=Algoritmicky nerozhodnutelné problémy (halting problem) (9×🎓)=
{{Zkazky|
* '''Halting problém (2013, Kolman)''' - Tu som zadefinoval TS, spomenul som kódovanie TS (nič konkrétne iba že to je číslo), Postovu vetu a dokázal som, že L HALT nie je rekurzivný, na záver som spomenul, že to isté sa dá urobiť aj cez množiny. Žiadne doplnkové otázky.
* '''Algoritmicky nerozhodnutelné problémy (2012, A.Kučera)''' - Napsal jsem Halting problém + ten jednoduchý důkaz. Dále jsem napsal Riceovu větu a jak souvisí s halting problémem. Nakonec jsem napsal Postův korespondenční problém. To zkoušejícímu stačilo a nebyly žádné další otázky.
* '''Nerozhodnutelné problémy (2012, Kucera)''' - Halting problem - jak se dokazuje, Postuv problem, rozhodnuti zdali dana funkce vycisluje dany program
* '''Algoritmicky nerozhodnutelne problemy (2012, Dvorak)''' - Zacal sem Church-Turingovou tezi a pojem algoritmus vztahl k TS. Pak sem zadefinoval Rekurzivne spocetne a rekurzivni jazyky. Halting problem, Diagonalni jazyk, Univerzalni jazyk, Postova veta. Pak sem presel od TS k CRF tady sem jako priklad uvedl K a K0, definoval CRF a ORF + intuitivni srovnani s TS U vetsiny veci sem mel i dukazy ( vycislitelnosti sem se bal nejvic z okruhu takze sem to mel celkem nadrceny ). Pak se dvorak ptal jak zjistim ze nejakekj problem je nerozhodnutelny ( aniz by clovek musel furt vymyslet specialni dukazy ) to sem chvili vahal ale pak sem si vzpomel na prevoditelnost Rekurzivnich a rekurzivne spocetnych mnozin pomoci prevodni fce ktera musi byt ORF coz se ukazalo jako spravna odpoved. Posledni sada otazek uz smerovala k tomu co se bude dit kdyz budu mit TS s orakulem, jestli potom budou vsechny problemy budou rozhodnutelne...tady sem nevedel, odpovidal sem hodne diplomaticky ( spravna odpoved je TS s 1 orakulem umi resit nejaky problemy, TS s 2 orakulama umi resit jeste vic problemu atd...ale nikdy nelze pokryt vsechny jazyky ) Jeste dodam ze tohle nakonec Dvorak okomentoval slovy ze je to spis takova zajimavost, nic zasadniho pro statnice.
* '''Algoritmicky nerozhodnutelné problémy (2012)''' - Napsal jsem Halting problém + ten jednoduchý důkaz. Dále jsem napsal Riceovu větu a jak souvisí s halting problémem. Nakonec jsem napsal Postův korespondenční problém. To zkoušejícímu stačilo a nebyly žádné další otázky.
* '''Algoritmicky nerozhodnutelné problémy (2011, Kucera)''' - Způsob zkoušení: Zdá se, že mu jde o témata, které mají praktický dopad (např. halting problem). Ptal se, jestli znám ještě další nerozhodnutelný problém. Dostali jsme se i k Riceově větě, ale bránil mi ji dokazovat, protože to nebylo v otázce. Známku mi neříkal. S Majerechem zkoušeli někoho společně. Uklidňovali ho, že mu chtějí pomoct.
* '''Algoritmicky nerozhodnutelné problémy (2010)''' - Co to je rozh. problém, halting problém, že to souvisí s tím, že množina K není rekurzivní, Riceova věta s důkazem.
* '''Alg. nerozhodnutelne problemy (2010, P. Kucera)''' - klasika, definice co to je problem, rozdil mezi rekurzivne spocetnym a rekurzivnim, Churchova teze a ekvivalence s TS, dale halting problem + ten snadny dukaz, Riceho veta a jeste jeden dva dalsi problemy jako zajimavost.
