není dosud přesně prostudováno.
Motivací pro vývoj ''Fibonacciho hald'' byla možnost '''aplikace v Dijkstrově algoritmu'''. Dává totiž složitost celého algoritmu <math> O(m+ n\log n)\,\!</math>, což by mělo být lepší pro velké, ale řídké grafy proti <math> d\,\!</math>-regulárním haldám. O prakticky zjištěném "zlomu" ale nevíme.
