== Rozsah látky ==
Seznam [http://www.mff.cuni.cz/studium/bcmgr/ok/i3b52.htm oficiálních] státnicových otázek:
: Projektivní rozšíření afinního prostoru, homogenní souřadnice, afinní a projektivní transformace v rovině a v prostoru, kvaterniony v reprezentaci 3D orientace, diferenciální geometrie křivek a ploch, základní spline funkce, kubické spliny C2 a jejich vlastnosti, interpolace kubickými spliny, Bézierovy křivky, Catmull-Rom spliny, B-spline, de Casteljaův a de Boorův algoritmus, aproximační plochy, plochy zadané okrajem, Bezierovy plochy, plátování, B-spline plochy, NURBS plochy, základní věty o konvexitě, kombinatorická složitost konvexních mnohostěnů, návrh geometrických algoritmů a jejich složitost, Voroného diagram a Delaunayova triangulace, konvexní obal, lokalizace, datové struktury a algoritmy pro efektivní prostorové vyhledávání.
----
== Projektivní rozšíření afinního prostoru, homogenní souřadnice, afinní a projektivní transformace v rovině a v prostoru ==
'''Afinní prostor''':
* <math>A_n</math> - neprázdná množina bodů
* <math>W_n</math> - vektorový prostor (zaměření)
* <math>f:A_n \times A_n \to W_n</math>
* <math>f(A, B) + f(B,C) = f(A,C)</math>
* <math>\forall P \in A_n, \forall X \in A_n : f_P(x) = f(P,X)</math> je bijektivní
Běžně <math>A_n = R^n, W_n = R^n, f(A,B) = B - A</math>.
'''Soustava souřadnic'''
Repér: pevný bod <math>O</math> + báze zaměření
'''Transformace souřadnic'''
'''Lineárně nezávislé body'''
<math>B_0,B_1, \ldots, B_n</math> jsou LN <math>\Leftrightarrow</math> <math>(B_1-B_0), (B_2-B_0), \ldots, (B_n-B_0)</math> jsou LN
Afinní prostor dimenze n je jednoznačně určen n+1 body:
: <math>X = B_0 + \sum \beta_i (B_i-B_0) = B_0+ \sum \beta_i B_i - \sum \beta_i B_0 = B_0 \underbrace{(1-\sum \beta_i)}_{\beta_0} + \sum \beta_i B_i</math>
Afinní kombinace bodů (barycentrické souřadnice)
<math>X = \beta_0 B_0 + \beta_1 B_1 + \ldots + \beta_n B_n</math>, <math>\sum \beta_i = 1</math>
Konvexní kombinace bodů - navíc požadavek <math>\beta_i \geq 0, \forall i</math>
== Kvaterniony v reprezentaci 3D orientace ==
* <math>Q = q_0 + q_1 i + q_2 j + q_3 k = ( q_0, (q_1, q_2, q_3) ) = (q_0, \overrightarrow{q})</math>
* <math>i^2 = j^2 = k^2 = -1</math>
* <math>i j = k, j i = -k, \ldots</math>
=== Operace s kvaterniony ===
* <math>Q \cdot P = (q_0, \overrightarrow{q}) (p_0, \overrightarrow{p}) = (q_0 p_0 - \overline{q} \overline{p}; q_0 \overline{p} + p_0 \overline{q} +(\overline{q} \times \overline{p})</math> - komutativní pokud shodné vektorové části, jinak pouze asociativní a distributivní
* <math>Q^* = (q_0, - \overrightarrow{q})</math>
* <math>Q \cdot Q^* = (q_0^2 + \overline{q} \overline{q}; q_0 \overline{q} - q_0 \overline{q} + \overline{0}) = q_0^2 + q_1^2 + q_2^2 + q_3^2</math>
* <math>\| Q \| = \sqrt{Q \cdot Q^*}</math>
* <math>Q \cdot Q^{-1} = 1 </math>
: <math>Q^* \cdot Q \cdot Q^{-1} = 1 </math>
: <math>Q^* \cdot Q \cdot Q^{-1} = Q^* </math>
: <math>Q^{-1} = \frac{Q^*}{\| Q \|^2}</math>
* Věta: <math>\| Q \cdot P \| = \| Q \| \cdot \| P \|</math>
:: Dk: <math>\| Q \cdot P \| = \sqrt{(Q \cdot P) \cdot (Q \cdot P)^*} = \sqrt{(Q \cdot P) \cdot (P^* \cdot Q^*)} = \sqrt{Q \cdot P \cdot P^* \cdot Q^*} = \sqrt{\| P \| Q \cdot Q^*} = \sqrt{\| P \|^2 \| Q \|^2} = \| Q \| \cdot \| P \|</math>
=== Jednotkové kvaterniony ===
* <math>\| Q \| = 1</math>
* tvoří multiplikativní podgrupu
* <math>Q^{-1} = Q^*</math>
* Jednotkový kvaternion je tvaru: <math>Q = ( cos( \alpha ), sin( \alpha ) \cdot \overline{a} ), \| \overline{a} \| = 1</math>
=== Rotace ===
=== Interpolace rotace ===
# Lineární Eulerova interpolace
# Kvaterniony - LERP
# SLERP - sférická lineární interpolace
== Diferenciální geometrie křivek a ploch, základní spline funkce, kubické spliny C2 a jejich vlastnosti, interpolace kubickými spliny, Bézierovy křivky, Catmull-Rom spliny, B-spline, de Casteljaův a de Boorův algoritmus, aproximační plochy, plochy zadané okrajem, Bezierovy plochy, plátování, B-spline plochy, NURBS plochy ==
== Základní věty o konvexitě, kombinatorická složitost konvexních mnohostěnů ==
== Návrh geometrických algoritmů a jejich složitost, Voroného diagram a Delaunayova triangulace, konvexní obal, lokalizace, datové struktury a algoritmy pro efektivní prostorové vyhledávání ==