* '''Nerozhodnutelne problemy (2009, Mlcek)''' - Halting a Riceova s dokazom, ostatne len nazov
}}
{{TODO|pridat základní definice a mrknout na důkazy: [[Státnice_-_Algoritmicky_nerozhodnutelné_problémy]]}}
'''instance problému''' - vstup
'''rozhodovací problém'''(odpověď typu ano/ne) - jazyk řetězců popisujících pozitivní instance a otázku, zda dané slovo – instance problému – patří do tohoto jazyka (kladná instance daného problému)
Jazyk <math>L</math> je '''rekurzivní''' (také '''rozhodnutelný'''), pokud ∃ TS <math>M</math>, který se vždy zastaví a <math>L = L(M)</math>.
[[Image:Diag.jpg|right|thumb|460px|<math>L_{DIAG}</math>]]
{{theorem
| <math>L_{DIAG} = \{w_i ∈ \{0, 1\}^* | w_i ∉ L(M_i) \}</math> není RSJ (tedy ani RJ)
| diagonalizační jazyk
}}
;Dk (sporem)
: Předpokládáme že <math>L_{DIAG}</math> je RSJ ⇒ ∃ TS M že <math>L_{DIAG} = L(M_e)</math> z čekož nám vychází ale '''spor''':
: <math>w_e \in L(M_e) ⇔ w_e ∈ L_{DIAG} ⇔ w_e \notin L(M_e)</math>, kde první ekvivalence vyplývá z toho, že <math>L_{DIAG} = L(M_e)</math> a druhá ekvivalence z definice <math>L_{DIAG}</math>
===problém zastavení===
{{theorem
| <math>L_{HALT} = \{w; x |~ w~ kóduje~ TS~ M~ a~ M(x)↓\}</math> je RSJ, ale není RJ
| problém zastavení
}}
;<nowiki>Dk (sporem):</nowiki>
: mejme f(x,y)↓ ⇔ F(x,y)↑;
: vezmeme kod f=e a pustme f(e,e) - kdyz dobehne, mela se F(e,e) zacyklit, a kdyz nedobehne, mela F(e,e) dobehnout, ale F je univ. funkce => spor
;Dk (sporem)
Sporem nechť máme TS <math> H(T,K)\,\!</math> rozhodující, zda se TS <math> T\,\!</math> zastaví nad daty <math> K\,\!</math> (a <math> H\,\!</math> se zastaví vždy a vydá buď 0 nebo 1). Potom lze vyrobit <math> Alg(K)\,\!</math> takový, že <math> Alg(K)\,\!</math> se zastaví, právě když <math> \mathcal{U}(K + K)\,\!</math> se nezastaví (pomocí <math> H\,\!</math>). Pak <math> Alg(K)\,\!</math> má nějaký kód, nazveme jej <math> Q\,\!</math>. Pak ale
:<math>Alg(Q)\mbox{ zastavi}\Leftrightarrow \mathcal{U}(Q + Q)\mbox{ nezastavi} \Leftrightarrow Alg(Q)\mbox{ nezastavi}\,\!</math>
a to je spor.
;Dk (sporem)
: Že L<sub>''HALT''</sub> je RSJ je zřejmé z existence UTS. w;x ∈ ''L<sub>HALT</sub>'' ⇔'' U(w;x)''
: Diagonalizací ukážeme, že L<sub>''HALT''</sub> není RSJ, čímž bude důkaz dokončen díky Postové větě.
: Předpokládejme pro spor, že ∃ TS ''M'', že ̅L<sub>''HALT''</sub> = L(M)
: Nyní definujme jazyk ''L = {wᵢ ∈ {0, 1}*| Mᵢ(wᵢ)↑}'', jde vlastně o diagonálu L<sub>''HALT''</sub>. S pomocí TS ''M'' sestrojíme nyní TS ''Mₑ'' přijímající jazyk ''L''.
: Pokud ''M(wᵢ;wᵢ)'' přijme, pak přijme i ''Mₑ(wᵢ)'', v opačném případě ''Mₑ(wᵢ)↑''. To učiní i v případě, zjistí-li, že ''wᵢ'' nekóduje syntakticky správně TS a odpovídá tedy prázdnému TS (to je zde nutné odlišit jen proto, že kdyby ''wᵢ'' obsahovalo oddělovač „;“, pak by ''wᵢ;wᵢ'' mohlo odpovídat výpočtu jiného TS nad jiným vstupem).
