===Úvod===
----
'''Tuhé těleso''' - nedeformovatelná soustava hmotných bodů, které mají vůči sobě pevné vzdálenosti.
Tuhé těleso má 6 stupňů volnosti - 3 rotační a 3 translační.
'''Popis rotace:'''
Zavedeme 2 ortonormální báze: ''referenční'' (pevná v prostoru)
<math>(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)</math>
a ''korotující'' (pevně spojená s tělesem)
<math> (\vec e^*_1,\vec e^*_2,\vec e^*_3) </math>.
Natočení tělesa je pak popsáno ortogonální maticí A:
<math>\vec e^*_i = A_{ik} \vec e_k </math>
Matice A je závislá na čase, splňuje relace ortogonality.
Vzpomeňte si na názorný příklad doc. Podolského: kolotoč s koníčkem a slepičkou a opodál stojící Hanka.
===Zavedení vektoru úhlové rychlosti===
----
Uvažujme libovolný časově závislý vektor <math>\vec w(t)</math>,
<math>\vec w(t) = w_i(t)\vec e_i = w^*_i(t)\vec e^*_i(t)</math>,
přičemž <math>\vec e^*_i(t) = A_{ik}(t)\vec e_k</math>.
Pak <math>(\frac {d\vec w}{dt})_{prostor} = </math>
a) <math>\frac{dw_i}{dt}\vec e_i</math> (nahlíženo Hankou)
b) <math>\frac{dw^*_i}{dt}\vec e^*_i + w^*_i \frac{d\vec e^*_i}{dt} = \frac{dw^*_i}{dt}\vec e^*_i + w_i\frac{dA_{ik}}{dt}A_{jk}\vec e^*_j.</math> (nahlíženo slepičkou)
Přeznačíme index ''i'' na ''l'' a ''j'' na ''i'' a dostaneme, že
<math>\frac{dA_{lk}}{dt}A_{ik} = \Omega^*_{li}.</math>
Úhlová rychlost <math>\Omega</math> je antisymetrická (má 3 nezávislé složky a lze s ní asociovat duální pseudovektor).
<math>\Omega = \frac{dA}{dt}A^T</math>
Bez ohledu na zvolenou bázi platí vztah
<math>(\frac{d\vec w}{dt})_{prostor(Hanka)} =(\frac{d\vec w}{dt})_{teleso(kolotoc)} + \vec \Omega \times \vec w </math>
===Eulerovy úhly===
----
Libovolné otočení kolem bodu (těžiště) lze získat 3 po sobě jdoucími otočeními kolem nějaké osy. Zavádíme tzv. Eulerovy úhly. Vezmeme dvě báze: referenční <math>\vec x_1,\vec x_2,\vec x_3</math> a korotující <math>\vec x^*_1,\vec x^*_2,\vec x^*_3</math>. Jejich vzájemná poloha je určena těmito úhly:
*'''precesní úhel''' <math>\phi</math> z <math><0,2\pi></math> - nula odpovídá ose <math>\vec x_1</math>, úhel leží v rovině <math>\{\vec x_1,\vec x_2\}</math>, kladná orientace ve směru osy <math>\vec x_2</math>; měříme úhel, který svírá osa <math>\vec x_1</math> s přímkou <math>\vec n</math>, která vznikne protnutím roviny <math>\{\vec x_1,\vec x_2 \}</math> a roviny <math>\{\vec x^*_1,\vec x^*_2 \}</math>
*'''nutační úhel''' <math>\theta</math> z <math><0,\pi></math> - nula odpovídá ose <math>\vec x_3</math>, kladná orientace směrem k rovině <math>\{\vec x_1,\vec x_2 \}</math>, měníme úhel mezi osou <math>\vec x_3</math> a <math>\vec x^*_3</math>
*'''rotační úhel''' <math>\psi</math> z <math><0,2\pi></math> - nula je v rovině <math>\{\vec x_1,\vec x_2\}</math>, kladná orientace směrem k ose <math>\vec x_3</math>, měníme úhel mezi přímkou <math>\vec n</math> a osou <math>\vec x^*_1</math>.
Jedná se o tedy 3 otočení a vzájemná poloha pevné a korotující báze je pak určena součinem matic těchto otočení.
===Eulerovy kinematické rovnice===
----
Pomocí Eulerových úhlů můžeme vyjádřit vektor úhlové rychlosti, výsledek se nazývá Eulerovy kinetické rovnice.
<math>\Omega_x = \dot \phi sin\theta sin\psi + \dot \theta cos\psi</math>
<math>\Omega_y = \dot \phi sin\theta cos\psi - \dot \theta sin\psi</math>
<math>\Omega_z = \dot \phi cos\theta + \dot \psi</math>
===Tenzor setrvačnosti===
===Eulerovy dynamické rovnice===
</math>