: TS ''Mₑ'' přijme svůj vstup ⇔ ''Mₑ↓''. Zřejmě platí, že ''L(Mₑ) = L''.
: Nyní se podívejme, jestli ''wₑ ∈ L'' (''wₑ'' je kód ''Mₑ''):
:# Pokud ''wₑ ∈ L'', znamená to, že se ''Mₑ(wₑ)'' zastaví a přijme, protože ''L = L(Mₑ)'', to ale současně znamená, že ''Mₑ(wₑ)↑'' podle definice ''L'', což je pochopitelně ve '''sporu'''.
:# Nyní předpokládejme, že ''wₑ ∉ L'', ale podle definice ''L'' to znamená, že ''Mₑ(wₑ)↓''. Z toho jsme dostali ''wₑ ∈ L(Mₑ) = L'', což je však ve '''sporu''' s předpokladem.
: Jazyk ''L'' použitý v důkazu není nic jiného než L<sub>''DIAG''</sub>, pokud bychom předpokládali, že TS přijímají zastavením v jakémkoli stavu.
{{collapse|další problém: univerzální jazyk|2=
{{theorem
| <math>L_u = L(U)</math> (kde U je UTS) je RSJ, ale není RJ
| univerzální jazyk
}}
;Dk (sporem)
: To, že <math>L_u</math> je RSJ jsme ukázali tím, že jsme popsali UTS, který jej přijímá.
: Zbývá tedy ukázat, že není rekurzivní. Z Postovy věty stačí dokázat pouze, že <math>\overline L_u</math> není RSJ.
: Sporem nechť <math>\overline L_u = L(M)</math>. Pomocí stroje <math>M</math> zkonstruujeme stroj <math>M’</math>, který bude přijímat diagonalizační jazyk <math>L_{DIAG}</math>. Už víme, že <math>L_{DIAG}</math> není RSJ a dospějeme tím tedy ke '''sporu'''.
: <math>M’</math> dostane na vstupu slovo <math>w</math> a má rozhodnout, zda <math>w ∈ L_{DIAG}</math>, tedy jestli stroj s kódem <math>w</math> odmítne slovo <math>w</math>.
: <math>M’</math> udělá pouze to, že zkontroluje, zda w kóduje Turingův stroj způsobem, jaký jsme popsali při popisu UTS. Pokud <math>w</math> nekóduje syntakticky správně TS, odpovídá prázdnému TS, který slovo <math>w</math> určitě nepřijme a <math>M’</math> tedy skončí přijetím. V opačném případě připíše <math>M’</math> za <math>w</math> kód <math>111</math> (kód „;“) a za ně okopíruje opět slovo <math>w</math>. Poté <math>M’</math> spustí na tomto slově stroj <math>M</math>, pokud <math>M</math> přijme, přijme i <math>M’</math>, pokud se <math>M</math> zastaví a odmítne, odmítne i <math>M’</math>, pokud se <math>M</math> nezastaví, nezastaví se ani <math>M’</math>.
: <math>M’</math> ale přijímá jazyk <math>L_{DIAG}</math>, protože <math>M’(w)</math> přijme ⇔ <math>w</math> je validním kódem TS <math>N</math> a <math>N(w)</math> nepřijme, což je ekvivalentní tomu, že <math>U(w;w)</math> nepřijme a <math>M(w; w)</math> přijme. Fakt, že <math>L(M’) = L_{DIAG}</math>, je však ve '''sporu''' s tím, že <math>L_{DIAG}</math> není RSJ.
}}
{{collapse|další problém: Postův korespondenční problém|2=
;Vstup:
dva konečné seznamy <math>\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{N}</math> and <math>\beta_{1}, \ldots, \beta_{N}</math> slov nad abecedou <math>A</math> z alepoň 2 symbolů.
;Řešení:
sekvence indexů <math>(i_k)_{1 \le k \le K}</math> kde <math>K \ge 1</math> a <math> 1 \le i_k \le N</math> pro všechna <math>k</math>, že:
: <math>\alpha_{i_1} \ldots \alpha_{i_K} = \beta_{i_1} \ldots \beta_{i_K}.</math>
;Problém:
Zda existuje řešení.
}}
{{Statnice I2}}
